Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf450 |
Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера |
вычисляем индекс оператора Дирака для D-мерного многообразия! ДЛя того чтобы вычислить этот континуальный интеграл, мы должны выполнить интегрирование в окрестности классического решения:
АГо = Хо + 0i|/o. |
(9.8.28) |
Выполним сначала интегрирование по л;. Если мы разложим по степеням
в окрестности решения х^ = Хо + |
то найдем, что квадратичная часть |
|
действия включает член |
|
|
1 |
|
|
S = j dtdx{— dt + R)dt |
+ |
(9.8.29) |
о |
|
|
где R- матрица, определяемая через тензор кривизны: |
||
= |
|
(9.8.30) |
Ксчастью, это функциональное интегрирование выполнить легко. Как
ираньше, гауссово интегрирование (9.8.29) дает детерминант
J Dbxe~s = det"1/2(d, - R), |
(9.8.31) |
где детерминант не включает постоянных мод. Этот детерминант может быть легко вычислен подстановкой в него полного набора собственных состояний. Однако эти собственные состояния периодичны по собственному времени t. Таким образом, получаем следующий результат:
det":"2 (д, - R) = det" •1'2 ( П < Ф* I д, - R | <р* >) |
|
|
^ кФО |
' |
|
= det- 1 / 2 Г |
Y\(R-2nik)J |
|
^ кФ0 |
' |
|
= d e t " 1 / 2 | ^ ^ - 1 s h ^ J , |
(9.8.32) |
где произведение по целым числам к возникает вследствие того, что при вычислении детерминанта мы вставляем периодические функции, удовлетворяющие условию
dtq>k = 2nik(pk. |
|
(9.8.33) |
||
Мы также использовали равенство |
|
|||
® / |
О"*) \ |
|
* * * |
|
n ( i + - r r ) - — • |
||||
a l m \\ |
ж2 |
и 2 / |
1 Х |
|
Аналогично |
можно |
разложить в ряд в |
^ 0 |
|
окрестности Хо и Vo |
452 |
Гл. 9. |
Аномалии и теорема Атьи-Зингера |
|
|
Индекс ф) |
= Tr(— |
\)Fe~XDl |
|
|
= |
Ы |
J TreF det"1/2 |
{ л Г 1 sh \ * ] • |
(9.8.40) |
Итак, мы получили теорему Атьи-Зингера для оператора Дирака на замкнутых ориентируемых многообразиях без края (см. (9.4.26) й (9.5.18)).
Детерминант в правой части может быть вычислен «диагонализацей» 2-формы кривизны и записи ее в терминах ее собственных значений Таким образом, мы воспроизводим Л-род, приведенный в (9.4.26).
Выражение для индекса оператора D может быть записано как интеграл от произведения двух 2-форм кривизны, одна из которых-для гравитационной части, а другая-для калибровочной части. Для завершенности выпишем четыре классических комплекса и связанные с ними теоремы об индексе:
Комплекс |
Индекс |
Теорема об индексе |
де Рама |
Гаусс-Бонне |
индекс^ + 8) = х(М) = $е{М) |
сигнатура |
Хирцебрух |
х(М) = J*L(M) A ch(F) |
Дольбо |
Риман-Рох |
индекс (5) = Jtd(M) A ch(F) |
спин |
А-род |
индекс (D) = J* А (М) A ch (V) |
где е-эйлерова характеристика, tdхарактеристика Тодда, ch-характе- ристика Черна, где мы удвоили значение формы кривизны, ch - обычная характеристика Черна д является комплексно сопряженным к dz при использовании комплексных координат z, z для описания двумерной
поверхности. (Мы будем обсуждать комплексные многообразия в гл. 11.)
§ 9.9. РЕЗЮМЕ
Мы использовали множители Чана-Патона и сокращение аномалий для фиксации калибровочной группы теории струн. Множитель Чана-Патона является просто следом от произведения различных генераторов группы, на который умножается член Б о р н а - В е н е ц и а н о :
Т (1, 2, 3, ..., Л0 = |
I |
Тг (Хг Х2 Х3.. .XN) А (1, 2, 3, ..., N). (9.9-1) |
перестановки
К сожалению, единственное ограничение, налагаемое на выбор ГРУП?!? условием унитарности, состоит в том, что допустимы группы Usp(M' SO (N) или U (N) с произвольным N.
Более сильные ограничения на выбор группы возникают, если
§ 10.10. Резюме |
453 |
потребуем, чтобы модель была свободной от аномалий. Вообще говоря, здомалия возникает всякий раз, когда классическая симметрия лагранжиана не сохраняется в процессе квантования. Киральная аномалия, например, возникает из-за того, что метод регуляризации (ПаулиВил- ларса, например, или размерной регуляризации) всегда нарушает авральную инвариантность.
Вчастности, дивергенция аксиального тока не обращается в нуль,
аравна
= 10 к |
(9-9.2) |
что является полной производной или топологическим членом, определяемым через ток
/ ' 5 = - 8 я2 8цаРу Тг (Аа д„ Ау + \Аа Ар Ау). |
(9.9.3) |
Вообще говоря, в более высокой размерности аномалия будет пропорциональна топологическому члену. Например, используя теорию форм, можно показать, что «-кратное произведение тензора кривизны может быть записано как дивергенция от другой формы. Например, можно показать, что след от п-й степени тензора кривизны может быть записан в терминах дивергенции от формы Черна-Саймонса:
1
ТгCln = nd$ dt tn~l Т г { A ( d A + tA2)n~l}. (9.9.4)
о
Изучение этих инвариантных полиномов приводит нас к теории характеристических классов. Существует четыре классических характеристических класса. Класс Черна может быть определен как
с(П) = det(/ + ^ n) = 1 + сх(а) + с2(П) + .... |
(9.9.5) |
Класс Понтрягина определен для групп О (к) формулой |
|
P(Q) = det^J - ^ n) = 1 +рх +р2 + ... . |
(9.9.6) |
Класс Эйлера определяется через пфаффиан: |
|
аг = г! (2 п)г е (а) dx1 A dx2 А ... A dx2r. |
(9.9.7) |
Наконец, существет класс Штифеля-Уитни, который не может быть
вписан в терминах форм кривизны. Однако этот класс будет важен при Анализе спинорной структуры на многообразиях. В частности, при ^Ращении в нуль CDj, со2 мы получаем ориентируемое спинорное ^огообразие, на котором можно задать спиноры:
°>i = 0 <-• М |
ориентируемо, |
|
= со2 = 0 |
М является спиновым многообразием. |
(9.9.8) |
454 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера
Теоремы об индексах обычно записываются через следующие инвариантные полиномы:
Класс |
Тодда = td(M) = П 1 |
|
Х- |
тгт > |
|||
|
|
i 1 — е |
i |
||||
Класс |
Хирцебруха = L (М) = Ц |
Х- , |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Л-полином = А (М) = |
. |
|
(9.9.9) |
||||
|
|
1 shi |
|
|
|
|
Наибольший интерес представляет теорема об индексе оператора Дирака, касающаяся разности числа решений уравнения Дирака с нулевым собственным значением положительной и отрицательной киральности. Используя суперсимметричную сигма-модель, можно показать следующее:
Индекс ф) = Tr(— 1)F |
= |
dD хд^ J^ |
|
|
= (y^ - ) ( 1 2 ) D J TreF det"1 / 2 |
V * ] . |
(9.9.10) |
Вооружившись этим теоретическим аппаратом, можно вычислить калибровочные и гравитационные аномалии, найденные в теории супергравитации и теории суперструн. В этом случае гравитационные и калибровочные аномальные вклады возникают из-за того, что внутренняя линия может быть
(1)либо киральным фермионом спина 1/2,
(2)либо киральным фермионом спина 3/2,
(3)либо антисимметричным тензором, не имеющим ковариантного
действия.
Вычисление аномального вклада выполняется точно по фейнма- новским диаграммам. Вычисление, однако, чрезвычайно упрощается, поскольку можно сделать некоторые предположения о тензоре поляри- зации внешних линий, редуцируя, таким образом, его спин. Следо- вательно, трудная проблема свертки по различным индексам сводится к более простой задаче свертки по частицам более низкого спина.
Окончательные результаты таковы:
|
1 |
|
2к + 1 ~Xi |
/1/2 = - i22k+ 1 Д(г<1), ри))(4к)2к+ 1 М2 |
П |
|
1 = 1 Sh - X: |
|
§ 9.9. |
Резюме |
455 |
|
|
2fc |
1 1 Х- |
2к |
|
/3/2 = - i(2n)2k + 1 /?(£«/>«») |
П |
"V" |
X1 |
- |
|
» = 1 sh - xt j = о |
|
||
IA=l-i22k+12n2k+1R (e(l), />(j)) |
П1 |
l x |
(9-9-10 |
|
|
ch \ xi • |
|||
|
|
i = 1 sh±*e |
|
Собирая все вместе, мы находим полный аномальный вклад как от калибровочного, так и от гравитационного секторов:
hi = ^ TrF6 |
+ — T r F 4 |
Тг Л2 |
|
12 |
720 |
24-48 |
|
L T r f 2 |
{ ± - тгл4 |
+ ^ГТГЛ2У) |
|
256 |
\45 |
36 V |
/ / |
+ гкН'Л+ Зй™' ™4+15*(т",г)'(99Л2)
Как ни странно, можно обратить это" выражение в нуль, сделав несколько предположений. Вначале мы должны положить п равным 496 (если не касаться модели SO (16) х SO (16), которая будет обсуждаться в следующей главе). Затем мы предположим, что можно факторизовать
аномалию в произведение двух членов:
/1 2 ~(Tr/?2 + |
fcTrF2)X8, |
|
|
|
||
|
24 |
TrF4 |
- ^ ( T r F 2 ) 2 |
- |
TrF2 |
Л Tr R2 |
8 |
|
7200 |
|
240 |
|
|
|
+ 1 Т г Я 4 + ^(ТгЯ2 )2 . |
|
|
(9.9.13) |
Заметим, что десятимерная супергравитация немедленно отбрасывается, Потому что указанное выше тождество не может быть удовлетворено. Однако теория струн имеет одно большое преимущество перед теорией Ч^ергравитации. Наличие в теории суперструн полей более высокого спина означает, что предел нулевого наклона теории не должен ^Аудироваться точно к теории супергравитации. В частности, взаимодействия поля В в теории суперструн таковы, что они могут в принципе Тратить члены, выписанные выше.
Подлинное доказательство того, что аномальный член обращается в Пуль, должно быть выполнено в струнном формализме с помощью
456 |
Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера |
однопетлевого шестиугольного графа. Мы используем регуляризацию типа ПаулиВилларса на промежуточных линиях и потом суммируем по планарным и неориентируемым петлям. Аномалия пропорциональна следующему выражению:
G |
~ |
im2 |
е(С„к) |
jdl0pTr ( |
' |
д |
F 0 |
( l ) . . . — - j — 5 V0(6) |
Г , ) , |
(9.9.14) |
|
|
|
|
|
|
|
\Liq Н" Wl |
|
LIQ "Г Ш |
/ |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sK,/C) |
= |
£ ^ 2 |
,sViV2 |
|
фк^ |
|
^ |
|
(9.9.15) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rd |
= |
(- |
\ f n = i d - n \ |
|
|
|
|
|
(9.9.16) |
Окончательно, суммирование планарных и неориентируемых диаграмм дает
G - (п |
+ 32 /) |
Тг (Хх Х2.. .Х6) s (С, к) f Г М vf |
|
х |
0 ( v i + 1 |
- v I . ) < 0 | F o ( f c 1 , z 1 ) . . . K o ( / c 6 , z 6 ) | 0 > . |
(9.9.17) |
Чтобы обратить этот член в нуль, необходимо положить п = 32 и
Г1 Usp («),
1= < О |
U(«), |
(9.9.18) |
l - l |
SO(«). |
|
Следовательно, калибровочная группа должна совпадать с О (32).
ЛИТЕРАТУРА
[1]Paton J. Е., Chan Н.М. Nuch. Phys. BIO, 516 (1969).
[2]Adler S.L. Phys. Rev. 177, 2426 (1969).
[3]Bell J.S., Jackiw R. Nuovo Cimento 60A, 47 (1969).
[4]Bardeen W.A. Phys. Rev. 184, 1848 (1969).
[5]Witten E. In Symposium on Anomalies, Geometry, and Topology (ed. by W.E. Bardeen and A. R. White). World Scientific, Singapore, 1985.
[6]Frampton P.H., Kephart T. W. Phys. Rev. Lett. 50, 1343 (1983); Phys. Rev. D28, 1010 (1983).
[7]Townsend P. K., Sierra G. Nucl. Phys. B222, 493 (1983).
[8]Zumino В., Wu Y.S., Zee A. Nucl. Phys. B239, 447 (1984).
[9]Wess J., Zumino B. Phys. Lett. 37B, 95 (1971).
[10]Eguchi Т., Gilkey P.B. and Hanson A.J. Phys. Rep. 66, 213 (1980).
[11]Nach C., Sen S. Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, New York, 1983.
[12]Alvarez-Gaume L., Witten E. Nucl. Phys. B234, 269 (1983).
[13]Schwinger J.S. Phys. Rev. 82, 664 (1951).
[14]Marcus N, Schwarz J.H. Phys. Lett. 115B, 111 (1982).
[15]Green M.B., Schwarz J.H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); 151B, 21 (1984).
[16]Atiyah M.F., Singer I.M. Ann. Math. 87, 485, 546 (1968); 93, 1, 119, 139 (197H-
[17]Alvarez-Gaume, Commun. Math. Phys. 90, 161 (1983).
[18]Friedan D., Windey P. Nucl. Phys. B235 (FS11), 395 (1984).
Г л а ва 10 ГЕТЕРОТИЧЕСКИЕ СТРУНЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ
§ 10.1. КОМПАКТИФИКАЦИЯ
Одна из серьезных проблем, с которыми сталкивается теория струн, заключается в описании перехода от 26- и 10-мерной теорий к реалистичной 4-мерной теории. До тех пор пока такая размерная редукция не будет выполнена, теория не может претендовать на сколько-нибудь серьезное описание физической реальности.
Пока размерная редукция не выполнена в рамках полевой теории, наилучшее, что можно сделать,- это рассмотреть классические решения, описывающие спонтанную компактификацию дополнительных изме-
рений. В этой |
главе |
мы будем исследовать гетеротическую струну |
с группами Е8 |
(х) Es и |
Spin (32)/Z2, возникающими в результате ком- |
пактификации 26-мерного пространства к 10 измерениям.
Как мы видели в предыдущей главе, сокращение аномалий возможно для групп 0(32) и Е8 (х) Е8. Мы видели, однако, что метод ЧанаПатона не работает для исключительных групп. Поэтому для получения модели с группой Е8 ® Е8 необходимо применить другой метод, использующий компактификацию на автодуальную решетку. Хотя теория гетеротических струн является теорией замкнутых струн, она содержит поле супер-Янга-Миллса, возникающее обычно в секторе открытой струны для струн типа I.
В теории гетеротических струн используется обманчиво простое
тождество |
|
|
2 6 = 10 |
+ 16. |
(10.1.1) |
Это означает, что при компактификации 26-мерной струны к 10-мерной остается 16 дополнительных измерений, которые могут быть помещены на тор, генерируемый корневой решеткой группы Е8® Е8, что приводит, как известно, к свободной от аномалий теории. Это наблюдение было сделано Фройндом [1].
В гетеротической струне используется тот факт, что замкнутая струна имеет два независимых сектора: правый и левый. В правом секторе все функции зависят от сг + т, а в левом от а —т. Это расщепление существенно используется в теории гетеротических струн. Слово «гетерозис» означает «гибридная сила (энергия)». Здесь это означает, что ^симметричный подход к левым и правым модам приводит к гибридной теории, значительно более сложной, чем изучавшиеся ранее суперструны ^Ипа I и II. Было показано, что эта теория не имеет тахионов, "^аномальна и является конечной в однопетлевом приближении.
Прежде чем начать обсуждение гетеротической струны, опишем Процесс компактификации на простейшем примере скалярной частицы
458 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация
в периодическом одномерном пространстве. Это означает, что мЬ1 делаем отождествление
х = х + 2 nR, |
(10.1.2) |
где R- радиус этого пространства, являющегося одномерной вещественной осью, факторизованной по одномерной решетке Г длины 2nR:
S i = j r - |
(Ю.1.3) |
Поле, определенное в этом периодическом пространстве, должно поэтому удовлетворять условию
ф ( х ) = ф( . х + 2 я Л ) . |
(10.1.4) |
Это означает, что оно может быть разложено по периодическим собственным функциям:
ф(*) = 1пф . * " х . |
(Ю.1.5) |
Здесь |
|
р = |
(10.1.6) |
где «-произвольное целое число. Таким образом, видим, что соответствующий координате х импульс р квантуется в терминах целых чисел. Это является характерной чертой всех компактификаций.
Обобщим теперь это на частицу в 5-мерном пространстве-времени, пятая координата которого свернулась в окружность и стала периодической. Рассмотрим скалярное поле, удовлетворяющее безмассовому уравнению КлейнаГордона:
• 5 Ф ( * ц , * 5 ) = 0. |
(Ю.1.7) |
Как и выше, можно разложить скалярное поле по периодическим собственным функциям:
п
где р5 = n/R. Заметим, что каждая собственная функция может изменить эффективную «массу» в операторе Клейна-Гордона:
•5 = п4 + г§ = п*-р25. |
(Ю-1-9) |
Из этих простых примеров может быть сделано несколько выводов:
(1) Компактификация дополнительного измерения приводит к квантованию импульса, соответствующего к о м п а к т и ф и ц и р о в а н н о й координате. Компоненты импульса становятся целочисленными.
(2) Спектр масс в пространственно-временных измерениях, которые
§ 10.1. Компактификация |
459 |
компактифицированы, сдвинут эффективным «массовым» членом, возникающим из компактифицированных измерений.
(3)Радиусы компактифицированных измерений могут быть совершенно произвольными. Существует большая свобода выбора решетки, на которую мы хотим компактифицировать пространство.
(4)Волновую функцию можно разложить в ряд по периодическим собственным функциям от компактифицированной координаты. В одном измерении это просто синусы или косинусы. При большем числе измерений можно взять сферические гармоники.
Теперь рассмотрим случай компактификации теорий для полей более высокого спина, таких, как общая теория относительности, в которых за счет пятого измерения будет генерироваться поле Максвелла.
Исторически идея компактификации впервые была высказана Калуцей [2-4] , который в своем письме к Эйнштейну в 1919 г. предложил идею объединения электромагнитной теории Максвелла с общей теорией относительности Эйнштейна за счет расширения пространствавремени до пяти измерений. Калуца предложил записать метрический тензор в виде
9 м = ( к * ф 5 ) ' |
( 1 0 л л 0 ) |
где компоненты пятимерного метрического тензора выражаются через компоненты Ац потенциала электромагнитного поля и компоненты д четырехмерного метрического тензора:
9SH = У\15 = |
, |
(10.1.11) |
9\iv = 9\iv "Ь х2 АцAv .
Предположим, что пятое измерение экспериментально ненаблюдаемо из-за того, что оно свернуто в очень маленькую окружность. Поэтому пятая координата периодична:
*5 = х5 + 2 kR. |
(10.1.12) |
То есть, проходя расстояние 2nR вдоль пятого измерения, мы приходим в ту же самую начальную точку. Исходное пятимерное риманово многообразие теперь расщепляется в прямое произведение:
х St . |
(10.1.13) |
Предположим, что радиус пятого измерения является таким маленьким, что он не может быть измерен. Следовательно, можно положить
д5-+0. |
(10.1.14) |
При таком дополнительном предположении уравнения сильно упрощаются. Вариация метрики, например, обычно имеет вид
= дцАу + dvA^ + .... |
(10.1.15) |