Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

стейшая тороидальная компактификации феноменологически неприемлема хотя бы по той причине, что после нарушения симметрии выживает (N = 4)-суперсимметрия. Если мы стартуем с (N = 1)-суперсимметрии

в10 измерениях и компактифицируем к 4 измерениям, то получаем

врезультате (N = 4)-суперсимметрию. (Если мы стартуем с (N = 1).Су.

персимметрии в десяти измерениях, шестнадцать генераторов суперсимметрии Qa становятся после компактификации генераторами Q'P, где

Р-спинорный индекс в четырех пространственно-временных измерениях, a i пробегает от 1 до 4. Таким образом, компактификации (N = 1)-

суперсимметричной теории к меньшему числу измерений всегда приводит к дополнительной 0(и)-симметрии.)

Однако, налагая более жесткие ограничения на тороидальную компактификации), можно редуцировать (N = 4)-суперсимметрию к (N = 1)-

суперсимметрии. Диксон, Харви, Вафа и Виттен предложили компактификации) на орбиобразие [8, 9], получаемое факторизацией выбранного многообразия по дискретной группе, имеющей неподвижные точки (т. е.

точки, инвариантные относительно преобразований этой группы). Орбиобразие из-за сингулярностей в неподвижных точках не является многообразием, но струны могут беспрепятственно распространяться на орбиобразиях. Преимущество орбиобразий заключается в том, что они являются плоскими, при их использовании можно нарушить (N = 4)-су-

персимметрию, получить киральные фермионы, и к тому же их легко построить.

Простейшим орбиобразием является конус. Возьмем комплексную плоскость и сделаем отождествление

для некоторого целого числа п. Это разделяет комплексную плоскость

на п эквивалентных треугольных секторов. Заметим, что это отождествление факторизует плоскость по дискретной группе симметрии Zn.

Заметим, что начало координат является неподвижной точкой этого преобразования, т. е. начало координат отображается в себя при таком вращении. Если мы теперь разрежем комплексную плоскость и извлечем только один из этих треугольных секторов, а потом свернем этот сектор в соответствии с указанным выше отождествлением, то получим конус. Таким образом, конус, или орбиобразие, является не чем иным, как двумерным пространством R2, факторизованным по действию дискретной группы:

Начало координат, являющееся неподвижной точкой, становится теперь потенциальной сингулярностью. Следовательно, конус не является многообразием. Если мы обходим по пути вокруг вершины конуса, т0 полный угол, который мы проходим, будет не 360°, а 360°, деленное на я-

Наконец, приклеивая четыре диска обратно к поверхности, мы должны прибавить к эйлеровой характеристике число 4:

Это согласуется с нашей интуицией, потому что полученное многообразие эквивалентно двумерной сфере S2, имеющей эйлерову характери-

стику 2.

Теперь мы хотели бы обобщить предыдущий пример, переходя к более сложной компактифицированной поверхности размерности шесть. Компактифицируем сначала комплексную плоскость с помощью

Первое отождествление делит комплексную плоскость на бесконечное число узких вертикальных полосок. В результате отождествлений (11.8.10) комплексная плоскость становится разделенной на бесконечное число равносторонних треугольников. «Фундаментальная область» Т этого пространства состоит из двух таких треугольников, имеющих общую сторону.

В силу того что это пространство состоит из бесконечного числа равносторонних треугольников, оно инвариантно относительно вращения на 120 градусов:

Следовательно, это пространство имеет Z3-CHMMeTpmo. При вращении на 120 градусов в нем существует три неподвижные точки:

Отметим, что фундаментальная область Г, состоящая из двух равносторонних треугольников, содержит три неподвижных точки: одна из них расположена в начале координат, а две других - внутри каждого из ДвУ х

0 опять Z не является многообразием, поскольку три неподвижные точки (две из которых лежат внутри области Т) потенциально сингулярны.

Для обобщения на шестимерный случай можно рассмотреть просто Прямое произведение трех таких комплексных пространств

с З х З х З = 27 неподвижными точками.

Это пространство имеет то преимущество, что при компактификации на него (N = 1)-суперсимметрия в 10-ти измерениях может быть нарушена до (N = 1)-суперсимметрии в 4-х измерениях. Если мы компакти-

D = 10)-суперсимметрии расщепляется на четыре спинора, преобразую-

щихся по фундаментальному представлению 4 группы SU(4). Если мы компактифицируем на тор Т6, то группа SU(4) не нарушается и выживают все четыре генератора суперсимметрии в четырех измерениях, преобразующиеся по представлению 4 группы SU(4). Однако, если мы начинаем с орбиобразия, полученного факторизацией по группе Z3, мы можем вложить Z3 в подгруппу SU(3) группы SU(4). При этом факторизация по Z3 обязательно нарушает SU (4)-симметрию, так как группа SU(4) не имеет трехмерных представлений. Но только одна из четырех компонент вектора 4 фундаментального представления сохраняется при факторизации по Z3, и, следовательно, выживает, как и хотелось, только (N = 1)-суперсимметрия.

Итак, орбиобразия могут быть использованы для нарушения полной симметрии теории, так как выживают только симметрии, коммутирующие с дискретной группой. Этот метод может быть использован для нарушения калибровочной группы.

Пусть д- такой элемент 10-мерной калибровочной группы, что

Для некоторого целого т. Теперь мы требуем, чтобы состояния теории

коммутировали с комбинированным действием

Таким образом, мы имеем механизм одновременного нарушения как калибровочной группы, так и суперсимметрии.

В качестве примера можно взять элемент д группы SU (3), такой, что 0 = 1 . Следовательно, требование инвариантности состояний теории относительно действия двух групп Z3 приводит к нарушению

Вычислим теперь эйлерову характеристику этой поверхности и следовательно, число поколений. Мы опять должны вырезать 27 неподвижных точек из Т, факторизовать по Z3 и пришить обратно 27 кусочков.

Эйлерова характеристика поверхности Т равна нулю, так что многообразие Тбез 27 дисков, центры которых расположены в неподвижных точках, имеет эйлерову характеристику

Если факторизовать Тпо Z3 , то эйлерова характеристика станет равной

— 9. Теперь мы должны пришить обратно 27 дисков d. В то же время каждый такой диск имеет SU (3) в качестве группы голономии и эйлерову характеристику, равную 3, так что полная эйлерова характеристика равна

(11.8.21)

Следовательно, мы имеем 36 поколений фермионов.

Предыдущий пример был просто модельным примером в шести измерениях. Можно, однако, построить модели орбиобразий, имеющих много меньшее число поколений, например два или четыре.

§ 11.9. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СУПЕРСТРУНЫ

При построении моделей четырехмерных струн, использующих компактификацию на орбиобразия, должны быть учтены дополнителыше ограничения, такие, как модулярная инвариантность и условие L0 = L0. Эти ограничения нетривиальны, потому что модулярная инвариантность перемешивает граничные условия.

Например, при изучении модулярной инвариантности можно компактифицировать на шестимерный тор Т6, факторизованный по дискретной группе Р = Z„, так что (твистованные) граничные условия на орбиобразии Т6/Р являются следующими:

Х(о1,о2 + 2к) = дХ(о1, сг2).

Здесь д и Л - элементы группы P порядка п, т. е. дп = hn = 1. Для обычных бозонных и фермионных граничных условий д и h равны ± 1. Однако прй компактификации на орбиобразия эти условия должны быть обобщены.

Нетривиальность д и h может, конечно, нарушить полную симметрию теории как по пространству-времени, так и по в н у т р е н н и м переменным. Группа, сохраняющаяся при компактификации, это та

536 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Рассмотрим теперь гетеротическую струну, где вычисление следа ддя однопетлевой амплитуды приводит к множителю, содержащему энергии левых и правых мод:

Это выражение инвариантно относительно преобразования т —• т -f п если положить

Если мы обозначим собственные значения правого сектора через е

а два набора собственных значений левого сектора через e2niVu и е2niv* для подгруппы 0(16) х 0(16) группы Е8®Е8, то из (11.9.5) мы получим

следующий вклад нулевых колебаний в энергию основного состояния:

Поскольку v = г/п, можно собрать все вместе и получить ограничение

выполняющееся по mod и для нечетных и и по mod2« для четных п.

Рассмотрим теперь влияние этих ограничений на процесс компактификации, обсуждавшийся ранее для случая Z-орбиобразия, т.е. пространства T6/Z3, имеющего стационарную подгруппу Р порядка 3. Это означает, что 3vu и 3v2i могут быть помещены на корневую решетку

группы Е8.

Из условия модулярной инвариантности следует, что v\t2i должно равняться 2/3 от некоторого целого числа. Но поскольку 3vlt2i лежит на корневой решетке группы Е8, всегда можно положить v2 равным 2/9 от

некоторого целого числа. Наконец, мы знаем, что всякая точка восьмимерного пространства, содержащего решетку корней группы Е8, нахо-

дится на расстоянии 1 от некоторой точки решетки. Это означает, что всегда можно выбрать v2j2i ^ 1.

Модулярная инвариантность является столь жестким ограничением, что только пять решений согласуются с ограничением (11.9.9) для различных v. Каждый из пяти таких наборов нарушает группу симметрии Е8 (Х) Е8 ДО подгруппы, коммутирующей с твистующими множи-

телями д иh. Имея явный вид v, нетрудно вычислить эту подгруппу. Поскольку 3v совпадает с вектором решетки, подгруппа, сохраняющаяся после нарушения симметрии, является группой, коммутирующей с этими векторами решетки. Мы просто перечислим упомянутые пять решений [8, 9]:

(4)

ivh=

(11.9.13)

Для этого решения получаем группу Е6 ® SU (3) ® Е6 ® SU (3).

(5)

Решение (5) дает группу симметрии SU(9) ® SO(14) ® U(l). (Многоточие обозначает последовательность нулей.)

Пять групп, которые мы построили с помощью орбиобразий, не имеют никакого отношения к стандартной модели. Эти группы все еще слишком обширны, и число поколений слишком велико. Модели этого

типа часто имеют 27 поколений, потому что всегда можно построить струны, намотанные вокруг 27 неподвижных точек орбиобразия, что и приводит к числу избыточности 27. Однако мы можем редуцировать далее калибровочную группу и контролировать число поколений, постулируя существование фоновых калибровочных полей (вильсоновских петель), соответствующих нестягиваемым петлям на торе. В принципе это позволяет получать модели только с тремя поколениями и калибровочной группой SU(3) х SU(2) х U(l)n. Как и в предыдущем обсуждении, выживающей калибровочной группой будет подгруппа в Е8 ® Е8, коммутирующая с вильсоновской петлей. В случае орбиобразий

с вильсоновскими петлями, выживающей калибровочной группой является подгруппа в Е8® Е8, коммутирующая как с Р = Z3, так и с вильсо-

новской петлей.

Определим вильсоновский интеграл, параметризованный числами а!:

где / = 1 н- 6, / = 1 — 16, a el задают решетку на шестимерном торе. Таким образом, мы ввели в наши уравнения связи новый вектор с компонентами а{, что позволит нам построить новые решения. Можно показать, что За! и 3v1 равны компонентам векторов на решетке.

Относительно модулярного преобразования т —> 1/т векторы корневой решетки группы Е8 ® Е8 преобразуются следующим образом:

где «, = 0, ±1. Различные значения чисел щ дадут различные твистованные секторы. Повторяя предыдущие рассуждения, можно также

для некоторого целого числа ш. Это и есть то самое уравнение связи, возникающее из условия модулярной инвариантности, которое является менее ограничительным, чем (11.9.9).

Существует огромное число решений этого уравнения [10, И] из-за наличия члена с а\. Выберем, однако, одну из таких возможностей,

которая приводит к существованию трех поколений. Мы выберем следующий набор значений для vl и а\:

Можно показать, что в нетривиальном секторе подгруппой группы Es,

коммутирующей с действием вильсоновской петли, является группа

Отметим, что число поколений теперь редуцировано до трех. (Это связано с тем, что 27 неподвижных точек могут быть разбиты на три сектора по девять точек в каждом, если существует вильсоновская петля в одном из трех комплексных измерений. Добавление двух вильсоновских петель создает девять секторов по три неподвижные точки в каждом. Тщательный выбор компонент v1 и а{ уничтожает все секторы,

кроме одного, оставляя только три поколения.) Еще одним преимуществом этой модели является отсутствие дополнительных цветных триплетов, которые могли бы ускорить распад протона.

Недостатком этой модели, однако, является слишком большое число множителей U(l), что плохо с точки зрения феноменологии. Действительно, использование вильсоновских петель не уменьшает ранга группы (поскольку мы факторизуем по дискретной группе), так что мы по-преж- нему имеем дело с группами ранга 8, что слишком много. Более того, необходимо проверить, не приводят ли эти дополнительные множители U(l) к аномалиям.