Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Представление КартанаВейля

В общем случае для исключительных групп не существует таких удобных представлений через подгруппы группы GL(«). Вместо этого мы

Полученная алгебра называется картановской подалгеброй. Число элементов картановской подалгебры называется рангом г соответствующей группы. Назовем все прочие элементы исходной алгебры Е. Каковы коммутационные соотношения между элементами Н и ЕР. В общем случае нельзя обеспечить, чтобы коммутатор элементов из Н и Е давал другой элемент из Я, потому что это не удовлетворяло бы тождествам Якоби. Поэтому этот коммутатор даст другой элемент из Е. Мы всегда можем перегруппировать прочие элементы Е исходной алгебры таким образом, чтобы они стали собственными векторами элементов Я. Обозначим их

где а называется корневым вектором в r-мерном пространстве. В общем случае эти корневые векторы лежат в r-мерном пространстве. Заметим, что если число параметров группы равно N, то число элементов Е равно N — г. Итак, в r-мерном пространстве имеется N — г корневых векторов. Всегда можно взять линейные комбинации различных Е и получить уравнение на собственные значения

В силу тождеств Якоби другие коммутационные соотношения принимают вид

[£а, Ер] = Na$Ea+р.

N суть структурные константы нашей группы. Их явный вид дается уравнением

Симметрии, связывающие между собой структурные константы, таковы:

Диаграммы Дынкина

Дадим несколько определений, касающихся корней. Каждый корневой вектор лежит в r-мерном пространстве. Поэтому мы можем выбрать некое подмножество, состоящее из г таких векторов, так что каждый другой корневой вектор может быть записан как их линейная комбинация:

г

i — 1

Корень называется положительным, если первый ненулевой коэффициент с в этой формуле положителен. Простой корень- это положительный корень, который не может быть представлен суммой двух положительных корней. Поскольку структурные константы однозначно определяют алгебру, то это же можно сказать о матрице Картана; это (г х ^-матри- ца, определенная формулой

где а, суть г простых корней.

Диагональные элементы матрицы Картана по построению равны 2. Но эта матрица необязательно симметрична. Действительно, можно показать, что для внедиагональных элементов возможны лишь значения 0, —1, —2, —3. Поскольку матрица Картана полностью определяет группу, можно использовать некоторые простые свойства этой матрицы, чтобы определить группу графически. Самое удобное из таких графических представлений- диаграмма Дынкина.

Для группы ранга г нарисуем г точек. Каждый простой корень, таким образом, представлен точкой. Теперь соединим точки i и j с помощью п линий, где п равно произведению соответствующих внедиагональных

Полученная диаграмма представляет собой набор точек, соединенных одинарными или множественными линиями и называемая диаграммой

Дынкина. Достоинство диаграмм Дынкина состоит в том, что они однозначно определяют структуру любой группы Ли и тем самым позволяют визуально различать разные группы Ли.

Ев

Рис. ПЛ. Диаграммы Дынкина для разных алгебр Ли. Число точек представляет ранг соответствующей группы. Число линий, соединяющих точки, зависит от угла между двумя корневыми векторами. Диаграммы Дынкина дают удобный способ наглядного представления всей структуры произвольной алгебры Ли.

векторами:

п0

2135°

3150°С

Если ограничиться компактными вещественными группами, получим

574 Приложение

следующие диаграммы Дынкина (см. рис. П.1):

±е»;

C„ = Sp(2«);

±е , + е,;

±2е( ;

D„ = S0(2«);

±е, ± еу,

е,

±2е<

± et ± е2 ± е3 + е4

^ ( + е 1 ± е 2 + . . . ± е 5 ) ± ( 2 - ^ ' е6 ;

в последнем выражении число знаков + четно.

Е7;

в последнем выражении число знаков + четно.

ЕА;

j ( ± e , ± е 2 ± . . . ± е 7 ) ± 1 е 8 ;

в последнем выражении число знаков + четно.

§П.2. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

ВОБЩУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Наиболее общее преобразование координат пространства-времени

При такой репараметризации использование правила дифференцирования сложной функции позволяет установить, что дифференциалы и частные производные преобразуются по формулам

дх» ,

( }

дх? dx»dxv'

Будем говорить, что дифференциал dx» преобразуется контравариантным образом, а производная дц преобразуется ковариантным образом. По прямой аналогии теперь определим векторы, преобразующиеся точно так же:

нескольких векторов. Число индексов тензора называется рангом тензора.

Теперь легко показать, что свертка ковариантного и контравариант-

Фундаментальная проблема общей ковариантности, однако, возникает из-за того, что частная производная тензора не является тензором. Чтобы справиться с этой ситуацией, приходится ввести еще один объект, называемый символом Кристоффеля, который превращает производную тензора в настоящий тензор:

как элемент группы GL (D), то окажется, что не существует конечномерного спинорного представления этой группы. Поэтому одних лищь метрических тензоров недостаточно для определения спиноров.

Чтобы найти выход из этого положения, построим плоское касательное пространство в каждой точке многообразия, обладающее симметрией О (D). Определим векторы в касательном пространстве, обозначив их латинскими индексами а, Ь, с, d, .... Определим тетраду как

е°аеаЬ = ЬаЬ.

Определим теперь множество гамма-матриц, определенных как в касательном, так и в основном пространствах:

Тогда оператор производной, действующий на спинор, принимает вид

Здесь о"6- антисимметричное произведение двух гамма-матриц, а (of называется спиновой связностью. Заметим, что спиновая связностьэто настоящий тензор по индексу р. Под действием локального преобра-

Можно также использовать формализм группы О (3, 1) для построения общей теории относительности и обойтись без символов Кристоф-