Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf490 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация
Можно показать, что такие лоренцевы решетки действительно существуют, если выполняется условие р — q = 8п для целых п. В нашем случае п = 2.
Мы также можем вычислить число параметров такой решетки. Можно показать, что лоренцева решетка единственна с точностью д0 преобразований группы SO(/?,#). Но формулы для масс, которые мы получили, инвариантны только относительно групп SO(p) и SO(#).
Следовательно, полное число параметров равно |
|
dim SO(/?,<7) - dimSOO?) - dimSO(?) = pq. |
(Ю.9.7) |
Таким образом, полное число параметров, характеризующих решетку, равно р(р — 16).
С помощью этого метода компактификации мы значительно увеличим число допустимых групп. Полный ранг группы теперь равен 26 — D. Это означает, что в нашем распоряжении есть такие большие группы, как SO(52 — 2D). В четырех пространственно-временных измерениях это дает SO(44). При D = 4 мы также можем получить группу Е8 ® Е8 ® ® Еп ® SU(2) или Е8 (х) Е\ (х) <7, где G может быть либо SO(4), либо SU(3). Можно взять также группу Е8® Е8® Gl0_d, где группа G должна иметь корни равной длины.
Эти рассуждения могут навести на мысль, что лоренцевы решетки представляют собой совершенно новый способ компактификации гетеротической струны. На самом деле это не совсем верно. Оказывается, что все же можем получить лоренцеву решетку в рамках обычной гетеротической струны. Рассмотрим, например, следующее действие для
струны в присутствии фоновых полей: |
|
|
|||
дидаХ'даХ] |
+ |
в^ВидаХ1д^ |
+ |
бaM?даХ1дрХ', |
(10.9.8) |
где / пробегает от 1 до 16, /^-антисимметричный тензор, гар-анти- симметричный тензор в двумерном пространстве. Предположим, что gtj, Ви и поля Л\ аппроксимированы постоянными фоновыми полями. Заметим, что полное число параметров в этом подходе может быть найдено подсчетом числа независимых мод таких полей для полного числа параметров pq:
|
с |
|
|
|
|
I |
z<7(?+l) |
|
|
ви |
J |
|
> |
(10.9.9) |
< Ai |
И I |
16q |
|
|
|
|
|||
|
|
\q{q- |
О |
|
Проквантуем теперь эту систему, предполагая, что X а п п р о к с и м и р у е т с я выражением
X ' = 2g«' + <7,(T). |
(10.9.10) |
§ 10.10. Резюме |
491 |
Подставим теперь это выражение в действие, квантуя систему в присутствии этих постоянных фоновых полей. Отличие от нуля этих фоновых полей добавляет pq новых параметров в процесс компактификации, что в точности совпадает с числом новых параметров, введенных компактификацией на лоренцеву решетку. Более того, можно показать, что обычная компактификации в присутствии таких фоновых полей эквивалентна компактификации на лоренцевы решетки.
Компактификации на лоренцеву решетку не только эквивалентна общепринятой схеме компактификации в присутствии фоновых полей, но также дает очень удобный способ систематизации чрезвычайно большого числа возможных компактификаций.
§ 10.10. РЕЗЮМЕ
Условие сокращения аномалий требует, чтобы мы брали либо группу 0(32), либо Е8®Е8. Однако множители Чана-Патона несовместимы с исключительными группами. Поэтому нам не остается иного выбора, как только рассмотреть компактификацию, с помощью которой можно генерировать исключительные группы для суперструн.
В простейшем случае компактификации одного измерения необхо-
димо сделать отождествление |
|
x = x + 2nR. |
(10.10.1) |
Затем скалярная функция от л; должна быть разложена в ряд по периодическим собственным функциям:
ф(*) = 1ф„*1 р д е , |
(Ю.10.2) |
п |
|
где |
|
P = j. |
(10.10.3) |
Видим, что выбор периодических граничных условий приводит к квантованию импульса.
В теории же гетеротических струн компактифицируют 16 измерений из 26 на 16-мерную решетку. В замкнутой струне правый и левый секторы независимы. Правый сектор десятимерен и содержит фермионную суперструну и бозонную струну. Левый сектор изначально был 26 -мерным, но потом был компактифицирован к 10 измерениям, оставляя 16-мерную теорию, определенную на решетке, и 10-мерную бозонную струну (которая для получения замкнутой бозонной струны комбинируется с правым сектором бозонной струны). Окончательно действие в калибровке светового конуса имеет вид
л |
|
|
dxjda(d.X,dmX' + |
I |
д.Х'д.Х1 + iSy~(dt + da)S), |
4яа'% |
|
|
о |
|
(10.10.4) |
492 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация
где мы наложили следующие условия связи:
(дх-да)х' = о,
(10.10.5)
Y + S = | ( l + y u ) S = 0 .
Действие (10.10.4) инвариантно относительно преобразования суперсимметрии:
'5ЛГ1 = (/> + Г1 / 2 ёу'$, |
|
.55° = Цр+Г1/2У-У»(дТ - д„)Х»е. |
(10Л0-6) |
При анализе спектра гетеротической струны мы должны принимать во внимание квантование импульса, а также возможность намотки струны вокруг компактифицированных измерений. Это приводит к следующим условиям на спектр:
1-т2 = N + (N - 1) + \ £ (Р1)2 . (10.10.7)
Последнее условие на спектр возникает, когда мы налагаем требование инвариантности струны относительно сдвига вдоль координаты а. Оператор, генерирующий такое вращение, имеет вид
Щ0) = ехр{2/0(ЛГ - #+ 1 - 1 Д ( ^ ' ) 2 ) } . |
(Ю.10.8) |
|
Таким образом, мы требуем |
|
|
1 |
16 |
(10.10.9) |
N = N - 1 + - £ |
(р1)2 . |
|
2 / = 1 |
|
|
Для гетеротической струны также можно построить вершинные функции. На самом деле они просто равны произведению обычных левых и правых вершин для суперструн, построенных ранее в гл. 3. Выберем следующий анзац для супергравитационного мультиплета:
VB = p^(k)]doB»pvei k 'x ,
(10.10.10)
VF = ]doFaPvU™(k)eik'x ,
о
где
k+ =0,
В* = Р*+ ^kJRiJ,
|
dX( |
У + L a U - 2 ' ^ , |
p i = |
^ Ц = |
|
|
-or) |
2 |
§ 10.10. Резюме |
493 |
О |
|
|
Ра |
= |
1-1(р+У1,21ЕГР-1-:Кик1Еу]:Г9 |
Р* = \р* + |
Z aU"2/w(T + CT). |
|
2 |
пф О |
|
Имея вершинные функции и обычный пропагатор (плюс условия связи), можно вычислить четырехточечную функцию для амплитуды рассеяния четырех безмассовых калибровочных бозонов:
A4 = |
g2K(pi9ki)x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 8—~ |
/ ' ; / ~ |
' N |
—^ 1 —; |
(10.10.12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
) г [ 1 - г |
|
|||||
|
|
• O - s M ' - i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
здесь К - сложная функция от поляризаций, а S, Т и U определены формулами
S = (KX + Х2)2,
Т=(К2 + К3)2,
(10.10.13)
и = (Кг + Къ)\
s+ Т+ и = 8.
Аналогично можно определить однопетлевую амплитуду, которая, что можно явно показать, является модулярно инвариантной. Это позволяет убрать сингулярность при т = 0, что означает конечность теории в однопетлевом приближении.
Анализируя спектр теории, мы нашли, что описать спектр в терминах мультиплетов группы Е8 (х) Es чрезвычайно трудно. Доказательство того, что спектр может быть представлен в терминах неприводимых представлений этой группы, много легче провести, используя алгебры Каца-Муди. Генераторы алгебр Каца-Муди имеют следующие коммутационные соотношения:
1 П 9 т = (Г"1Т1т + п + к т Ъ Ч т , - п . |
(10.10.14) |
Заметим, что это обычная алгебра Ли с генераторами, зависящими от Координаты на окружности. Можно также записать коммутаторы этой алгебры в терминах базиса КартанаВейля, генераторы в котором Имеют вид
[Я, (0), яде)] =0,
(10.10.15)
[я,(0X^(8')] = - 2тгб(6 - 0')а,£в (е),
4 |
|
§ 10.10. Резюме |
495 |
калибровочными группами, например SO (52 — 2D). Несмотря на то что такие модели выглядят сильно отличающимися от стандартной гетеротической струны, можно показать, что такие новые классы моделей можно построить при отличии от нуля постоянных фоновых полей
А! и Ви.
ЛИТЕРАТУРА
[1]Freund P.G.O. ITP preprint, 1984.
[2]Kaluza Th. Sitz Preuss. Akad. Wiss. Kl, 966 (1921).
[3]Klein O.Z. Phys. 37, 895 (1926).
[4]Lee H. C. Introduction to KaluzaKlein Theories, World Scientific, Singapore, 1984.
[5]Cremmer E., Scherk J. Nucl. Phys. B108, 409 (1976); B118, 61 (1977).
[6]Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E. and Rohm R. Phys. Rev. Lett. 54, 502 (1985); Nucl. Phys. B256, 253 (1986); B267, 75 (1986).
[7]Yashikozawa S. Phys. Lett. 166B, 135 (1986).
[8]Frenkel I. В., Kac V.G. Invent. Math. 62, 23 (1980).
[9]Segal G. Gommun. Math. Phys. 80, 301 (1982).
[10]Kac V.G. Infinite Dimensional Lee Algebras, Birkhauser, Boston (1983). [Имеется перевод: В. Г. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли - М.: Мир, 1993.]
[И]Alvarez-Gaume L., Ginsparg P., Moore G. and Vafa C. Phys. Lett. 171B, 155 (1985).
[12]Dixon L., Harvey J. Nucl. Phys. B274, 93 (1986).
[13]Narain K.S. Phys. Lett. B169, 41 (1986).
[14]Narain K.S., Sarmadi M.H. and Witten E Nucl. Phys. B279, 369 (1987).
Глава 11 ПРОСТРАНСТВА КАЛАБИ-ЯУ И ОРБИОБРАЗИЯ
§ 11.1. ПРОСТРАНСТВА КАЛАБИ-ЯУ
Несмотря на то что формулировка гетеротической струны является значительным продвижением по сравнению с обычной формулировкой теории струн, остается еще вопрос, можем ли мы редуцировать теорию к четырем измерениям и удовлетворить строгим феноменологическим ограничениям. Ответ на этот вопрос, к сожалению, отрицателен.
В настоящее время арсенал технических средств, находящихся в нашем распоряжении, слишком примитивен, чтобы ответить на вопрос, претерпевает ли теория спонтанную размерную редукцию. Нам остается только ждать дальнейшего развития полевой теории струн или, возможно, создания другого формализма, прежде чем можно будет сделать какое-либо заключение относительно истинного вакуумного состояния теории.
При отсутствии непертурбативной формулировки теории лучшее из того, что можно сделать,-поискать различные классические вакуумы теории и определить, могут ли они соответствовать приемлемой феноменологии. Неожиданно оказывается, что довольно слабые ограничения на схему компактификации достаточны для получения приемлемой
феноменологии. |
Хотя ни |
одно из решений не согласуется полностью |
с минимальной |
моделью |
SU(3) (х) SU(2) (х) U(l), мы подходим к ней |
достаточно близко, сделав всего лишь несколько предположений относительно классических вакуумов.
Однако, к сожалению, мы сталкиваемся с затруднением, заключающимся в обилии таких вакуумов. Имеются сотни, если не тысячи, допустимых классических решений, и неясно, как выбрать один вакуум среди всех возможных. Таким образом, хотя простейшая феноменология может быть получена из теории струн, нам все же придется подождать развития непертурбативного формализма, прежде чем можно будет сделать какие-либо определенные утверждения относительно подлинного вакуума теории.
В этой главе мы поэтому предположим, что компактификации может
быть выполнена, и обсудим два метода записи классических вакуумов для теории струн:
(1) Пространства Калаби-Яу. Потребуем, чтобы (N = 1 ) - с у п е р с и М -
метрия в четырех измерениях была ненарушенной. Это простое предположение вынуждает нас рассматривать многообразия с ковариантно постоянным спинором, что в свою очередь н а к л а д ы в а е т ограничения на рассматриваемое 6-мерное многообразие: оно долэк* но быть многообразием Калаби-Яу [1, 2].
§ ILL Пространства КалабиЯу |
497 |
(2) Орбиобразия. Компактифицируем на торы, факторизованные по действию дискретной группы. Это позволяет нам нарушать калибровочную группу и получать различные низкоэнергетические предсказания. (Орбиобразия, вероятно, являются специальными пределами пространств Калаби-Яу, хотя здесь не все еще ясно.)
Начнем, однако, с взятия предела нулевого наклона теории, редуцирующего ее к десятимерной супергравитации, взаимодействующей с теорией (Е8 ® £8)-супер-Янга- Миллса (см. приложение), и сделаем некоторые достаточно обоснованные предположения о схеме нарушения симметрий. Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен [1, 2] сделали следующие предположения о пределе нулевого наклона:
(1) 10-мерная вселенная компактифицирована к прямому произведению
4- и 6-мерной вселенных:
М 1 0 ^ М 4 х К6 , |
(11.1.1) |
где многообразие М4 является максимально симметричным про-
странством, |
т.е. |
|
|
^усф = J2 |
~ |
, |
(11.1.2) |
а К является компактным многообразием. (Предположение о том,
что четырехмерное многообразие максимально симметрично, приводит к тому, что оно должно быть пространством де Ситтера, анти-де Ситтера или Минковского.)
(2)Локальная суперсимметрия N = 1 остается ненарушенной и выжи-
вает при компактификации.
(3)Некоторые бозонные поля можно положить равными нулю:
#=</ф = 0. |
(11.1.3) |
Второе предположение об суперсимметрии N = 1 является особенно
важным, поскольку оно налагает нетривиальные ограничения на струк- туру многообразия К6. Если суперсимметрия не нарушена, то генератор сУперсимметрии Q должен зануляться на векторе вакуума |0> (см.
(9.8.4)). Вариация фермионного поля относительно преобразования суперсимметрии дается формулой
8\|/ = [8<2,у]. |
(11.1.4) |
Значение вакуумного среднего для этого уравнения равно нулю, если Чгоерсимметрия сохраняется (поскольку Q уничтожает вакуум):
<0|5\|/|0> = 0. |
(11.1.5) |
®ДНако в классическом пределе вариация фермионного поля и значение Ьа*УУМного среднего совпадают:
5V ~ <015\|/10> . |
(11.1.6) |
498 |
Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия |
Таким образом, если суперсимметрия N = 1 остается ненарушенной при компактификации, то вариация фермионных полей должна равняться нулю:
8у = 0. |
(11.1.7) |
Это в свою очередь налагает нетривиальные ограничения на параметр суперсимметрии 8. Первоначально 8 был произвольным спинорным полем. Однако требование точности суперсимметрии N = 1 означает что мы должны выбрать подмножество в бесконечном множестве всех
допустимых 8 так, чтобы суперсимметрия N = 1 сохранялась. Вариация полей десятимерных фермионов (см. приложение) имеет
вид [3]
5VJ/, = х-^е + rrV(HftZ - %irkl)zHjkl + ..., |
|||
320 <p |
|
|
|
5 х ° = — £ + ..., |
(11.1.8) |
||
40>/ф |
|
|
|
|
|
|
|
ЬХ = —~=— (Г • дф) 8 + —= Г'*е Hijk + ..., |
|||
У2Ф |
8У202Ф |
||
где латинские буквы i, j, к, а, Ь, с являются индексами 6-мерного пространства и мы опускаем более высокие по степеням 8 четырехфермионные члены взаимодействия. Кроме того, выполняется тождество Бьянки:
dH = TrR Л R - i T r F Л F. |
(11.1.9) |
Теперь наложим второе и третье условия, которые приведут к ограничениям на наш параметр 8. Вариации полей редуцируются к
&v|/i = т Д е = 0. |
(11.1.10) |
|
= rlJFijt = 0. |
||
v |
Эти уравнения являются в высшей степени нетривиальными ограничениями для исходной теории, особенно первое утверждение Д-е55 0 о ковариантном постоянстве спинора 8. В частности, это налагает очень
жесткие ограничения на спиновую связность, задающую ковариантну*0 производную на многообразии, и, следовательно, на само многообразие.
Первое уравнение в (11.1.10), например, утверждает, что параллельное перенесение спинора в на некоторое расстояние оставляет это^ спинор неизменным. Более того, можно выполнить два таких перемеШ® ния, а также обойти вокруг замкнутого пути (см. приложение). ** пример, если мы продифференцируем (11.1.10) еще раз, то полу4111^