Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1266 вузов, 4642 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

.pdf
Скачиваний:
100
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
4.61 Mб
Скачать
☆

580

Приложение

руют:

dx»Adxv = - dxvAdx», dx» A dx» = 0.

Определим оператор производной как d = dx»d^.

Заметим, что поскольку производные коммутируют,

= 0 ,

то

d2 = 0,

где оператор d нильпотентен. Теперь определим два-форму:

F = F^dx»Adx\

Заметим, что кривизна векторного поля является два-формой:

F = dA = dx»dilAvdxv

= \{d]XAv - dvA^dx» Adxv.

Поскольку оператор d нильпотентен, имеем dF = d2A = 0.

(П.3.2)

(П.3.3)

(П.3.4)

(П.3.5)

(П.3.6)

(П.3.7)

(П.3.8)

Таким образом, тождества Бьянки для теории Максвелла, выраженные на языке форм, суть не что иное, как нильпотентность оператора d.

Форма со называется замкнутой, если

</со = 0.

(П.3.9)

Форма со называется точной, если

 

со = dQ

(П.3.10)

для некоторой формы Q. Таким образом, форма кривизны является точной, поскольку она может быть записана как дивергенция один-фор- мы А. Она также является замкнутой вследствие тождеств Бьянки.

Все это можно также объединить с локальной калибровочной группой, порожденной образующими Ха. Пусть

А = Aa^kadx».

(П.3.11)

Тогда форма кривизны есть

 

F = dA -{-AAA .

(П.3.12)

Далее, калибровочная вариация поля ЯнгаМиллса при преобразовании

А = АаХа

(П.3.13)

§ П.З. Краткое введение в теорию форм

581

равна

 

bA = d\ + А А Л - Л Л А.

(П.З.14)

Подставляя вариацию поля А в кривизну F, получаем

 

5F = F A A - A A F .

(П.3.15)

Итак, вариация действия равна нулю:

 

5Tr(F2) = 2Tr (F Л Л) — 2Тг (Л Л F) = 0.

(П.З.16)

Теперь выпишем аномальный член FF, выразив его на языке форм. Дивергенция аксиального тока также является квадратом двух величин, выражающих кривизну, что также дает полную производную. На языке форм, это, как мы увидим, есть точная форма:

Tr(FAF) = dco3,

(П.З.17)

где

 

со3 = Tr ^AdA + \АЪ^;

(П.З.18)

со3-это три-форма, которую мы назовем формой

Черна-Саймонса.

В свою очередь ее калибровочная вариация равна еще одной форме, которая также является точной:

5со3 = Тг (dA Л dA) = d<o2,

(П.З.19)

где

 

со2 = Тг(Л Л dA).

(П.3.20)

Заметим также, что эти тождества в равной мере применимы и к теориям Янга-Миллса, и к общей теории относительности. Для теории тяготения имеем калибровочную группу 0(3, 1). Другими словами,

гравитационное поле обладает двумя калибровочными

симметриями,

а именно общей ковариантностью по координатам

х-пространства

и локальными лоренцевыми преобразованиями касательного пространства. Подробнее это будет объяснено ниже.

В общем случае N-форма определяется как

 

со =0)

dx^ A dx^ А ... A dx.

(П.3.21)

Все выписанные выше уравнения, конечно, можно вывести без использования теории форм. Однако формы обеспечивают мощную и компактную нотацию, позволяющую манипулировать сложными математическими объектами. Заметим, например, что теорема Стокса, выраженная на языке форм, принимает вид

Sdco= J со,

(П.3.22)

МдМ

где дМ есть граница многообразия М.

582 Приложение

Вот некоторые простые свойства этих форм:

 

сорЛсо, = ( - 1Гсо, Лсор,

(П.3.23)

d{сор Л <оя) = d(op Л со9 + (- 1)рсор Л d<oq.

 

Введем также новый оператор-звезду Ходжа, позволяющую брать форму, двойственную к /7-форме, и превращать ее в (п — /?)-форму в «-мерном пространстве:

I 1/2

8ц1 %

Л ... Л dx»*.

(П.3.24)

* (dx^ Л ... Л dx»p) = —-———I !

( п - р ) \

 

Вот некоторые свойства этого оператора:

 

**сор = (-1)р(п~р)сор,

(П.3.25)

сор Л * со9 = со9 Л * сор.

 

В оставшейся части этого раздела мы докажем приведенное в гл. 9 утверждение о том, что всякий инвариантный полином является одновременно замкнутой и точной формой. Определим инвариантный полином как такой полином, который удовлетворяет условию

Р(а) = Р(д~1ад).

(П.3.26)

Начнем с определения однородного инвариантного полинома сте-

пени г, зависящего от форм а,:

 

Р = Р(ах, а2 ,..., аг).

(П.3.27)

Продифференцируем этот полином, тщательно выписывая производные каждой формы, содержащейся в Р\

dP= £ ( - l ) d i +

</af,...,ar).

(П.3.28)

1 ^ / ^ r

 

 

Всякий раз, когда оператор производной d проходит над формой at, он приобретает соответствующий множитель:

dai = (dat) + atd(- l)d'.

(П.3.29)

Теперь предположим, что

 

a -> д~*ад.

(П.3.30)

Для д, близких к единице, всегда можно записать

(П.3.31)

5а = — со Л а + а Л со.

Вычислим вариацию однородного полинома P степени г при таком сдвиге:

5/>(а15 а2,..., аг) = 0 = £ (- l)di+

[/>(a i a2 ,..., со Л af,

ar)

- (- lf*P(al9 а 2 Д ' Х Л со,..., аг )] .

(П.3.32)

§ П.З. Краткое введение в теорию форм

583

фокус теперь будет состоять в том, что мы сложим вклады от dP и от 5 Р:

d P + b P = X ( — + dfF(a1, a 2 , . . . , Da,,..., ar).

(П.3.33)

Теперь положим, что каждая а, является формой кривизны, подчиняющейся тождеству Бьянки D а* = 0. Таким образом, получаем

<//>(Q) = 0,

(П.3.34)

что и утверждалось.

Вторая часть доказательства несколько сложнее. Определим

Q = dco + со Л со,

 

Q = dco' + со Л со'.

(П.3.35)

Теперь наш план состоит в том, чтобы для некоторой формы показать выполнение равенства

/>(Q') -

= dQ.

(П.3.36)

Сначала мы хотим выписать форму кривизны, позволяющую непрерывно интерполировать между П и й ' . Пусть

Ю< = и + ' л '

(П.3.37)

Г| = со' — со.

 

Заметим, что переменная t позволяет интерполировать между этими двумя формами:

t = 0 -> со,' = со,;

(п.з.з8)

t = 1 —• СО, = СО .

 

Теперь легко найти форму кривизны, осуществляющую эту интерполяцию, как функцию t\

ft, = dco, + со, Л со,,

(П.3.39)

где

 

г = 0 -> Qf = Q.

(П.3.40)

Эта форма изменяется между Q и Q', когда t изменяется от нуля до единицы.

Теперь выпишем форму q, такую что

q(р, a) = rP{р, а, а ...

(г - 1 раз)... а),

(П.3.41)

где форма а повторяется г — 1 раз в инвариантном полиноме. Эта форма q будет играть ключевую роль в доказательстве того, что Р является точной формой.

В силу приведенного выше рассуждения при дифференцировании

584

Приложение

 

q получим

 

 

dq(r\, Qt) = rdP(ri,

Qt ... (r - 1 раз) ... Qt) = q(Dr|, Qt) -

 

- r ( r - 1)/Р(л, П, А Л - Л AQ„Q, ...,Q,).

(П.3.42)

Но в силу того факта, что q является инвариантным полиномом, мы получаем также тождество

2</(л А л, П,) + г(г - 1)Р(л, А л - Л A Qt, ... , Qt) = 0.

(П.3.43)

В (П.3.43) мы использовали

 

q = 1 + л •

(П.3.44)

Собирая вместе оба эти уравнения, находим

dq(r\, Q,) = q(Dr], Qt) + 2tq(r\ А л, =

Таким образом, мы приходим к следующему результату:

1

dP(Q)

1

J —^ = ^(Q') -

= d\q{со' - со, ПГ)Л = dQ.

о

dt

о

Итак, мы получили наш окончательный результат:

Р(П')-Р(П) =dQ,

Q = \ q(со' — со, Qt)dt + замкнутые формы.

(П.3.45)

(П.3.46)

(П.3.47)

Таким образом, инвариантный полином, основанный на два-формах кривизны, является одновременно замкнутой и точной формой.

§П.4. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В СУПЕРСИММЕТРИЮ

Вконце 60-х годов физики пытались построить всеобъемлющую группу, которая позволила бы объединить внутреннюю группу симметрии (вроде SU(3)) и группу Лоренца или Пуанкаре. Они искали такую группу М, которая была бы нетривиальным объединением внутренней группы U и группы Пуанкаре:

Mid U® Р.

(П.4.1)

Большой интерес вызывали группы вроде SU(6,6). Однако знаменитая теорема Колемана-Мандулы показала, что этот замысел осуществить невозможно. Не существует унитарных конечномерных представлении некомпактной группы. Так что верно одно из двух:

(1)Группа М имеет непрерывное распределение масс, или

(2)Группа М имеет бесконечное число частиц в каждом неприводимом представлении.

§ П.4. Краткое введение в суперсимметрию

585

В обоих случаях для первоначального замысла это катастрофа. Однако оказывается, что супергруппы или градуированные группы Ли

позволяют обойти эту запретительную теорему.

Работа Ли и Картана касалась лишь непрерывных простых групп с вещественными параметрами pf. Однако если мы допустим, чтобы эти параметры были грассмановыми числами, мы можем обобщить упомянутые выше классические группы и получить супергруппы.

Два обширных бесконечных класса групп, которые нас будут интересовать, это Osp (N/M) и SU (N/M).

Начнем с группы О (N), сохраняющей инвариант:

 

О(N):

XiXt = инвариант

(П.4.2)

и группы Sp(М), сохраняющей форму:

 

Sp(M):

0mCm„0„ = инвариант.

(ПАЗ)

Здесь матрицы С вещественные и антисимметричные, поскольку 0,-грассмановы числа. Ортосимплектическая группа теперь определяется как группа, сохраняющая следующую сумму:

Osp(N/M): хм + 0mСтп0„ = инвариант.

(П.4.4)

Заметим, что ортосимплектическая группа очевидным образом содержит в себе следующее прямое произведение:

Osp (N/M) з О (N)® Sp (М).

(П.4.5)

Простейший способ выразить матричное представление этой группыэто б л очно-диагональная форма:

° s p ( N / M 4 T sp(М)}- ( П А 6 )

Ограничения на матрицы А и В просты.

Аналогично, суперунитарные группы можно определить как группы,

сохраняющие комплексную форму

 

(xi)*x'?>ij + (T)*Wgmn,

 

Qmn= it $тп •

 

Бозонное разложение этой группы дается формулой

 

S U ( N / M ) з SU(N) ® SU(М) ® U(l).

(П.4.8)

Выпишем образующие группы Osp(l/4) в виде

 

MA=(P^M^Qa).

(П.4.9)

Их коммутационные соотношения суть

 

[МЛ ,МВ ]± =fcABMc.

(П.4.10)

Выписанные в явном виде, коммутаторы образующих группы супер-

с т е п е н н о е

586

 

Приложение

симметрии суть

 

{Qa, Qfi} = 2(Y'QafiP,,

 

lQa,P»] = О,

(П.4.11)

[e«,

= Kv)SeP.

 

To, что мы хотим получить, это явное представление этих образующих в том смысле, в котором

^ = - ' 4 1

(П.4.12)

служит образующей группы трансляций в ^-пространстве. Теперь нужно обобщить понятие пространства-времени, чтобы включить в него суперсимметричного партнера лжоординаты. Определим суперпространство как пространство, порожденное парой

(П.4.13)

где 0а является грассмановым числом. Теперь определим образующую группы суперсимметрии

где 0-грассманово число. Мы выбрали это конкретное представление, поскольку антикоммутатор двух таких образующих дает перемещение,

как это и должно быть:

 

{Qa, Qp} = - 2 ( у " C V A

( П - 4 1 5 )

Заметим, что sQ осуществляет следующее преобразование в суперпространстве:

e l ^ e l + е /

 

 

 

 

 

 

(п-4-16)

Заметим также, что мы можем построить оператор

 

 

=

т

+

(

П

А

1

7

)

антикоммутирующий с генератором суперсимметрии:

 

 

{Qa,Dt} = 0.

 

 

 

 

 

 

(П.4.18)

Это очень важно, поскольку это позволяет наложить ограничения на представления группы суперсимметрии, не разрушая симметрии. Это позволит нам извлечь неприводимые представления из приводимых.

Попробуем теперь построить действие, инвариантное о т н о с и т е л ь н о преобразований суперсимметрии. Определим суперполе V как

§ П.4. Краткое введение в суперсимметрию

587

разложение наиболее общего вида в этом суперпространстве:

 

V(x9 0).

(П.4.19)

Тогда представление суперсимметрии дается формулой

 

5 V(x9 0) = V(x + Sx, 0 + 50) - V(x, 0) = zaQaV(x, 0).

(П.4.20)

Заметим, что в силу этого определения произведение двух суперполей также является суперполем:

KV2 = V3.

Таким образом, мы можем построить обширное множество представлений суперсимметрии с помощью этого простого правила умножения. Теперь вычислим в явном виде преобразование полей. Иногда окажется полезным разбивать четырехкомпонентный спинор на два двухкомпонентных спинора согласно тождеству

О (4) = SU(2)®SU(2).

(П.4.21)

Используя индексы А и А, А = 1, 2, запишем майорановский четырехкомпонентный спинор через его компоненты, содержащиеся в SU(2)®SU(2):

.А У

k k '

(П.4.22)

Ха (Ха*

X )•

Обратив эти равенства, получим

ХА = \(\ +у5)Х,

(П.4.23)

с

= ГАв0-

zAB

,

'

 

 

 

V О

 

АВ

(П.4.24)

&АВ = £

= —&АВ = —8 ,

£ 1 2 = 1 .

В этих обозначениях ковариантные производные можно записать как

д

л

(П.4.25)

Da = w -

i(

 

где

 

 

ог"(1, <т).

 

(П.4.26)

588

Приложение

 

Вещественное векторное суперполе V можно разложить как

V(x, 0, 0) = С -

- i %'Q -

]-id2(M - iN) +

/02(M + iN) - 0сг^0Ли

+ /02е(Л, -\id%') -

/02 0(Г - \ i h )

(П.4.27)

- l 0 2 o 2 ( D + i n q .

Теперь мы можем выписать суперсимметричное преобразование, за-

висящее от параметра

действующее на эти 16 полей:

6С = СУ5Х,

 

5х = (М + уSNK -

+

5 M = l(X-idx),

 

bN = Zy5(\-ih),

(П.4.28)

5D = - ildу5Х.

Мы назовем это суперполе векторным, поскольку оно содержит векторную частицу в своем представлении (не потому, что суперполе само по себе является векторным полем относительно преобразований группы Лоренца). В общем случае векторные поля могут быть комплексными и приводимыми. Для образования неприводимых представлений удобно налагать на эти поля связи, не разрушающие их суперсимметричную природу. Эти связи должны тем самым коммутировать с генераторами суперсимметрии.

Заметим, что поскольку Ъа антикоммутирует с генератором суперсимметрии, мы можем наложить этот оператор производной на суперполе и снова получить некое представление суперсимметрии. Попробуем построить разные представления суперсимметрии, основанные на этом простом принципе. Мы можем наложить

D ф = 0.

(П.4.29)

Суперполе, удовлетворяющее этой связи, называется киральным суперполем. Заметим, что оно содержит только половину полей, содержащихся в исходном суперполе, но по-прежнему правильно преобразуется под действием нашей группы. Киральное суперполе обладает разложением

ф(х, 0) = А + 20\|/ - 02 F.

(П.4.30)

Вариация этого суперполя позволяет найти вариации его компонент:

5 Ф = - / [ ф , с е + ё а

(п.4.30

§ П.4. Краткое введение в суперсимметрию

589

Легко получаем

 

ЪЛ = 2£\|/,

 

5\|/ = —— id^A&l,

(П.4.32)

5 F= - 2 /ддсг»^.

 

Можно также попробовать другие комбинации связей, скажем

 

=

(П.4.33)

наложенных на киральное суперполе. Мы обнаружим, однако, что сочетание этих двух связей, наложенных одновременно, означает, что ф является постоянным.

Другая возможная связь-это

DADAq> = 0.

(П.4.34)

Это дает линейный мультиплет. (К сожалению, действия, основанные на этой связи, обычно эквивалентны действиям, основанным на киральных суперполях, так что ничего нового мы отсюда не узнаем.) Другая возможная связь-это

IDa ,DA ф = 0.

(П.4.35)

К сожалению, это дает постоянное поле. Мы могли бы также наложить связь

DsDADA(p = 0.

(П.4.36)

Такая связь снова дает киральное суперполе. Наконец, мы могли бы также попробовать связь

DAD2q> = 0

(П.4.37)

для вещественного ф. Это действительно даст совершенно новое суперполе, которое мы используем для построения действия теории ЯнгаМиллса.

Итак, новые поля, преобразующиеся как неприводимые представления группы суперсимметрии, это лишь киральное суперполе, векторное суперполе и суперполе Янга-Миллса. Другие комбинации, которые можно было бы попытаться использовать, дают либо постоянное поле, либо повторяют исходный набор полей.

Теперь обсудим проблему построения инвариантного действия, определив интегрирование по грассмановым переменным. Это должно быть сделано достаточно корректно. Обычное интегрирование по вещественным переменным, разумеется, является трансляционно инвариантным:

ОО

00

 

f dxy(x) =

f dxq>(x + c),

(П.4.38)

где с - вещественное смещение. Мы хотим, чтобы интегрирование по

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности