Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

440 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Кажется замечательным, что при выполнении этих жестких соотно* шений в любом случае можно удовлетворить условию (II).

Чтобы удовлетворить условию (II), необходимо проверить, какие группы Ли совместимы с этим странным ограничением (9.6.37) Заметим, что след матриц алгебры Ли калибровочной группы был определен в присоединенном представлении. При вычислении следа в фундаментальном представлении (см. приложение) мы будем использовать символ «tr».

Доказательство существования групп, удовлетворяющих условию (9.6.37), проводится непосредственно. Во-первых, известно, что в фундаментальном представлении алгебры SO(/) матрица F может быть представлена как антисимметричная (/ х /)-матрица. В присоединенном

Можно подставить явное выражение для F в формулу следа для F6. Получаем

Для того чтобы удовлетворить условию факторизации, необходимо устранить ряд членов, содержащих шестую степень кривизны F6. Заметим, что это возможно при / = 32, и соответствующая этому значению / алгебра имеет в точности 496 генераторов. Итак, мы снова возвращаемся к группе SO (32).

Доказательство того, что группа Е8 х Е8 также удовлетворяет (9.6.37), несколько сложнее. Нам необходимо узнать, позволяют или нет коэффициенты Клебша-Гордона этой группы записать независимые инварианты, что дало бы нам возможность осуществить свертку четырех или шести F. С точки зрения математики нам необходимо выяснить, существуют ли для этой группы независимые операторы Казимира порядка четыре и шесть. К счастью, есть теорема, говорящая о том, что если группа гомотопий к2п _ t (Е8 ) содержит Z, то существует независимый оператор Казимира порядка п. (Гомотопия есть способ образования классов эквивалентности, элементами которых являются не пространства или поверхности, а непрерывные отображения.) Можно показать, что первыми гомотопическими группами, у д о в л е т в о р я ю щ и м и этому условию, являются к3 и я1 5 :

к3 (Es) = Z; я15 (Es) = Z; щ (Е8) = 0 для 3 < / < 15. (9.6.42)

Таким образом, единственный представляющий интерес независим^ инвариант имеет порядок два. Его существование означает, что Tr t и Tr F6 не являются независимыми и могут быть переписаны в термина*

Tr F2 . Последним шагом является явное вычисление появляющегося в Tr F6 ~ (Tr F2 )3. Поскольку нас интересует толь общий коэффициент, его всегда можно вычислить, выбирая

сло сумму 120 + 128. Таким образом, для Е8 х Es (9.6.37) может быть доказано так же, как и для SO (32). (Можно показать, что это уравнение

тривиально удовлетворяется и для групп U(l)4 9 6 и Es х U(l)2 4 8 .) Это еще не окончательный ответ. Необходимо еще показать, что

выполняется условие (III) и существует эффективный низкоэнергетический контрчлен A S, окончательно уничтожающий аномалию. Если мы наивно возьмем десятимерную киральную супергравитацию, взаимодействующую с 496 полями супер-Янга-Миллса, то найдем, что член Х8 це обращается в нуль. Следовательно, десятимерная киральная супергравитация должна быть отброшена как неприемлемая квантовая теория. Однако теория суперструн в пределе нулевого наклона имеет новые члены взаимодействия, которые могут аннулировать оставшиеся члены.

В низкоэнергетическом приближении суперструны могут иметь в своем действии больше членов, чем появляется в действии десятимерной киральной супергравитации. Сначала это может показаться удивительным, потому что супергравитация является низкоэнергетическим пределом теории суперструн. Однако даже на низкоэнергетических уровнях существует различие: сумма по всему бесконечному числу состояний Редже будет, вообще говоря, давать нам больше фейнмановских графов, чем можно наивно ожидать. (Например, теория Янга-Миллса имеет действие, содержащее в лагранжиане поля не старше четвертой степени. Однако первично квантованная теория струн предсказывает только трехреджеонные взаимодействия. Где же недостающая четырехчастичиая вершина? Она получается суммированием по бесконечному числу состояний Редже, что даст нам эффективные четырехчастичные состояния в низкоэнергетическом пределе. Вообще говоря, деревья и петли более высокой степени дают нам все члены, необходимые для получения теории Янга-Миллса и гравитации.)

Действительно, можно показать, что на древесном уровне существует эффективный член, который будет сокращать аномальный член. Чтобы

442 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Имеем также

где co3Y, созь-3-формы Черна-Саймонса, соответствующие либо связности Янга-Миллса (Y), либо связности Лоренца (L). Хотелось бы записать 12-форму / 1 2 , которую мы аккуратно вычислили, в терминах новой 10-формы со10, чтобы условия согласованности Весса-Зумино явно удовлетворялись. Как и в (9.4.10), наша стратегия заключается в нахождении члена G при помощи конструирования таких форм со10

исоп , что

/12 =

Оказывается, что при переходе от 12-формы к 10-форме в конечном выражении появляется произвольная константа а. Нетрудно показать, что от /1 2 можно перейти к 11-форме, а потом к 10-форме. Выпишем окончательный результат:

Теперь необходимо выяснить, может ли десятимерная с у п е р г р а в и т а ц и я , взаимодействующая с теорией супер-Янга-Миллса, давать в а н о м а л ь - ный член вклад, сокращающий G. Используя все эти тождества, нетруД" но показать, что добавление следующего эффективного действия

новый вклад в аномальный член, в точности сокращающий G:

Собирая все вместе, включая изоспиновые множители, возникающие из сожителей Чана-Патона, имеем

Чтобы получить исчезающий аномальный член, необходимо только доказать, что п + 32 / равно нулю. Важно проанализировать, откуда возникает множитель п + 321:

(1)п возникает в результате того, что мы берем след как по внутреннему, так и по внешнему краю диска с отверствием. Внешний след дает множители ЧанаПатона; внутренний след (без внешних линий) дает множитель Тг(1) = п.

(2)Множитель / возникает из изоспиновой группы и равен

(3)Важно, что множитель 32 возникает в силу нескольких причин. Множитель 32 был в якобиане, поскольку неориентируемый граф содержал интегрирование от 0 до 1/2, а планарный граф содержал интегрирование от 0 до 1. К тому же область интегрирования составляла лишь 1/32 часть от необходимой. И наконец, был другой множитель 32, возникающий вследствие существования 32 способов, которыми нечетное число твистов может быть помещено в шесть внешних пропагаторов. Следовательно, чтобы иметь сокращение, мы должны зафиксировать

Итак, мы получаем свободную от аномалий теорию с множителями Чана-Патона, если выберем SO (32) в качестве калибровочной группы.

§ 9.8. ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АТЬИ-ЗИНГЕРА ОБ ИНДЕКСЕ

Мы хотим доказать теорему Атьи-Зингера [16] об индексе для операторов Дирака. Поскольку большинство теорем об индексе может быть выведено из комплекса Дирака, нам необходимо доказать теорему т<>лько для этого случая. Доказательство теоремы Атьи-Зингера в его ^воначальном варианте было недоступно для многих физиков в силу

математической сложности. Однако недавно физики дали замечательно простое доказательство теоремы, использующее подход ^брсимметричной сигма-модели. С использованием суперсимметрии

доказательство теоремы Атьи-Зингера может быть выражено На хорошо известном физикам языке [17, 18]. Новый вывод теоремы основан на том факте, что суперсимметричная нелинейная сигма-модель имеет суперсимметричный генератор, совпадающий с операторов Дирака, т.е.

Чтобы развить аналогию между Q и оператором Дирака, начнем с рассмотрения суперсимметричной теории с суперсимметричным генератором Q и сопряженным к нему Q*. Поскольку антикоммутатор

Это сильные утверждения, поскольку они означают, что

(1)Энергия равна нулю или положительна; она никогда не бывает отрицательна.

(2)Состояния с нулевой энергией не должны встречаться в бозон-фер- мионных парах. Такие состояния суперсимметричны сами по себе, т.е. они аннигилируются оператором Q.

(3)Состояния с ненулевой энергией не аннигилируются оператором Q, а образуют суперсимметричные пары бозонов и фермионов, переходящих друг в друга под действием оператора Q.

Введем теперь оператор (— 1)F, где F- фермионное число. Для состояний с ненулевой энергией число фермионов и бозонов должно быть одинаковым. Однако, как мы видели, это не должно в ы п о л н я т ь с я для состояний с нулевой энергией. Построим индекс Виттена подсчитывающий разность между числом бозонных и фермионных состояний с нулевой энергией:

и фермионов, переходящих в состояние с нулевой энергией или покй дающих его, должно быть равным. Они должны возникать и парами, поскольку индекс является топологическим

для любого т > 0. Заметим, что состояния с ненулевой энергией не дают вклада в след по всем состояниям, поскольку образованы равным числом состояний с противоположными фермионными числами. Поэтому, как мы и видели выше, след берется только по состояниям с нулевой энергией.

Обсудим теперь индекс оператора Дирака. Ранее в (9.5.4) мы видели, что этот индекс просто подсчитывает разность между числом нулевых мод положительной и отрицательной киральности. Следовательно, по

То, что фермионы могут переходить в состояние с нулевой энергией (нулевые моды) или покидать его только киральными парами, аналогично ситуации, с которой мы сталкивались прежде в суперсимметричном случае. Следовательно, для состояний с произвольными собственными значениями оператора D2 индекс может быть обобщен:

Таким образом, нашей целью является построение суперсимметричной модели, что сделает это соответствие точным. К счастью, нелинейная суперсимметричная сигма-модель обладает этим свойством. Поэтому, вычисляя индекс для суперсимметричной сигма-модели, мы будем автоматически получать индекс оператора Дирака. Таким образом, имеем соответствие

ЯD * D

Начнем с определения лагранжиана для оператора положения х^ (t)

448 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования суперси^ метрии

(Сравните это с действием N S - R в (3.2.1), предположив независимость от 5 всех его членов.) Канонические коммутационные соотношения имеют вид

Заметим, что если Q действует на произвольное пространственно-вре- менное спинорное состояние, то следует заменить на уц, a ip^- на дц, так что Q становится равным у^1 дц, что совпадает с оператором Дирака.

Нашей следующей целью является добавление калибровочных и гравитационных полей, чтобы получить теоремы об индексе для произвольных многообразий и калибровочных групп. Введем фермионное поле 0. Тогда в суперпространстве можно ввести следующие поля:

= + (9.8.17)

Оператор суперсимметрии в суперпространстве выглядит следующим образом: