Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

чтобы обобщать эти результаты на высокие размерности, мы получим нужные нам выражения с помощью функционального формализма, це аппелируя к фейнмановским диаграммам.

§ 9.3. АНОМАЛИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ФОРМАЛИЗМЕ

До сих пор наше описание аномалий было фрагментарным. Однако нам хотелось бы иметь систематический метод, позволяющий вычислять все такие полные производные для произвольной калибровочной группы и произвольной размерности.

Начнем с функционального интеграла для взаимодействия фермионов с внешними векторными или гравитационными частицами:

jDv|/Dvj/^~ s = j D v | / D v j / e x p - | j ^ D x v j / i ( l + r D + 1 ) D v | / | . (9.3.1)

Здесь ковариантная производная описывает взаимодействие фермионов с внешними янг-миллсовским и гравитационным полями:

D = + / Ха Ар + со^ МаЬ). (9.3.2)

Здесь Г^1-гамма-матрицы в D измерениях, умноженные на реперное (тетрадное) поле, а МаЪ - генераторы группы Лоренца О (D — 1,1).

Заметим, что функциональный интеграл квадратичен по фермионным полям, поэтому этот интеграл является гауссовым. Используя изложенные в приложении результаты об интегрировании по грассмановым переменным, мы можем выполнить интегрирование и получить детерминант. Теперь можно внести логарифм от детерминанта под знак экспоненты и получить Г (А, д), зависящее от калибровочных полей явным образом. Взяв гауссов интеграл (9.3.1), мы получаем следующий детерминант:

Здесь А и д- янг-миллсовское и гравитационное поля. Используем теперь соотношение

(Оно наиболее легко доказывается при помощи преобразования подобия, диагонализирующего матрицу М. При этом М становится диагональной матрицей с собственными значениями на диагонали. После этого доказательство тождества становится тривиальным. И наконей» выполняя обратное преобразование подобия, мы в о с с т а н а в л и в а в матрицу М.) Таким образом, можно взять In от (9.3.3):

Вычислим теперь калибровочную вариацию этого функционала. После калибровочного преобразования

g после разложения в ряд Тейлора по s мы находим, что функционал преобразуется так:

r ( A ' l l ) = r ( A l i - D l l e )

6 Г

0 А

В последнем выражениии для Г (А^) мы воспользовались тем, что генерируемый калибровочным преобразованием ток определяется так:

(9.3.8)

о Ац

Появляющееся в (9.2.13) G можно переписать на функциональном языке:

ЬАр

Тогда

Значит, несохранение аксиального тока означает отличие G от нуля.

Аномалия должна также удовлетворять условию самосогласованпости, т.е. условию Весса-Зумино [9]. Заметим, что генератор калибровочного преобразования равен

И® также известно, что генераторы локальных калибровочных преоб- Р^ований образуют замкнутую алгебру:

Если

щ записать G как вариацию Г(ЛЦ), то очевидно, что условие •^оованности Весса-Зумино удовлетворяется. Но если мы запишем

аномальный член в терминах тензоров кривизны, то выполнение условия самосогласованности становится весьма нетривиальным. Это обстоятельство может сильно затруднить наши вычисления.

Теперь, когда мы имеем функциональный формализм для pacs смотрения аномалий, начнем обсуждение с лежащей в его основе математики. В частности, мы покажем, что аномалия может быть записана в терминах обобщенных характеристических классов, которые были изучены математиками. Затем мы продемонстрируем наиболее элегантную часть теории, а именно, что интегралы от этих характеристических классов приводят к различным теоремам об индексе. Итак наша стратегия такова:

Аномалии -> Характеристические классы -> Теоремы об индексе.

§ 9.4. АНОМАЛИИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ

При изучении характеристических классов [10,11] (это даст нам систематический анализ всех возможных топологических членов) мы используем язык форм (см. приложение). В некотором смысле теория дифференциальных форм только воспроизводит результаты, которые могут быть получены и при использовании обычных аналитических методов вычислений. Однако в большом числе измерений число индексов быстро увеличивается. Сильное сокращение обозначений в теории форм позволяет нам быстро манипулировать тензорами произвольного ранга в любой размерности, что затруднительно при использовании стандартного тензорного исчисления. В гл. 11 мы увидим, что теория форм является наиболее удобным языком для теории гомологий и когомологий.

Вооруженные теорией дифференциальных форм, мы построим ряд характеристических классов, что позволит нам записать множество всех топологических членов практически для любой размерности и любой группы.

Определим инвариантный полином, удовлетворяющий условию

где а и д- матрицы группы Ли. Примерами инвариантных п о л и н о м о в служат

Пусть Q-два-форма кривизны

В приложении мы доказываем два важных свойства для инва]

0ЫХ полиномов, а именно что

[1]dP(Q) = О,

для некоторой формы Q, т. е. инвариантный полином от форм кривизны является одновременно замкнутой и точной формой. Теория форм дает явное выражение для Q. Например, в приложении мы показываем, что

Таким образом, след произведения два-форм кривизны является точной и замкнутой формой. Это представляет собой обобщение на языке форм предыдущих тождеств, которые были доказаны непосредственно. Например, в четырех измерениях мы имеем (9.2.7) и (9.2.17). Для произвольной размерности мы имеем (9.2.16). Эта новая форма, с которой мы встречались в (9.2.8), называется формой Черна-Саймонса.

Все это важно, поскольку ранее мы видели, что в двух и четырех измерениях существуют полиномы от тензора кривизны, являющиеся полными производными. Но мы были не в состоянии построить эти топологические инварианты в более высоких размерностях. Тождество (9.4.6) подводит итог решения данной проблемы.

Используя язык форм, можно также найти удобное выражение для условия согласованности Весса-Зумино. В D-мерном пространстве формально определим произведение форм кривизны, которое обозначим /D + 2. (Конечно, эта форма равна нулю BD + 2 измерениях, но мы

оставим в стороне это обстоятельство.) Эта форма по построению является точной:

где ooD+ j-форма Черна-Саймонса. ID + 2 является также калибровочно инвариантной, поскольку построена из форм кривизны. То обстоятель- н о , что она одновременно и калибровочно-инвариантна, и точна, Позволяет нам написать

&a/d+ 1 = 5д d coD+ х

этой конструкции-найти форму для аномалии G, такую, чтобы была явной калибровочной вариацией от некоторой другой формы.

где многообразия M и Z связаны следующим образом: М = д Z.

Это и есть нужный нам результат. Мы сейчас показали, что аномальный член G является калибровочной вариацией другой формы. Таким образом, G автоматически удовлетворяет условию согласованности

Мы будем использовать эту конструкцию, когда начнем сокращать аномалии в теории суперструн.

Вооружившись теорией дифференциальных форм, можно построить характеристические полиномы.

Мы найдем четыре основных характеристических класса:

(1)классы Черна;

(2)классы Понтрягина;

(3)классы Эйлера;

(4)классы Штифеля-Уитни.

Ограничимся формой кривизны Q, принимающей значение в алгебре GL(/c, С), т.е. произвольной (k х к)-матрицей с комплексными элементами. Определим полную форму Черна для этой алгебры как

где мы использовали разложение по степеням Q. Обрывающееся в конечном счете разложение имеет следующие слагаемые:

с0 = 1,

с1л = —Тг Q,

2 к

1 2 (— 2Tr(Q Л il Л П) + ЗТг(£2 Ай) А Тг£2 48 я

- Tril Л Tril Л Tr£i),

Заметим, что ряд в конечном счете обрывается, потому что Q в достаточно высокой степени равна нулю в силу того, что dxц являются образующими грассмановой алгебры. В дополнение к классам Черна с, можно также ввести характер Черна

Всегда можно диагонализировать матрицу Q так, что на ее диагонали будут стоять собственные значения xt. То есть всегда можно найти

После диагонализации с, (Q) и с (П) приобретают простой вид: с(0)= П (l+xj).

j = 1

Заметим, что в пространстве четырех измерений топологический

Кроме классов Черна существуют тесно связанные с ними классы Понтрягина. Пусть Q принадлежит алгебре Ли О (к); тогда определим форму Понтрягина

Класс Эйлера, однако, определяется несколько иначе. Его определеосновывается не на детерминанте, как в случае классов Черна

а Понтрягина, а на пфаффиане. Рассмотрим два-форму

Заметим, что а = (а 0 ) является антисимметричной матрицей. Мы не можем диагонализировать антисимметричную матрицу так, чтобы ее диагональные элементы совпадали с ее собственными значениями Однако ее можно записать в виде

Инвариант е (а), который строится по антисимметричной матрице а, называется пфаффианом. В терминах собственных значений пфаффиан равен

Легко видеть, что пфаффиан е (М) является квадратным корнем из старшего класса Понтрягина:

Они представляют собой не что иное, как упоминавшиеся ранее в (9.2.18) и (9.2.19) тождества, причем

В заключение выпишем некоторые другие представляющие интерес характеристические полиномы. Если через xt обозначить собственные значения формы кривизны, то

sh-jcf

2

Мы увидим, что Л-полином, например, играет решающую РоЛЬ

зьпшслении аномалии для взаимодействующих с гравитацией частиц

спина 1/2.

Наконец, можно определить классы ШтифеляУитни, которые, к сожалению, не связаны с какой-либо формой кривизны. В то же время классы Штифеля-Уитни необходимы, чтобы определить, является ли данное многообразие спинорным многообразием, т.е. допускающим введение спиноров. Многие многообразия, которые, как кажется на первый взгляд, допускают спиноры, на самом деле не являются спинорными многообразиями. Приведем важные факты, касающиеся связи свойств многообразий с индексами классов Штифеля-Уитни. Обращение в нуль индекса первого класса Штифеля-Уитни означает,

Наиболее важный факт заключается в том, что многообразие М допускает спиноры, если индекс его второго класса Штифеля-Уитни равен нулю:

§ 9.5. ИНДЕКС ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Теперь, когда мы перечислили некоторые важные свойства характеристических классов, покажем, что интегралы от характеристических классов приводят к элегантным теоремам об индексе. Одной из наиболее важных будет теорема об индексе оператора Дирака, определенном на спинорном многообразии. Другие инварианты на самом деле можно выразить в терминах индекса оператора Дирака. На N-мерном спинорном многообразии можно задать уравнение Дирака

Ядро оператора Дирака D состоит по определению из тех решений, которые переводятся оператором в нуль, т.е. соответствуют нулевому собственному значению.

Для четномерных многообразий пространство спиноров делится пополам в зависимости от собственного значения (±1) оператора rD + х:

Mbi назовем такие решения решениями положительной и отрицательной *Ч>альности. Вообще говоря, для ненулевых собственных значений Хп *®Ральные решения всегда встречаются парами. Это связано с тем, что ^бственное значение Х„ имитирует массовый член в уравнении Дирака, Пассивные фермионные состояния не могут быть расщеплены на два

вейлевских, которые всегда безмассовы. Но в случае нулевого собст. венного значения киральные решения не обязаны встречаться парами Мы можем иметь неравное число положительных и отрицательных киральных состояний для фермионов с нулевым собственным значением Определим п+ как число независимых решений положительной (отрицательной) киральности с нулевым собственным значением. Определим также индекс оператора Дирака как разность между числом независимых нулевых мод положительной и отрицательной кираль-

ности:

Необходимо отметить, что это число является топологическим числом, т. е. оно инвариантно относительно непрерывных преобразований многообразия, не меняющих его топологии. Индекс оператора Дирака является топологическим инвариантом, поскольку хотя после преобразования многообразия и происходит переход между фермионными состояниями с нулевым и ненулевым собственным значением, но только пары фермионов с ненулевым собственным значением могут переходить в состояния с нулевым собственным значением или возникать из них. Это связано с тем, что для того, чтобы стать массивным, каждое киральное состояние должно найти себе пару. Таким образом, изменение индекса происходит только за счет пар, но каждая пара дает нулевой вклад в индекс. Следовательно, индекс должен быть топологическим инвариантом (см. рис. 9.2). Например, если мы имеем N пар фермионов, переходящих в состояние с нулевым собственным значением, то

Существуют различные способы записи индекса оператора Дирака. Поскольку ядро оператора определено как множество состояний, Которые он зануляет, можно также записать

где оператор Дирака расщеплен на части положительной и отрица-

Рис. 9.2. Парное испускание или поглощение в основном состоянии. ФермиоН^ могут переходить в основное состояние или покидать его только парам ^ противоположной киральности. Таким образом, полная разность между поло жительными и отрицательными вакуумными киральными состояниями всегд остается неизменной. Эта постоянная называется индексом оператора Дира*а'

мяльной киральности.

Другим способом записи формулы индекса является

Индекс (D) = £OlrD+ J«>

п

= ТГ ( Г „ + 1 )

Заметим, что каждое состояние положительной киральности дает вклад + 1 в сумму, в то время как каждое состояние отрицательной киральности дает вклад — 1, так что в результате суммирования получаем индекс оператора Дирака.

Хотя приведенная выше формула достаточно элегантна, она требует осторожной регуляризации. Заметим, что небрежное определение

Поскольку сокращение происходит уровень за уровнем, неправильно суммировать сначала по всем положительным уровням и затем вычитать сумму по всем отрицательным уровням. Суммы по всем положительным или по всем отрицательным уровням являются бесконечными. Только их разность конечна и корректно определена.

Разумным способом регуляризации индекса оператора Дирака является введение множителя, позволяющего находить потенциально расходящиеся суммы по всем положительным и отрицательным уровням отдельно. При этом сумма будет функцией от параметра. Приведем одно простое выражение для регуляризованного индекса оператора

Дирака:

Здесь Р~ произвольное положительное число, a D2- квадрат оператора Дирака. Поскольку мы берем след, можно диагонализовать квадрат

оператора Дирака и переписать след через собственные значения Xt оператора D2:

Поскольку ненулевые собственные значения соответствуют равному Чйслу решений положительной и отрицательной киральности, они ^Кращаются, так как входят с различным sign(/) и поэтому не дают а*Лада в сумму. Для нулевых собственных значений А,, = 0 числа ni±, ®Днако, необязательно соответствуют числам состояний положительной

0тРицательной киральности, и, следовательно, получаем