Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Глава 7 ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ BRST

§ 7.1. КОВАРИАНТНАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

Большое преимущество полевой теории в калибровке светового конуса, как мы видели, заключалось в том, что она была унитарной явно свободной от духов и могла воспроизвести струнные амплитуды из одного действия. Отсутствовала необходимость обращаться к интуиции для построения унитарной ^-матрицы.

Тем не менее эта теория несовершенна. Дело в том, что хотелось бы иметь ковариантное описание, в котором задействованы все калибровки струны. Поэтому наш следующий шаг в развитии полевой теории струн-это использование техники BRST для ковариантного описания струнных полей. Сила формализма BRST обусловливается тем, что оп позволяет переформулировать полевую теорию струн в полностью ковариантном виде с введением духов Фаддеева-Попова.

Мы перейдем к полевой теории тем же способом, каким Фейнман пришел к уравнению Шрёдингера из классической первично квантованной теории. Начав с формализма BRST первично квантованной теории, мы затем получим описание на языке полевых функционалов. Особое внимание следует обратить на то, что полевая теория BRST, подобно формализму светового конуса, все еще остается теорией в фиксированной калибровке. Поскольку теория BRST будет выведена из калибровочно фиксированной первично квантованной теории, то мы обнаружим довольно странные объекты первично квантованной теории, наследуемые вторично квантованной теорией, такие, как духи Фаддеева - Попова,

духовые числа, параметризационные средние точки и параметризационные длины.

Вэтом тоже есть некоторая ирония. Первоначально полевая теория

вкалибровке светового конуса была введена, чтобы представить последовательный и всесторонний формализм, в рамках которого можно выразить полную теорию. К сожалению, попытки сделать модель ковариантной привели к созданию двух конкурирующих ковариантный

полевых теорий струн в рамках BRST. Эти две BRST-теории о с н о в ы в а - ются на совершенно различных струнных топологиях, и между ними не видно никакой связи, кроме того, что они обе могут успешно в о с п р о и з - вести модель Венециано.

Все эти трудности будут устранены, когда мы, наконец, дойдем Д° геометрического варианта полевой теории в следующей главе.

Ранее мы видели, что формализм Гупты-Блейлера вместо решен»* уравнений связей (как в формализме светового конуса) налагает свя непосредственно на состояния:

т. е. восстанавливается первоначальная вариация линеаризованного гравитационного поля.

Наша следующая цель - найти действие, которое было бы инвариантным при таких калибровочных преобразованиях.

Повторим рассуждения предыдущей главы, касающиеся того, как вывести полевую теорию струн из первично квантованного формализма. Ключевой шаг заключался в подстановке полного набора промежуточных состояний в каждую промежуточную точку между двумя струнными состояниями. Теперь подстановка промежуточных состояний осложняется необходимостью сохранения калибровочных связей на каждом шаге вычислений. Обобщая (6.3.29), находим, следовательно, новый ряд

где Р- проекционный оператор, который гарантирует, что духовые состояния уничтожаются на каждом промежуточном шаге вычислений.

Он удовлетворяет условиям [4]

LnP = PL-n = 0; Р2 = Р.

Повторяя шаги предыдущей главы, использованные при выводе лагранжиана из континуального интеграла, находим, что теперь действие

должно иметь вид

Важнейшее значение имеет тот факт, что это действие обладает локальной калибровочной симметрией (7.1.2). Локальная калибровочная симметрия отвечает за уничтожение духов, возникающих в п р о п а г а т о р е >

который без проекционного оператора описывал бы р а с п р о с т р а н е н и е всех 26 мод.

Окажется полезным разложить это действие в степенной ряд и зате сравнить результаты с максвелловским действием и действием ДЛ*

324 Г л. 7. Полевая теория BRST

нительных полей. Так как эти произвольные поля выпадают из оконча тельного действия (поскольку представляют собой духи), они никак влияют на физику.

Теперь нам нужно построить явную форму полного проекционного оператора для всех уровней. Оператор Р можно построить нескольким^ способами, представив его как степенное разложение по операторам l или как проектор на каждое состояние N-го уровня. Мы воспользуемся

последней из этих возможностей.

Сначала определим модуль Верма (см. (4.1.42)) как ряд всех возмож-

Здесь {а} символически представляет обширную совокупность индексов. Предположим, что проекционный оператор Р имеет вид

где Fap-произвольные функции L0 , символы а и Р используются для выражения большого количества индексов. Потребовав, чтобы результат умножения оператора Р на операторы Вирасоро обращался в нуль, мы точно определим матрицу F. Пусть Р представляет духовый проекционный оператор. Тогда

N = 1 a, (3 = 1

|a| = |P| = N

Здесь в явном виде выписана сумма по различным уровням N. Требуя, чтобы оператор обращался в нуль при умножении на L„, мы получаем

рекуррентное соотношение для полиномов F. Определим F-матрицу как

Р

где матрицы А и S остается определить. Потребовав, чтобы оператор Р обладал нужными свойствами, получаем рекуррентное позволяющее найти матрицу А итеративно:

N- 1 р(М)

XI L _ a F $ ( L 0 ) L p L _ y | , R >

М= 1 a, Р = 1

|а| = |Р| = М

где | R)-физическое состояние, а |a| равняется Е"=1 iXt.

Отметим, что это разложение является итерационным. N-й уровень определяется через все N и более низкие состояния. Таким образом, зная ^^екционный оператор для первых нескольких уровней, который был 0ВО выписан в (7.1.14), мы находим проекционный оператор на всех уровнях N.

Проекционный оператор нелокален по р . Но так как мы можем вЬ1ЯЙСЛИТЬ F точно, это легко исправимо, поскольку нам известно точное расположение всех нулей детерминанта.

К счастью, детерминант матричных элементов модуля Верма известен точно. Так, на уровне N детерминант матричного элемента между (01La и L_р10) имеет вид

det|<01La L_p |0> = П (L0 - Hp%q)«N' ря)

c = 1 - 6 m(m-h 1) '

где p и q- целые положительные числа, произведение которых меньше или равно N. Эта замечательная формула, впервые полученная Кацем [5], имеет многочисленные ответвления. Например, ненулевой детерминант Каца означает, что матрица S, введенная в (7.1.23), является обратимой. В этом случае модуль Верма образует неприводимое представление конформной группы. Следовательно, детерминант Каца является существенным элементом в определении неприводимых представлений струнной модели.

Основное применение этого результата заключается в определении расположения всех нулей детерминанта и, следовательно, в определении всех полюсов проекционного оператора. Подставляя (7.1.19) в действие, находим

|а| = |Р| = М

Здесь F связана с F умножением на L0. Преимущество такого выражения Состоит в знании расположения всех полюсов матрицы F.

Повторим анализ (7.1.16) и (7.1.17), где были введены дополни- !^ьные поля, для того чтобы поглотить нелокальные члены в действии, ^чала выделим в F полюса:

®04>ь мы можем ввести вспомогательные поля р для поглощения волнительных нелокальных членов, содержащихся в F:

^алйбровку, записанную в форме X = 1; р = 0. Тогда детерминант фаддееваПопова для фиксации конформной калибровки можно пред-

ставить как

AfF Jafefl?r|S[Me, Л) - l]S[p(e, ЛЙ = 1.

jroT детерминант в свою очередь вычисляется в явном виде путем вве- дения духового поля Фаддеева-Попова по переменной 0, как в (1.6.22):

Заметим, что это выражение позволяет нам переписать первоначальное действие теории, включив духи Фаддеева-Попова:

где р-спиновая матрица Паули сг2.

Как и раньше, этот лагранжиан имеет локальную калибровочную инвариантность, которая на полях может генерироваться применением нильпотентного оператора Q [7]. Чтобы убедиться в этом, сделаем двумерный виковский поворот и перепишем действие в явно комформно инвариантном виде через комплексную переменную z и антикоммутирующие поля Ъ и с. Переписывая (7.2.2), находим, как и в (2.4.4),

Здесь мы опять видим, что лагранжиан инвариантен при преобразованиях

Используя эти вариации, мы можем выделить нильпотентный BRST- °йератор Q. Однако важно также отметить, что и в общем случае, имея алгебру Ли с коммутационными соотношениями [Хт А,„] = 7*** \, возможно сконструировать нильпотентный оператор Q из

^^Коммутирующих операторов сп и Ът [8]:

где £0~ФУНКЧИЯ °беих переменных, X и 0. Это действие было написано Зягелем [9-14]. Если мы разложим BRST-поле |Ф) по его духовым модам, то получим

! • ( * ) > = (р}Iк)

Это действие явным образом описывает распространение не только 26 степеней свободы струны, но также и двух духовых мод, представляя теорию с 24 физическими модами. Отметим, что в этом выражении берется сумма по всем возможным духовым числам.

В приведенном выше действии калибровка фиксирована полностью. Однако имеется возможность построить другое действие, основанное на нильпотентности оператора Q, которое содержит явную калибровочную степень свободы. Заменим (7.1.2) новым калибровочным преобразованием. Ранее отмечалось, что (7.1.2) выводится на основании того, что

Подтверждением нашей догадки служит то, что состояние <А|Q не взаимодействует с физическими состояниями |физ>. Так как Q уже нильпотентен, мы выбираем новое действие [15-24]

Здесь берется только «обрезанное» первоначальное поле, соответствую- щее духовому числу - 1/2:

| * > » - р - 1 / 2 | Ф > .

Здесь Р- проекционный оператор, выделяющий только состояния с ДУховым числом — 1/2. Поэтому новое поле | ¥ )- это поднабор состояОД или транкирование первоначального поля | Ф ).

Разлагая это действие, мы видим, что наинизшее возбужденное ^ояние поля |*Р> точно подчиняется (7.1.10). Тем самым мы указали ^аемое обобщение нашего действия, в котором введенные нами £°Цолнительные поля теперь перегруппировываются в соответствии разложением по модам для |*Р>. В итоге (7.1.27) компактно пере- ^РМулирована как (7.2.13).

^Равнение движения, соответствующее этому действию, имеет вид 61* >- 0 (7.2.14)

^ нижнего состояния сводится к обычным связям L„ | ф ) = 0.