Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

270Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

(2)Множитель, возникающий из интегрирования по переменной X:

Огромное преимущество этого подхода к многопетлевым ампЛ*1 тудам состоит в том, что мы можем использовать мощь метоД анализа римановых поверхностей для исследования р а с х о д и м о с т

272 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

римановых поверхностях. Поэтому мы можем построить новую коц формную теорию поля на римановых поверхностях, а не просто сфере. Например, двухточечная функция двух фермионов дается ядр0м Сегё:

Одна из трудностей решения многопетлевой задачи состоит в выборе правильных переменных. Идеальным был бы, например, выбор в качестве переменной матрицы периодов Q. Трудность, однако, состоит в том, что у квадратной матрицы, такой как матрица периодов, есть (\/2)g(g + 1) независимых координат, тогда как число параметров Тейх-* мюллера равно всего лишь Ъд — Ъ комплексных чисел. В двух- и трехпетлевом случае эти числа совпадают, но для высших петель это не так. В этом и состоит проблема Шоттки, которая была решена лишь недавно. Ее решение позволило использовать грассманианы для описания всего ряда теории возмущений. Каждая многопетлевая амплитуда со спиновой структурой представляет одну точку грассманова многообразия, так что мы можем (по крайней мере, в принципе) манипулировать всем рядом теории возмущений на римановых поверхностях как единым объектом. Это, в свою очередь, может в конечном счете дать нам непертурбативную информацию о теории суперструн.

ЛИТЕРАТУРА

[1]Kikkawa К., Sakita В., Virasoro М.В. Phys. Rev. 184, 1701 (1969).

[2]Kaku М., Yu LP . Phys. Lett. 33B, 166 (1970).

[3]Kaku M., Yu L.P. Phys. Rev. D3, 2992, 3007 (1971).

[4]Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 430 (1971).

[5]Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 2000 (1971).

[6]Alessandrini V. Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

[7]Lovelace C. Phys. Lett. 32B, 703 (1970).

[8]Lovelace С. Phys. Lett. 32B, 203 (1971).

[9]Hsue C.S., Sakita В., Virasoro M. A. Phys. Rev. D2, 2857 (1970).

[10]Gervais J.-L., Sakita B. D4, 2291 (1971); Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).

[11]Fairlie D.B., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B20, 637 (1970).

[12]Burnside W. Proc. London Math. Soc. 23, 49 (1981).

[13]Amati D., Bouchiat C., Gervais J.-L. Nuovo Cim. Lett. 2, 399 (1969).

[14]Bardakci K., Halpern M.W., Shapiro J. A. Phys. Rev. 185, 1910 (1969).

[15]Kaku M., Thorn C.B. Phys. Rev. ID, 2860 (1970).

[16]Cremer E., Sherk J. Nucl. Phys. B50, 222 (1972).

[17]Lovelace C. Phys. Lett. 34B, 500 (1971).

[18]Neveu A., Scherk J. Phys. Rev. Dl, 2355 (1970).

[19]Schwarz J. Phys. Rep. 13C, 259 (1974).

[21]Mandelstam S. In: Unified String Theories (edited by M.B. Green and D. Gr 0 World Scientific, Singapore, 1986.

Часть II

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И ПОИСКИ ГЕОМЕТРИИ

Глава 6

ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ

ВКАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

§6Л. ПОЧЕМУ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН?

Вчасти I мы неоднократно видели, что первично квантованная теория представляется довольно разобщенной и является набором правил, которые часто выглядят очень произвольными. Выбор вершин-

ных функций, меры интегрирования, счет диаграмм и т. д. - все это было, по существу, введено в теорию «руками». В итоге первично квантованная теория страдает следующими явными недостатками:

(1)Взаимодействия должны быть введены ad hoc, без какого-либо строгого общего обоснования.

(2)Нелегко показать унитарность теории. Не существует эрмитова гамильтониана, из которого можно вывести теорию взаимодействий.

(3)Теория формулируется в рамках теории возмущений и дает ответы только на «массовой поверхности», что делает затруднительным вычисление непертурбативных эффектов.

Однако самое важное заключается в том, что первично квантованная струнная теория не подходит для вычисления динамического нарушения симметрии. К сожалению, во всех порядках теории возмущений по константе связи размерность пространства-времени, по-видимому, является стабильной, а поэтому надежды, связанные с возможностью динамического нарушения симметрии от 26-мерного или 10-мерного пространства-времени к четырехмерному, очень малы. Таким образом» последовательное получение феноменологических следствий в рам*2* первично квантованного подхода представляется весьма сомнительным- Первично квантованная теория не может также выделить истиннь® вакуум среди набора классических вакуумов, допустимых для модели, несмотря на то, что она фактически способна воспроизвести десятки тысяч классических решений.

Таким образом, в части II мы обращаемся к полевой теории сМРУ

[1-5] как наиболее перспективной с точки зрения построения Hew турбативного формализма, который позволит обнаружить истйНй*1*

[ теории возмущении мы просто воспроизводим те же диаграммы, ^о и при первичном квантовании. Однако вторично квантованная долевая теория обладает несколькими важными преимуществами:

/1) Взаимодействия вводятся через новую калибровочную группу, т. е. имеется теоретико-групповое обоснование для введения взаимодействия в струнную теорию.

12) Теория явно унитарна благодаря эрмитовости гамильтониана. Все

веса диаграмм фиксируются с самого начала.

(3) И наконец, мы в принципе имеем метод для вычисления динамических эффектов в теории.

Некоторое время были серьезные опасения, что полевая теория струн не имеет права на существование как противоречащая фундаментальным принципам квантовой механики. Аргументы сводились в основном

кследующим:

(1)Полевая теория струн как нелокальная теория должна была бы изобиловать непреодолимыми трудностями, такими, как нарушение принципа причинности.

(2)Полевая теория струн с необходимостью формулируется вне «массовой поверхности», в то время как важнейшие свойства модели Венециано, вроде циклической симметрии, справедливы только на массовой поверхности. Поэтому казалось, что полевая теория не способна воспроизвести дуальную модель.

(3)Полевая теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариант- ной и унитарной, поскольку процедура квантования, которая обеспе-

чила бы как лоренц-инвариантность, так и унитарность вне массовой поверхности, отсутствует. Для первично квантованной теории такой проблемы не возникает, так как эта теория формулируется на «массовой поверхности». Напротив, полевая теория струн представляет собой теорию вне массовой поверхности и, следовательно, Должна нарушать либо лоренц-инвариантность, либо унитарность.

№ И, наконец, самое важное. Полевая теория струн страдала бы от нарушений унитарности, вызванных двойным счетом диаграмм. В полевых теориях суммы по и мюлюсам вычисляются раздельно, что нарушает дуальность.

К счастью, полевая теория струн, отвечающая на каждое из этих Wr4>ex возражений, на самом деле возможна.

Во-первых, полевая теория струн не нарушает принцип причинности, ому ч т о взаимодействия, такие как распад струны, происходят Г^енно. Кроме того, информация, касающаяся топологии струны, г^°страняется вдоль нее со скоростью, не превышающей скорости з ^ * Другими словами, струнная теория мультилокальна. Таким обра- *ОлрПо?евая теория струн является единственной известной нелокальной

J0u теорией, согласующейся с принципами квантовой механики,

щ °-вт°Рых, полевая теория струн приводит к функциям Грина,

обязательно нарушают некоторые важные свойства модели

1Ц

276 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса

Венециано. Но это несущественно, так как любой матричный элемен может быть измерен только на массовой поверхности, а на ней эт* функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.

В-третьих, BRST-метод явно разрушает унитарность теории с духами Фаддеева-Попова вне массовой поверхности. Это, однако, не имеет значения, потому что на массовой поверхности духи Фаддеева-Попова сокращаются с унитарными духами. Подобная ситуация имеет место в формализме светового конуса, который вне массовой поверхности сохраняет унитарность, но нарушает лоренц-инвариантность. На массовой поверхности такая теория как лоренц-инвариантна, так и унитарна а поэтому вполне корректна.

Что касается четвертого возражения, то струнная теория действительно нарушает дуальность вне массовой поверхности, однако на массовой поверхности дуальность восстанавливается. Например, для полевой теории струн в калибровке светового конуса мы суммируем раздельно по s- и r-канальным полюсам фейнмановский ряд

части, согласующиеся со струнной интерпретацией (см. рис. 6.1), решает проблему унитарности. При этом явная дуальность оказывается нарушенной. Восстанавливается она только на уровне ^-матрицы, т.е. после суммирования по всем фейнмановским диаграммам. Такой подход обеспечивает унитарность струнной полевой теории ценой нарушения ее явной дуальности.

Рис. 6.1. Поверхности полевой теории в калибровке светового конуса К* и в любой теории поля, мы сейчас суммируем по 5- и /-канальным rPa4\L раздельно, нарушая дуальность. Только сумма этих двух графов явЛ* # дуальной. Следовательно, полевая теория струн в калибровке светового ко У решает проблему «двойного учета»: для каждой диаграммы дуальность

нарушается. Дуальна только сумма (5-матрица).

278 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса

при малом смещении 8 во времени. Ранее мы нашли, что пропагатл

где А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал 8 очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.

Мы хотим сохранить только члены первого порядка по е. Если мы

Важно отметить, что в принципе на величину г| нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка 6, заставит нас ограничиться только членами второго порядка по г\. Разложим в степенной ряд левую часть по 8, а правую по г|:

Этот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегриро- вания можно положить равной

Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегря- рования выживают только те члены, которые содержат г| в четно» степени. В итоге у нас остается

Итак, сейчас мы вывели уравнение Шрёдингера, исходя только из преД110" ложения, что L =-тх?, и основных принципов квантовой мехаНЯ*0,

Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным член0**'

обобщаем выражение на случай всех трех пространственных измереgjjjk то вывод в основном не изменяется, и мы приходим к выражению

дол можем также совсем отказаться от внешнего потенциала и ввести взаимодействия типа \j/3 или \j/4 прямо в действие. Это есть вторично кантованный аналог суммирования по Y- и Х-образным топологиям в первично квантованной теории точечной частицы.

Мы следовали первоначальному фейнмановскому выводу уравнения Шрёдингера, основанному на вычислении временной эволюции волновой функции. Однако существует еще один способ, который позволяет осуществить переход от первично ко вторично квантованному формали- зму и вывести уравнение Шрёдингера более непосредственно. На этот раз мы обратимся к функциональному интегралу действия и покажем, что можно перейти ко вторично квантованному формализму, начиная

ссамих функций Грина и вовсе не прибегая к уравнениям движения.

Вгл. I, выполняя переход от гамильтонова к лагранжеву формализму, мы подставляли бесконечный ряд промежуточных состояний, т. е. собственных векторов оператора координаты из формулы

в каждой промежуточной точке между х{ и х}. Это позволило нам осуществить переход между гамильтоновым и лагранжевым методами.

Сейчас мы хотим проделать то же самое с интегралом по полному

мы собираемся подставить в каждую промежуточную точку ^ДУ начальным и конечным состояниями точечной частицы вместо говенных векторов \х} оператора координаты бесконечный набор ^®®Щаональных состояний |\|/>. Простейший способ проверить справедливость (6.2.13)- это взять следующий матричный элемент и подставить

е г о полный ряд промежуточных струнных состояний: