Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf170 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца-Муди
Подставляя выражение для Ln в контурный интерграл, мы получи^ также
[L„, Ф(г)] = {z" + id + h(n+l)z»} ф(г). |
(4.1.34) |
(Это можно также вывести из (4.1.28).)
Мы показали, что это описание эквивалентно обычному описанию с помощью коммутаторов, которым мы пользовались в предыдуццц главах. Действительно, последнее уравнение есть не что иное, как (2.7.6)} которое применялось при вычислении конформного веса вершинной функции.
Этим способом можно выразить не только обычные конформные коммутаторы; на этом эквивалентном языке можно также описать вклад духов Фаддеева-Попова в конформную калибровку. Духи ФаддееваПопова дадут нам другое представление алгебры Вирасоро, основанное на духовых полях Ъ и с, а не на струнной переменной X. Если переписать
(2.4.1), |
получим |
|
У |
2 2 |
(4.1.35) |
Эти ограничения в свою очередь позволят нам вычислить изменение функциональной меры. Простое вычисление якобиана этого преобразования дает
DgzzDgj-z = (det V2)(det V-z)DezDe-z. |
(4.1.36) |
Чтобы ввести определитель под знак экспоненты в действие, введем два духовых поля, Ъ и с. Тогда духовое действие (2.4.4) можно записать в виде
Sgh |
= -\cPz{b2Zd-c2 + h-zdz?). |
(4.1.37) |
|
71 |
|
(Заметим, что духовое действие записано здесь таким образом, что тензорная природа полей проявляется при действии к о н ф о р м н о й группы. Тем самым инвариантность действия относительно к о н ф о р м н о й
группы становится очевидной. Итак, |
поле bzz- тензор второго |
ранга, |
а с2-тензор первого ранга.) |
|
|
Располагая этим действием, мы |
можем построить тензор |
энер- |
гии-импульса, ему соответствующий: |
|
|
Tgh = cdzb + 2(dzc)b. |
|
(4.1.38) |
Указанные духовые поля имеют следующий матричный элемент:
< M z ) c » > = |
— |
• |
|
Z — W |
|
§ 4.2. Суперконформная теория поля |
171 |
Еелн теперь тщательно вычислить поведение этих полей на коротких ^^•ояниях, мы получим
T » ( z ) W = ^ + r h 8 T * { z ) + • • • • |
(4 -'139) |
Обратите внимание на множитель —13 в вычисленной аномалии духового тензора энергии-импульса. Если взять сумму этих двух хензоров энергии-импульса, (4.1.23) и (4.1.38), то окажется, что полученный комбинированный тензор свободен от аномалии в 26-мерном лространстве:
T(z) = Tx(z) + Tgh(z),
, D - 26
Заметим, что сумма двух тензоров энергии-импульса имеет нулевой главный член только в 26-мерном пространстве. Это фактически фиксирует размерность пространства-времени: она должна быть равной
26. Итак, бозонное представление тензора энергии-импульса через струнные поля X дает множитель D для аномального члена, тогда как духовое представление для Т дает множитель —26. Сумма этих двух тензоров есть истинный тензор энергии-импульса, имеющий нулевой главный член лишь при D = 26.
Всякий раз, когда мы имеем дело с какой-нибудь группой Ли, первое, что мы должны выяснить,- это каковы ее представления. Скажем теперь несколько слов о представлениях алгебры Вирасоро.
Для групп SU(2) или SU(3), например, мы знаем, что представления можно образовать, используя хорошо известные «лестничные операторы» для построения триплетов, октетов и более высоких представлений. Для алгебры Ли общего вида можно построить представления, взяв все возможные произведения «повышающих операторов», действующие на вакуум с «наивысшим весом». Множество всех таких состояний, создаваемых повышающими операторами, называется «универсальной огибающей алгеброй». Тот же самый процесс применим к алгебре Вирасоро, если рассматривать L_„ как лестницу повышающих
операторов.
Определим вектор с наивысшим весом \ h ) следующим образом:
= |
(4.1.41) |
*JA> = 0; |
где и > 0. |
^Метим, что |
любое физическое состояние | R) с h = 1 является |
фтором с наивысшим весом, поскольку оно удовлетворяет условию 1)|Л) = 0. Отметим также, что вакуумное состояние |0; к} тоже
Шляется вектором с наивысшим весом, а состояние 10; 0) этим свойством не обладает.
Теперь определим набор состояний, порождаемых всеми повышаю-
172 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры КацаМуди
щими операторами L_„, действующими на вектор с наивысшим весом-
| <*} = LXlnL\...L\\h). |
(4.1.42) |
Набор всех таких состояний называется модулем Верма. Если рассматривается как физическое состояние, то модуль Верма, соответствующий ему, есть набор всех шпурионных состояний, которые можно получить из этого физического состояния.
Заметим, что любое конформное преобразование просто переводит это состояние в какой-то другой элемент модуля Верма:
П|со> = |со'>, |
(4.1.43) |
где |
|
n = |
(4.1.44) |
Это происходит потому, что генератор Вирасоро, действуя на элемент модуля Верма, создает другое состояние, принадлежащее тому же модулю Верма. Тем самым модуль Верма образует представление конформной группы.
Кроме вектора с наивысшим весом определим также вакуум, инвариантный относительно группы SL(2, R), который мы ввели ранее:
^ | 0 ; 0 > = 0, |
(4.1.45) |
L o |0;0> = 0. |
1 |
Связь между этими двумя разными вакуумами дается соотношением
\h} = ф(0)|0; 0 ) , |
(4.1.46) |
где ф(0) есть первичное поле с весом h. Это соотношение легко проверить, подействовав на его левую и правую части генераторами алгебры Вирасоро.
§ 4.2. СУПЕРКОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Обсудим теперь более сложный вопрос о записи с у п е р к о н ф о р м н о й теории поля. Вместо выписывания преобразований поля как ф у н к ц и й комплексной переменной выпишем преобразование пары п е р е м е н н ы х в наиболее общей форме:
z = z(z,0), |
(4.2.1) |
где 0-грассманова переменная. Преобразование этой пары наиболее общего вида дается формулой
z(z) = (z(z,0),S(z,0)). |
(4.2.2) |
К сожалению, такое преобразование имеет чрезмерно о б щ и й вйД-
§ 4.2. Суперконформная теория поля |
173 |
действительно, если взять произведение двух таких преобразований, мы i получим преобразование того же вида. Необходимо наложить ограничение на систему, чтобы получить замкнутую группу преобра-
Определшу! суперсимметричную производную (см. Приложение)
формулой
р ^ + е А |
(4.2.3) |
так что
= dz |
(4.2.4) |
Вычислим теперь, как эта суперсимметричная производная преобразуется при репараметризации:
D = (Я0) D + [Dz — 0D0] D2. |
(4.2.5) |
Такой закон композиции также не может нас удовлетворить, поскольку он сильно нелинеен. Нам нужно, чтобы, как это было в случае конформных преобразований, производная преобразовывалась линейно. Поэтому мы просто устраняем нелинейные члены, налагая связи
n = ( f f ' |
(4.2.6) |
Эти связи, линеаризующие преобразование репараметризации, в точности совпадают с нужными нам связями. Наложив их, мы можем показать, что два различных суперконформных преобразования дают новое суперконфермное преобразование:
z - z - * z . |
(4.2.7) |
Итак, мы назовем преобразование поля суперконформным, если оно Удовлетворяет условиям
1 ф(2) = <P(Z)(D3)2\ |
( 4 1 8 ) |
^гко проверить, что устранение компонент 0 приводит это выражение °оратно к конформному виду, выписанному ранее в (4.1.7).
в <Ь^аК И В "РОДВДУ11*6*1 параграфе, мы можем выписать эти условия Форме бесконечно малой вариации полей:
5еФ = 1гд + l-(De)D + h{dz)] ф, |
(4.2.9) |
Г|**е е параметризует суперконформные преобразования. Заметим, что
174 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца-Муди
это выражение почти совпадает с бозонным преобразованием (4.1.28) отличаясь от него лишь членом, содержащим два оператора д Замыкание алгебры теперь можно записать в виде
8[et,e2] = [8et A2 L |
|
(4.2.10) |
где |
|
|
[8X, г2 ] = г^ - г^в! + |
1 -(DE1 )(DE2 ). |
(4.2.11) |
Заметим, что мы снова получим обычную алгебру Вирасоро (4.1.16), если положим Dex и Z)e2 равными нулю.
Мы видим, что репараметризации по грассмановым переменным можно выразить через два параметра, dz = е0 и д0 = еь:
e(z) = 5z + 050 = е0 + 0вь,
6z = 8 - 060 = 8 o - h i 0 s b , |
(4.2.12) |
Эти уравнения являются частным решением системы (4.2.6), так что нам известно, что группа замыкается в собственном смысле после двух последовательных преобразований полей. Это решение будет положено в основу построения суперконформных токов, а затем и самой суперконформной алгебры.
До сих пор мы ограничивались лишь весьма общими замечаниями о суперконформной группе, не ссылаясь ни на какую конкретную модель. Теперь перепишем (NS-К)-модель, выразив ее через конформ-
ные поля. Действие имеет вид |
|
S = ^cfzdQdQDX^DX^. |
(4.2.13) |
Уравнения движения суть |
|
DDX^ = 0, |
(4.2.14) |
а их решение есть |
|
X" (z, 0, z, 0) = X*(z, 0) + X*(z, 0). |
(4.2.15) |
Поэтому мы выберем |
|
X*(z, 0) = X*(z) + 0\|f{z), |
(4.2Л6) |
так что действие примет вид |
|
S = J-Г(fzidX^dX. - уду - уду). |
(4.2-17) |
2к |
|
§ 4.2. Суперконформная теория поля |
175 |
«аметим, что это есть не что иное, как исходное действие модели NS- R /3 2.1)' записанное на конформном языке. Из него можно получить ^удертензор энергии-импульса в несколько иной нормировке:
Тр + 0ГВ = |
(4.2.18) |
Выпишем его в явном виде:
(4.2.19)
Это токи (3.2.7) и (3.2.13), записанные в конформном формализме. Заметим, что суперток Ja теперь является частью того же тензора, что
и тензор энергии-импульса ТаЬ, т.е. они являются суперсимметричными партнерами друг друга.
Как и в (4.1.25), вариация суперполя дается формулой
5<p(z2) = ^ § d z ^ i ) Т(жх) <р(ж2). |
(4.2.20) |
2К1С2 |
|
Если поле ф имеет вес /*, а тензор энергии-импульса имеет вес 3/2, то фи Тпреобразуются суперконформным преобразованием по формулам
Т ( г 1 ) ф 2 ) ^ h ^ y ( z 2 ) + — 02ф + — д 2 у - h . . .
z12 Z12 z12
r(Zi)T(z2) ~ £ 4- + 5 ¥ |
|
(4.2.21) |
||
|
^ z\ 2 |
Z z12 |
|
|
|
+]— D2T(Z2) |
+ — d2T(z2)+ |
..., |
|
|
2 Z12 |
|
z12 |
|
где |
|
|
|
|
012 |
= 0 _ e |
|
|
|
zi2 |
= z 1 - z 2 -' 0 1 0л |
2 . |
|
(4.2.22) |
На самом деле эти соотношения сложнее, чем кажутся; они выражают в компактной форме большое число уравнений. Чтобы это Увидеть, выпишем предыдущие уравнения в развернутом виде. Под-
бавляя (4.2.18) в (4.2.21), находим |
|
|
||||
_ |
|
ЗА/4 |
? |
1 |
|
|
T'WB(z2) ~ —> |
|
|
+ ——-2TB(Z2) |
+ ^^д2Тв + |
..., |
|
|
\Z1 ~ z2f |
\Z1 ~ 21 |
Z1 ~ z2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
Tb{Zi)TF(Z2) ~ |
|
Ц ^ T F ( Z 2 ) + —^—d2TF+ |
..., |
(4.2.23) |
||
|
\Z1 |
~ z2) |
Z1 Z2 |
|
|
|
176 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди
|
с/4 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
TAzJTAzJ ~ |
_ |
з |
+ —— TB(z2) + .... |
|
\zl |
Z2) |
|
Zх |
Z2 |
В развернутом виде эти соотношения дают суперконформную алгебру которую мы явным образом описали в (3.2.26) и (3.2.28). Поэтому она содержат большой объем информации.
Преобразование поля (4.2.21) можно расписать подробно, взяв ф = ф0 + вф!.'
TB(Z!)Фо(22) - 7 3 |
h |
|
|
|
+ |
|
|
1_ |
- |
а2 ф0 + ... |
|
||
-3 9o(Z2) + |
з |
|
|
||||||||||
|
(z J — Z2)2 |
Z J — z2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
* + i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
T»(zi)q>i(z2)~7\zl |
zl) Г2Ф1(г2 )+ Z1 |
_ |
z2 ^2Фх+ |
(4.2.24) |
|||||||||
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
TpizJ (p0(z2)~ —Z1 ~ Z2 |
|
9j(z2) + |
..., |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
rF(z1)<p1(z2)~-\Zl ~ Z2) |
:Фо(*2) +Z1 ~~ Z2 |
^2Фо + ••• • |
|
||||||||||
Разлагая в степенные ряды по формулам |
|
||||||||||||
TF(z) |
2=4п ^~n"3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
TB(Z) |
= X Z - " - 2 L „ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п
п
мы получим описание того, как поле q>(z, 0) преобразуется суперкон-
формным[Lm, ф0преобразованием:(г)] = г - + 1 5ф 0 + |
+ l)z">0(z), |
|
[Lm, 9 l (r)] = zm+1<59l + (Л + i)(m + l)z>x (z), |
^ |
|
[ £ G m ^ 0 ( z ) ] = e z m + 1 ' 4 i W ,
[£Gm, 9 l ( z ) ] = б[г-+ 1 '2 аФ о + 2(т + ^ Л г - ^ ф о М ] ,
|
§ 4.3. |
Спиновые поля |
177 |
[Lm, Фо,п] = l(h - l)m - |
|
+ |
|
[Lm, 9i,n]= [(A -l-)m- |
п\ (рит + п, |
(4.2.27) |
|
[е<?т, фо,п] = еф1,т + п, |
|
|
|
|
|
|
|
[sGm? Я>1..] = 8К2/* - |
- |
+ |
|
Йтак, соотношения (4.2.21) содержат всю информацию о суперконформдух преобразованиях.
Вычислим теперь, какие вклады разные поля вносят в аномалию. Сравнивая (4.1.29) и (4.2.23), видим, что бозон Xц вносит в аномалию
вклад D, тогда как фермион вносит лишь |
D. Можно также показать, |
да духи b и с вносят вклад —26, а |
духи Р и у - вклад +11. |
Действительно, ниже в этой главе мы покажем, что вклад в аномалию духа с конформным весом X равен
с= -2фХ(Х- 1)+ 1), |
(4.2.28) |
где е равно + 1 (соответственно — 1) для статистики Ферми (соответственно для статистики Бозе). Подытоживая, находим:
Поле Аномалия
|
|
D |
|
|
% |
|
|
(4.2.29) |
|
|
Ь, с |
- 2 6 |
|
|
|
Р. У |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
Складывая все вместе, находим, что общая аномалия равна |
|
|||
|
J> + ^ D - 2 6 + 11 = \ { D - 10), |
(4.2.30) |
||
т*к что для обращения этого члена в нуль должно выполняться D = 10. |
||||
§ 4.3. СПИНОВЫЕ ПОЛЯ
Пока что ничего нового мы не получили. Мы лишь вывели заново 4>ые результаты, которые можно было получить и с помощью *Ч?мализма гармонических осцилляторов, использованного в предыgjf^tt главах. Мы просто предпочли переписать генераторы алгебры
-R на языке, подчеркивающем конформный вес и структуру осоостей коммутаторов в z-плоскости, вместо того чтобы разлагать
Вйе|!1?.ММУтатоРы по их Фурье-компонентам. Новшеством, однако, будет те нового поля Sa, которое преобразуется как настоящий спинор ем группы Лоренца. Это позволит сформулировать (NS-R)-
178 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди
модель с единственным вакуумом вместо двух разных вакуумов с по мощью процесса, называемого бозонизацией.
Сначала выпишем генераторы |
десятимерной лоренцевой груППЬ1 |
SO (10) через антикоммутирующее |
векторное поле v|/, используемое |
в (NS-R)-TeopHH: |
|
/v (z) = V Y W . |
(4.3.1) |
Мы требуем, чтобы они удовлетворяли коммутационным соотношу ниям обычной алгебры Лоренца, выраженным через поля, определенные в z-плоскости. С учетом известных антикоммутационных соотношений для поля у, даваемых формулой (3.2.23), легко показать, что
r(z)r(w) ~ - i — |
" |
^ ~ v ) ( l |
- сг<->т) |
z — W |
|
|
|
+ {z*w)2 (ЛитЛУа - |
Ц - v ) |
+ ... . |
(4.3.2) |
Заметим, что генераторы этой алгебры суть функции z и, следовательно, они образуют более обширную алгебру, чем SO (10). Действительно, эта алгебра называется алгеброй КацаМуди, и она будет широко использоваться в настоящей книге.
Изучение теории групп, лежащей в основе лоренцевой симметрии, показало, что представления этой группы могут быть либо тензорами, либо спинорами. Свойства преобразований этих полей однозначно определяются самой теорией групп. Аналогично мы определим тензорные и спинорные представления алгебры Каца-Муди, связанной с группой SO (10), свойства преобразований которых будут однозначно определяться одной лишь теорией групп. Эти свойства преобразований оказываются столь мощными, что из них можно определить матричные элементы.
В частности, вектор по определению преобразуется под действием
алгебры Каца-Муди SO (10) следующим образом: |
|
||
/v(z)\|/fl(u>) - —— ( T f V - |
|
И + ... . |
(4.3.3) |
z — W |
|
|
|
Спиновое поле Sa, поскольку оно преобразуется как спинор |
г р у п п о й |
||
SO (10), должно по определению |
удовлетворять следующему |
свойству |
|
преобразования: |
|
|
|
r(z)S a (w) ~ I — — ( у * у + ... . |
|
(4.3.4) |
|
4 z — w |
к |
|
|
Замечательное утверждение конформной теории поля состоит в тоМ> что два предыдущих тождества, показывающих, как векторы и спинор*1 преобразуются под действием группы SO (10), достаточны для оПр^ деления практически всех корреляционных функций этой теории!
§ 4.3. Спиновые поля |
179 |
Тензор энергии-импульса в свою очередь может быть записан как 0Ормально упорядоченный квадрат генераторов группы Лоренца:
_ 1
7 1 = ^ 7 П А * ) - |
(4-3.5) |
Вычислив в явном виде коммутаторы предыдущего уравнения, убеждаемся, что этот тензор является генератором алгебры Вирасоро.
К сожалению, спиновое поле Sa имеет конформный вес 5/8, что мы докажем ниже в этой главе, когда построим явное представление этих полей. Однако это можно вывести и из общих соображений следующим образом. Ранее в (4.1.46) мы видели, что вектор с наивысшим весом | h ) модуля Верма можно записать как
= ср(0)|0; 0 ) , |
(4.3.6) |
где ф-поле с весом h, а |0;0>-вакуум группы SL(2, R). В суперконформном случае у нас фактически имеются два вакуумных вектора с наивысшим весом:
|A> = S(0)|0;0>, |
(4.3.7) |
G0\h}.
Мы хотим устранить второе вакуумное состояние с наивысшим весом, чтобы сохранить 2£-суперсимметрию. В случае суперструны теория содержит лишь один спинор на низшем уровне, а не два. Чтобы устранить второе состояние, используем тождество
Gg = L 0 - ^ . |
(4.3.8) |
(Мы выбрали форму с-числовой аномалии в алгебре Рамона, слегка отличную от (3.2.28). Этот выбор также удовлетворяет тождествам Якоби.) Мы хотим, чтобы состояние G0\h) обратилось в нуль после Действия на него еще одним оператором G0. Это значит, что
<?оСо|А> = ( й - ^ ) | й > = 0. |
(4.3.9) |
Чтобы это равенство выполнялось, вес h спинового поля должен быть Равен 10/16 = 5/8, что и ожидалось.
Ключ к вычислению матричных элементов любого конформного Воля-- вычисление его поведения на коротких расстояниях при взаимодействии с другими полями и действии суперконформной группы.
°этому мы вычислим теперь поведение спинового поля на коротких ^^ояниях, используя только соображения симметрии, чтобы уста-
ить его структуру на коротких расстояниях и его матричные Цементы.
Прежде всего, тождество (4.3.4) означает, что операторное произве-
12*