Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf130 Гл. 3. Суперструны
формный вес вертексных функций должен быть равен 1, чтобы выполнялись условия уничтожения духов (2.9.5). Из (3.2.27) и (3.2.28) можно
вычислить коммутатор Ln и |
и |
обнаружить, что |
он |
равен |
1/2. |
|
Поскольку V0 имеет конформный |
вес |
а'к2, a v|/ имеет |
вес |
1/2, то |
вес |
|
К есть сумма этих двух весов: |
|
|
|
|
|
|
а'к2 + \= |
2а |
|
|
|
(3.3.5) |
|
2 |
|
|
|
|
' |
|
Здесь а = 1/2. Эта вертексная функция, соответствующая испусканию или поглощению тахиона, заведомо удовлетворяет правильным условиям уничтожения духов.
Пропагатор вычисляется просто. Заметим, что гамильтониан диагонален в пространстве гармонических осцилляторов. Поэтому мы будем использовать явное представление функционала, основанное на нормальных модах гармонического осциллятора. Тогда
D = |
e - 4L |
0 - i ) d x = _I |
|
(3 3 6) |
|
L0 — |
1 |
|
|
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
Построим N-точечную функцию для тахионов: |
|
|||
<0; кх\кх' Ът V(k2)D• • • V(kN _ 1) kN1/210; kN > . |
(3.3.7) |
|||
Здесь мы разместили тахионные состояния слева и справа от всех вершин и пропагаторов. В этом формализме циклическую симметрию можно доказать тем же способом, что и для бозонной струны. Сначала заметим, что
lim Y^tlll 10; 0) = fc-i_1/2|0;fc>,
у
(3.3.8)
lim<0;0\yV(k,y) = <0; -k\k-bll2 . y-> О
Это позволяет одинаковым способом рассматривать все внешние тахионы. Перенося налево последний вертекс, можно показать, совершенно аналогично бозонному случаю, изученному в (2.6.24), что эта амплитуда циклически симметрична.
Здесь, однако, возникает одно затруднение. Только что построенное тахионное состояние соответствует kilbt1/2\0;k}', это выражение удовлетворяет
[L0 - 1] у>11 / 2 10;*> = 0 - а'к2 = |
(3-3.9) |
Это, однако, означает, что вакуумное состояние |0;fc> имеет еше меньшую массу, поскольку оно удовлетворяет следующему условию:
[L0 — 1] |0;fc> = 0 а'к2 = 1. |
(3.3.Ю) |
Мы столкнулись, тем самым, с необычной проблемой: истинный вакуу^
§ 3.3. Деревья |
131 |
теории (3.3.10) не соответствует тахиону (3.3.9). Другими словами, гильбертово пространство, по-видимому, слишком обширно, истинный вакуум не является необходимым состоянием. У нас, кажется, оказалось два самых низких состояния.
Решение этой головоломки вытекает из того факта, что вакуумное состояние действительно излишне и его можно из теории устранить. Это Достигается переопределением гильбертова пространства теории.
формализм, в котором мы до сих пор работали, называется Ft; он неуклюж. Вакуум теории не равен тахиону, и поэтому фоковское пространство на самом деле обширнее, чем требуется. Хотя циклическая симметрия легко доказывается в этом формализме, мы предпочитаем ввести другой, более удобный. Он называется F2 [10] и использует редуцированное фоковское пространство, полученное удалением ваку-
умного состояния с к2 = 1/а'. |
|
|
Чтобы к нему перейти, перепишем тахионное состояние |
в виде |
|
у »^i, 2 |0;k> = G.1 / 2 |0;fc>, |
|
(3.3.11) |
(0;k\k^ l / 2 = (0;k\Gl j 2 . |
|
(3.3.12) |
Теперь перепишем N-точечную амплитуду рассеяния тахиона |
(3.3.7) |
|
с помощью (3.3.12): |
|
|
Л = <0; кх | С1/2 V(k2) D ... V(kN _,) |
1/210; kN >. |
(3.3.13) |
Приступим к решающему шагу. Протолкнем Gl/2 направо, последовательно продвигая его через различные вершины и пропагаторы. Нам потребуются формулы
{G„ V} = [L2r, V01 = [L0 + г - 1] K0 - V0(L0 - 1),
Важно заметить, что при проталкивании Gi/2 направо изменился интерсепт пропагатора, т. е.
v r m ^ m - |
< 3 - з л 5 > |
тогда как все другие члены, содержащие разные L, обращаются в нуль, аналогично бозонному случаю. Наконец, мы протолкнем G1/2 вправо до к°нца, где это выражение обратится в нуль на тахионном состоянии:
G i/2G-i/ 2 |0> = (2L0 - G_1 / 2 G1 / 2 )|0> = 0. |
(3.3.16) |
Итак, собрав все вместе, мы, наконец, получаем |
|
*и = <0;к, | к, -Ът V(k2) —[— • • • V(kN.l)kN'b.lj2\0',kN) |
= |
L, о — 1 |
|
= <0iktWik,) |
1 |
... V i k v ^ m k » ) . |
(3.3.17) |
132 Гл. 3. Суперструны
Удивительно, но теперь исходная амплитуда оказалась полностью переписанной таким образом, что набор собственных (резонансных) состояний подвергся сдвигу. В частности, старое вакуумное состояние в формализме Ft при а'к2 = 1 исчезло из гильбертова пространства. Оно не взаимодействует ни с чем в новом формализме, который мы назовем F2 [10]. Вместо него у нас есть тахионное состояние, представленное 10; к}, которое теперь удовлетворяет новому условию [L0 — 1/2] 10; к) = о с а'к2 = 1/2.
Это весьма примечательно. Состояние 10; к}, которое раньше представляло вакуумное состояние при а'к2 = 1, теперь неожиданно превратилось в тахионное состояние при а'к2 = 1/2. Таким образом, в формализме F2 тахионное состояние и новое вакуумное состояние являются одной и той же частицей. (Следует помнить, что один и тот же символ 10; к} может представлять либо старый вакуум в формализме Fx, либо тахион в новом формализме F2.)
Этот сдвиг гильбертова пространства является новой чертой, которой не было у теорий поля для точечных частиц. На самом деле при обсуждении конформной теории поля в следующей главе мы обнаружим, что это странное явление «смены картины» возникает всякий раз, когда мы строим неприводимые представления суперконформной группы. Следовательно, это не трюк, а существенное свойство данной группы. (Мы должны также отметить, что когда мы обеспечим прост- ранственно-временную суперсимметрию модели, мы устраним также тахионное состояние. Тем самым тахион исключается из подлинно суперструнного гильбертова пространства, что делает теорию унитарной.)
|
Подытожим различия между этими двумя формализмами: |
|||
|
Вертекс = V, |
|
|
|
F,: |
Пропагатор = (L0 |
- I)"1 |
, |
(3.3.18) |
|
Тахион: к^-b^lj2\0;k)(a'k2 |
= 1/2); Вакуум: |0;fc> (а'к2 = 1), |
||
|
Вертекс = V, |
|
|
|
F2: |
^ Пропагатор = (L0 |
- 1/2Г1 , |
(3.3.19) |
|
|
Тахион = Вакуум: |
|0;fc>; (а'к2 = |
1/2). |
|
Преимущества и недостатки этих двух формализмов сводятся к следующему.
(1) В формализме явную циклическую симметрию намного легче доказать. Однако все вычисления усложняются необходимостью учитывать ненужное вакуумное состояние, которое ни с чем не взаимодействует.
(2)В формализме F2 циклическая симметрия является скрытой, но устранение духов и калибровочные преобразования проводить легко.
§ 3.3. Деревья |
133 |
Преимущество состоит в том, что теперь мы работаем в фоковском
пространстве меньшего |
объема. |
|
|
||||
Используя формализм F2 , нетрудно вычислить четырехточечную |
|||||||
функцию в явном виде: |
|
|
|
|
|||
, |
.т/// Ч |
1 |
т/// |
МЛ |
/ \ |
Г ( 1 - ф ) ) Г ( 1 - а ( 0 ) |
/отолч |
< 0 ' |
1 |
Ь—ф |
|
1 0 ; |
= |
Г ( 1 - а ( , ) - а ( 0 ) • |
( 3 3 - 2 0 ) |
Здесь а(s) = 1 + a's.
Возможно также непосредственное обобщение до N-точечной функ-
ции. Последняя представима в виде |
|
||
f^H/v (0; 01 Y^IliZJI ? ... 9 Y^llZl}. 10; 0) . |
(3.3.21) |
||
J |
Л |
У* |
|
В общем случае это выражение содержит большое число множителей, которые вычислять утомительно. Простой способ получить весь результат целиком-использовать соотношение
= |
Ье exp {ik - X + Qk • v j f / J y } . |
(3.3.22) |
у/У |
J |
|
Заметим, что если разложить экспоненту в степенной ряд, то ненулевой вклад в интеграл даст лишь линейный член, и мы получим предыдущее выражение для вертексной функции. Пока что ничего нового мы не получили. Теперь воспользуемся следующими двумя тождествами:
< 0 | У ^ ) у - Ы | 0 > = |
л - |
|
у/у! |
sfTi |
Уг-Уг |
|
|
(3.3.23) |
ЧУ1 |
ЧУ г |
еХР [М\'к2 In {ух — у2 — 0Х 02 )] . |
|
||
Нетрудно обобщить последнее соотношение, выписав АГ-точечную амплитуду тахиона:
'=1 |
|
[ |
п ^ П ^ - ^ - 0 . 0 / ' ^ ' |
(3.3.24) |
У'г |
J |
Ух i<j |
|
Преимущество этого выражения в том, что мы можем теперь находить различные члены, входящие в эту формулу, последовательно разлагая их в степенной ряд и интегрируя по грассмановым переменным.
Кроме амплитуд рассеяния тахионов на тахионах, мы можем также ®Ычислить рассеяние безмассовых векторных частиц (соответствующих Истицам Максвелла и Янга-Миллса). Выбор вертексной функции для езмассовой векторной частицы ограничен тем фактом, что она должна
134 Гл. 3. Суперструны
обладать конформным весом 1 и правильным спином. Естественный выбор этой функции дается выражением
|
к) ={Gr^' yjkX} = G •• X - с• Vfc • V ) ^ , |
где |
вектор поляризации векторной частицы, а к2 = С, к = 0. Кон- |
формный вес этого вертекса равен сумме конформных весов индивидуальных множителей, его образующих. Поскольку ц/ имеет конформный вес 1/2, а е1кХ имеет конформный вес а'к2, то отсюда следует, что конформный вес этого вертекса дается выражением
5 + 1 + 0 - 1 ,
имеющим желаемый вес. Этот вертекс заведомо удовлетворяет условиям уничтожения духов, налагаемым на G и L. Нетрудно вычислить ЛГ-точечную амплитуду рассеяния для этой безмассовой калибровочной частицы с помощью того же формализма, который был развит для тахиона. Например, амплитуда рассеяния для четырех безмассовых калибровочных частиц дается выражением
|
r(-s/2)r(-t/2) |
|
|
4 |
Г (1 — s/2 — t/2) 9 |
|
|
где кинематический фактор К имеет вид |
|||
К = - |
24 + ^23,14 + |
+ |
|
+ - S (kx 4/C32C24 + ^23^41^13 + ^13^42^23 + |
|||
+ |
k24k3l^l4) |
+ l-t(k2lk43C)3l |
+ k34kl2Cj24 + |
+ ^24^13^34 + ^31^42^12) + 2М(^12^4зСЗ2 + ^34^21^14 + |
|||
+ ^14^23^34 + ^32^4lCl2)5 |
|
||
здесь |
|
|
|
kij = Ci' kj 5 |
Cij = Ci' Cj 5 Ctj, fc/= Cij ^fc/ • |
||
(Рассеяние с участием фермионов также можно вычислить; оно тоже будет иметь приведенную выше базовую форму, но кинематический фактор будет зависеть от внешних спиноров.)
Необходимо добавить к этому, что еще одно преимущество использования формализма F2 состоит в том, что можно непосредственно показать инвариантность амплитуды относительно преобразования
5 yt = 0,8,
Оно порождает группу Osp(l,2) (см. Приложение), являющуюся супер
§ 3.3. Деревья |
135 |
симметричным обобщением проективной группы SL(2,/?). Эта группа порождается алгеброй, образуемой набором
Сч1/2» |
^±1» |
ь 0 . |
(3.3.26) |
Пусть Q есть элемент группы Osp(l,2). Тогда доказательство суперпроективной инвариантности дается следующим замечанием:
Q|0;0> = |0;0> . |
(3.3.27) |
(Заметим, что, как и в бозонном случае, вакуумное состояние |0;0> не является физическим. Поэтому элемент Q, который, вообще говоря, не уничтожает физические состояния, может уничтожить вакуумное состояние.) Вертекс при этом поворачивается согласно
QV№)QTl = V(y\V)9 |
(3.3.28) |
где V(y9Q)~ вертексная функция до интегрирования по 0.
Теперь, после того как мы выяснили свойства трехбозонной вертекснрй функции в формализме Невё-Шварца, мы можем также вычислить взаимодействие фермионфермионбозон (с внешней бозонной
линией) для модели Рамона. Выберем |
|
||
F(fc) = T |
:eik'x: |
, |
(3.3.29) |
где |
|
|
|
r = y |
1 1 |
( - l ) z " £ |
/ - ( 3 . 3 . 3 0 ) |
Здесь у п - произведение матриц Дирака. Кроме этой вертексной функции, нам также нужен пропагатор
Z> = -I = £ ° , |
(3.3.31) |
где F0 дается формулой (3.2.20). Мы положили интерсепт равным нулю (что, как мы увидим, правильный выбор, если мы хотим обеспечить конформную инвариантность; на этой ранней стадии, однако, мы пока не можем обосновать выбор нулевого интерсепта).
Наконец, вакуумное состояние является теперь фермионом со спином 1/2 и дается формулой
£аЮ; <?>„«„, |
(3.3.32) |
где мы суммируем по спинорным индексам а спинора иа. Амплитуда Рассеяния фермиона, взаимодействующего с несколькими бозонами, °пределяется теперь выражением
U^{^ql\V{k2)D--DV(kN.imqN}u(qN). |
(3.3.33) |
Пока что мы лишь продемонстрировали амплитуды с двумя внешJptoH фермионными линиями. Как ни странно, все наши первые взятые **Угад и основанные на простой интуиции допущения оказались успешПоскольку действие в конформной калибровке совпадает с
136 |
|
Гл. 3. Суперструны |
|
действием свободной теории, модель NS-R весьма проста. За эту |
|||
простоту, |
однако, |
приходится платить. |
|
В принципе, |
поскольку |
струнную модель можно факторизовать |
|
в любом |
канале, должно |
быть возможно факторизовать R-модель |
|
вмезонном канале и заново вывести из нее NS-модель или получить многофермионную вертексную функцию. На самом деле это весьма трудно сделать. В частности, фермионная вертексная функция (с внещней фермионной линией, связанной с внутренними фермионной и бозонной линиями)-это объект, с которым слишком сложно работать. Это в свою очередь затрудняет вычисление многофермионных амплитуд
вформализме NS-R.
Хотя можно показать, что R-модель можно факторизовать в разных каналах, чтобы вывести NS-модель, но формализм NS-R в действительности весьма неудобен для вычисления многофермионных амплитуд. В следующей главе мы увидим, что методы конформной теории поля делают ковариантное вычисление многофермионных амплитуд возможным.
§ 3.4. ЛОКАЛЬНАЯ ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ
Заметим, что условия
<Tab) = о,
< л > = о |
( 3 4 , ) |
мы наложили вручную. Никакого обоснования этому дано не было. Мы просто сослались на то, что должно существовать действие с более широкой симметрией, из которого эти связи можно вывести с самого начала.
Здесь мы опишем локальное обобщение изложенной выше теории. Ключом к построению этого локально суперсимметричного действия служит введение в теорию дополнительных полей. Кроме суперсимметричной пары
мы вводим двумерную «тетраду» и ее суперсимметричного партнера
(е°а,Ха). |
(3-4.3) |
Здесь греческие буквы а и Р метят двумерные векторы в искривленном пространстве, греческие буквы ц и v продолжают служить метками 10-мерных векторов (пространственно-временных), латинские буквы а, Ь, с метят двумерные векторы в плоском пространстве: Х а ~ Д в У м е р н Ы И спинор, а также двумерный вектор, а двумерные индексы спинора опущены. Итак, и тетрада, и спинор %а имеют по четыре компоненты, как и требуется для суперсимметрии. Теперь построим полное действие,
§ 3.4. Локальная двумерная суперсимметрия |
137 |
впервые выписанное Бринком, Ди Веччиа, Хоувом, Дезером и Зумино [11-13]:
+ 2 Х а Р р Р > Ч * ц + ^ц^ХаРр Ра Хр] . |
(3.4.4) |
Заметим, что матрицы р, использованные выше, в действительности определены в двумерном искривленном пространстве, поскольку они умножаются на
Действие инвариантно относительно преобразований
ЪХ* = 61^ ,
be; = - 2/epaxp, |
(3.4.5) |
§Xa = ^CTXa .
Оно также инвариантно относительно масштабных преобразований Вейля:
8ХЦ = О, 8у» = — ^ сг\|/ц ,
= |
(3.4.6) |
h a = {0Ха .
Оно также инвариантно (вследствие некоторых тождеств, справедливых в двумерном случае) относительно преобразований
5Ха = фаГ|> |
|
|
= 5х|/ц = |
= 0. |
(3.4.7) |
Наконец, по построению оно также явно инвариантно относительно локальных двумерных лоренцевых преобразований и репараметризаций из-за присутствия поля локальных тетрад. (Наличие обыкновенных Ч^изводных вроде да в действии вместо ковариантных производных Da ИскРивленному пространству объясняется тем фактом, что двумерное
°ле связности исчезает из действия.)
Теперь мы можем вывести ограничения, которые мы наложили на К о в с к °е пространство вручную. Заметим, что вариация действия
138 |
Гл. 3. Суперструны |
|
относительно тетрады дает |
|
|
П = 0, |
|
(3.4.8) |
тогда как |
варьирование суперсимметричного партнера |
тетрады дает |
р « р * д а Х ^ - \(ww)papha = 0. |
(3.4.9) |
|
Это те ограничения, которые мы выше обещали получить и которые теперь выведены как следствия вариации полей.
Теперь мы можем выбрать калибровку |
|
||
= |
5°, |
|
|
а |
а ' |
(3.4.10) |
|
Х а = |
0 . |
||
|
|||
Заметим, что у нас есть достаточно много симметрий, относящихся к полю Ха, чтобы полностью исключить это поле: сочетание двумерной суперсимметрии (3.4.5) и симметрии (3.4.7). Тогда наши ограничения сведутся к
Тар = д а Х ^ Х * + \ i>p,e5p,v - след = 0, |
(3.4.11) |
г = \ р * р « д р Х ^ = 0 |
(3.4.12) |
(где скобки обозначают взятие половины симметризованной суммы). Это, конечно, те связи, которые были впервые введены в начале нашего обсуждения в (3.2.7) и (3.2.13). Итак, теперь мы вывели эти связи из инвариантного действия, вместо того чтобы просто налагать их на состояния системы.
В итоге это действие инвариантно относительно нескольких локальных симметрий. В их число входят
(1)локальная двумерная лоренцева симметрия,
(2)репараметризация,
(3)вейлевское изменение масштаба,
(4)двумерная суперсимметрия,
но не 10-мерная пространственно-временная суперсимметрия.
§ 3.5. КВАНТОВАНИЕ
Квантование действия NS- R является непосредственным обобщением квантования бозонной струны. Особенность с у п е р с т р у н ы - т о , что действие NS-R, содержащее многочисленные взаимодействия, дает свободную теорию после выбора калибровки.
Снова мы будем пользоваться теми же тремя методами: (1) ГуптЫ' Блейлера, (2) формализмом светового конуса, (3) BRST.
§ 3.5. Квантование |
139 |
Квантование ГуптыБлейлера
формализм Гупты-Блейлера является простейшим из трех, и в действительности именно в нем мы работали выше. Используя обширgj^g набор симметрий модели, мы можем выбрать конформную калибровку:
Заметим, что в этой калибровке действие сводится к тому, которым мы пользовались выше, с наложенными условиями
Л ^ 1 ф > = 0 ' |
(3.5.2) |
NS: |
|
^ > = 0 ' |
(3.5.3) |
Ч F J ^ > = 0 |
|
для положительных л, т и г. Итак, |
мы квантовали действие NS-R |
в формализме Гупты-Блейлера. |
|
Квантование в переменных светового конуса
Сущность формализма светового конуса состоит в том, что мы устраняем все нефизические духовые состояния, решая уравнения связей ( 3 . 4 . 1 1) и (3.4.12) явным образом в терминах поперечных или физических мод, вместо того чтобы налагать их на состояния. Мы можем наложить следующие условия:
+ д^Х^О. |
( 3 ' 5 ' 4 ) |
Большинство генераторов изменились лишь незначительно. Реальное отличие наблюдается в «минусовых» компонентах полей, содержащих поперечные компоненты конформных генераторов:
«.-=a„-(Z) + - L |
f ( г |
- 1 п ) : |
Ь > - , Ь 1 : - ^ , |
(3.5.5) |
|
2/> |
г=-оо\ |
2 |
/ |
Р |
|
Гда ПеРвый член справа относится к бозонному генератору, который мы вычислили ранее в (2.3.16), и
|
1 |
0 - 2 |
00 |
|
Ь' |
|
I |
I a U M - |
(3.5.6) |
|
Р i = 1 г = - 00 |
|
||
^РУДности возникают с тем лоренцевым генератором, который со-