Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Заметим, что если мы находимся на оси х, так что z-вещественное число, то производная функции Грина, нормальная вещественной оси, равна нулю. Поэтому граничные условия в точности совпадают с теми, которые нам нужны, и, стало быть, в силу теоремы единственности это и есть искомая функция Грина для верхней полуплоскости.

Теперь мы можем подставить эту функцию Грина в наш интеграл. Классическое значение X, служащее решением уравнения (2.5.4), это

Итак, мы находим, что функциональные интегралы могут быть вычислены с помощью (1.7.10):

J DX exp | — ^^ J d2XVLd-zX^d1z + /J ^AT^zJ

= e x p j | f Mz)G(z, z')J»{z')dzdz^

= ]~[ exp{a'ki• kjIn|z, — z}\)

(Заметим, что мы явным образом удалили «самодействие»-член, в котором i = j; он был бы расходящимся. Можно обрезать интеграл и все же сохранить конформные свойства теории. Мы обнаружим, что это обрезание нужно проводить методом гармонических осцилляторов.)

Теперь нужно завершить последний шаг, а именно зафиксировать меру ф.

Первое предложение состоит в том, что если амплитуда выражена через z,, то меру можно взять просто равной единице. Это правильный выбор, совместимый с конформной инвариантностью. Чтобы это доказать, вспомним, что выше мы утверждали необходимость суммировать

по всем конформно неэквивалентным поверхностям. Рассмотрим множество конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и таких, что вещественная ось также отображается на себя. Вообще говоря, точки вещественной оси, отображающиеся друг в друга» связаны некоторым подмножеством конформных преобразований, которые называются проективными преобразованиями, или преоб-

Здесь а, Ь, с и d- вещественные числа, удовлетворяющие соотношению ad—Ъс— 1. Этот набор четырех параметров образует вещественную матрицу с единичным определителем:

Ь\

(2.5.13)

В общем случае группа, определяемая множеством всех вещественных матриц размера 2 х 2 с единичным определителем, есть группа SL (2, R) (см. приложение). Заметим, что эта группа преобразований может быть порождена следующими последовательными преобразованиями:

1

У-*--

У

Итак, мы хотим, чтобы амплитуда, включая вклад меры, была проективно инвариантной.

Сделаем проективное преобразование подынтегрального выражения, чтобы увидеть, как оно преобразуется:

Нам нужно, чтобы наша мера компенсировала неинвариантный член приведенного выше выражения. Возьмем в качестве меры число 1 и ограничим область интегрирования условием z f ^ z f + 1 . Осталась одна последняя трудность. Нам по-прежнему необходимо «фиксировать калибровку» для проективных преобразований, чтобы избежать повторного счета диаграмм. Мы должны интегрировать один и только один раз по каждой проективно отличной от других конфигураций переменных zr Если внешний импульс втекает в верхнюю полуплоскость в точках, задаваемых переменными zh то мы можем фиксировать три из этих точек произвольным образом. Это соответствует «фиксации калибровки» для проективной инвариантности, отбирающей только проективно неэквивалентные параметризации. Конечный результат дается фор-

92 Гл. 2. Струны Намбу - Гото

мулой

где мы явным образом устранили вклад от трех фиксированных точек

Здесь га Ь с-три точки, произвольным образом выбранные на вещественной оси. Отметим, что мы фиксировали значения трех переменных, так что мы интегрируем только по проективно неэквивалентным конфигурациям. (Если бы мы интегрировали по этим трем переменным, то получился бы повторный счет по области интегрирования. Мы интегрировали бы по бесконечному числу копий одного и того же объекта.)

Простейший выбор этих трех фиксированных точек таков:

При такой конфигурации наш окончательный результат для ЛГ-точечной амплитуды принимает вид [14-19]:

Это окончательный результат для ЛГ-точечной амплитуды, который мы получили, используя только функциональные методы.

Подытожим сделанное.

(1)Мы взяли длины струн равными нулю для внешних тахионов, так что мировая поверхность ЛГ-точечной амплитуды превратилась в горизонтальную полосу на комплексной плоскости; ширина этой полосы равна я. Импульсы, вносимые внешними тахионами, втекают

в эту полосу в заданных точках zt, расположенных на вещественной оси (см. рис. 2.6).

(2)Отобразив с помощью конформного преобразования эту полосу на верхнюю полуплоскость, мы в явном виде вычислили функцию Неймана, использовав известный в электростатике прием-метод изображений.

(3)Проектная инвариантность фиксирует интегральную меру равной числу 1. Мы упорядочили внешние точки условием zf ^ zl + 1 .

(4)Мы «фиксировали калибровку», ограничив степени свободы, оставшиеся в рамках проективных преобразований, т. е. фиксировали три из N точек подынтегрального выражения.

Последнее выражение для ЛГ-точечной амплитуды (2.5.19) охватывает только случай, в котором внешние тахионы входят в мировую поверхность в выбранных точках на границе. В принципе на границе могут находиться частицы с произвольным спином. Для высоких спинов мы получим тот же самый множитель elk х, представляющий часть преобразования Фурье, умноженный на тензор поляризации высших спинов. Поэтому вертексная функция для тахиона на самом деле-не eikx, которая универсальна для всех спинов, поскольку является частью преобразования Фурье. Подлинная вертексная функция для тахиона - это просто число один.

§ 2.6. ОТ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА К ОПЕРАТОРАМ

Мы использовали для вычисления ЛГ-точечной амплитуды функциональные методы. Единственной нетривиальной частью вычисления было интегрирование по конформно неэквивалентным двумерным комплексным поверхностям, которое определяет меру интегрирования амплитуды.

То же самое вычисление можно выполнить с помощью формализма гармонических осцилляторов, который, как мы подчеркивали, является лишь специфическим представлением континуального интеграла, для которого гамильтониан диагонален. Для деревьев и первой петли метод гармонических осцилляторов весьма прост, поскольку гамильтониан диагонален на фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Однако для высших петель это уже не так: метод гармонических осцилляторов становится все более трудоемким и непрактичным. Континуальный интеграл поэтому обеспечивает единственный систематический способ изучения амплитуд высших петель с относительной простотой. (Вычисление аномалий, однако, легче провести в формализме гармонических осцилляторов, где целочисленный индекс п служит параметром обрезания теории. В формализме континуального интеграла приходится использовать метод расщепления точки и другие способы регуляризации, как мы увидим в гл. 5.)

Мы знаем, что в функциональном формализме пропагатор для свободных струн дается формулой

Подобным образом нам известно, что в результате вставки в конти-

94 Гл. 2. Струны Намбу - Гото

нуальный интеграл полного набора промежуточных состояний вер. тексная функция /-го тахиона принимает вид

\X)$DX(X\ = \

мы можем исключить все континуальные интегралы из ЛГ-точечной функции и совершить переход от формализма континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. Для примера начнем с выражения для N-точечной тахионной амплитуды в формализме континуального интеграла и подставим в него соответствующие формулы в терминах гармонических осцилляторов:

=(0,k1\V(k2)DV(k3)...V(kN-1)\0, kN}.

Некоторые моменты в этом выводе требуют пояснения. Во-первых,

вформализме континуального интеграла мы обнаруживаем необходимость исключить вклад члена с / = j в подынтегральное выражение (2.5.10). Подобным образом нам также придется проделать обрезание

вформализме гармонических осцилляторов. Выражение для вертексной функции (2.6.2) формально становится бесконечным при переходе к гармоническим осцилляторам. Например, если мы бесхитростно возьмем вакуумное среднее от экспоненты, то мы получим расходящуюся сумму. Нормально упорядоченное выражение - вот то, что нам нужно; его матричные элементы конечны. Возьмем экспоненциальную функцию от (2.2.11):

(2.6.4)

(Нормальное упорядочение состоит в переносе всех операторов рождения (уничтожения) налево (направо), чтобы матричные элементы получившегося оператора были конечными.)

Во-вторых, при переходе от континуальных интегралов к операторам мы использовали тот факт, что гамильтониан является генератором

сдвигов по т. Выражение L0— 1 действует как эффективный гамильтониан для горизонтальных смещений в комплексной плоскости. Оказывается полезной следующая формула:

Мы использовали это выражение при переходе от континуальных интегралов к гармоническим осцилляторам, когда мы преобразовали вертексные функции в в вертексные функции в начале координат.

В-третьих, в приведенном выше выводе формализма гармонических осцилляторов мы ввели вакуумное состояние |0, к}. Заметим, что функциональный формализм начинался с представления мировой поверхности взаимодействующих струн в виде бесконечной полосы шириной я, горизонтально расположенной на комплексной плоскости. Внешние линии располагались вдоль вещественной оси. Поэтому результат воздействия струны, приходящей из отрицательной (положительной) бесконечности, соответствует функциональному интегралу по полубесконечной полосе. Так, вакуумное состояние |0> есть функциональный интеграл теории струн по полубесконечной полосе. Мы можем представить тахионный вакуум с импульсом к следующим образом:

Собирая все вместе, мы можем теперь преобразовать континуальный интеграл к виду, отвечающему формализму гармонических осцилляторов:

Важно понять, что выражение амплитуды через гармонические осцилляторы прямо следует из функционального формализма.

К счастью, эта амплитуда вычисляется несложно. В качестве упражнения сначала вычислим в явном виде четырехточечную функцию:

Л = <0; kx\V(k2)DV(k3)|0; к4}

= Yj па1ап • Итак, четырехточечная амплитуда рассеяния имеет изящный л= 1

вид; действительно, ее можно представить бета-функцией Эйлера. Данная функция обладает привлекательными физическими свойствами, впервые поразившими воображение специалистов по теоретическим проблемам высоких энергий в конце шестидесятых годов. Она была совершенно случайно обнаружена Венециано и Судзуки при поиске способа удовлетворить правилам конечности энергетических сумм для адронной S-матрицы. В то время теоретики стремились построить амплитуду рассеяния для адронов, отвечающую следующим критериям для S-матрицы, которые предложил Дж. Чу:

(1)Унитарность.

(2)Лоренц-инвариантность.

(3)СРТ-инвариантность.

(4)Аналитичность.

(5)Кроссинг-симметрия.

Кэтому списку некоторые теоретики добавляли следующие крите-

рии:

(6)Реджевское поведение, т.е.

Этот список «аксиом» для адронной S-матрицы оказался столь длинным, что физики не верили, что когда-либо удастся удовлетворить всем перечисленным выше критериям. Поэтому, когда бета-функция Эйлера была случайно обнаружена при перелистывании математического справочника, эти два молодых физика были удивлены тем, что эта аналити-

Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из N переменных. Наиболее удобная параметри- зация-взять первую переменную равной бесконечности, вторую-единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.

Последовательно используя эти тождества, находим

Итак, мы получили то же самое выражение для N-точечной функции (2.5.19), которое было выведено ранее функциональными методами:

Здесь у{ упорядочены вдоль вещественной оси так же, как ранее. Заметим, что мы уже зафиксировали значения трех точек вдоль вещественной оси равными 0, 1 и оо, как и ожидалось.

Используя формализм гармонических осцилляторов, можно показать циклическую симметрию N-точечной функции, которая не очевидна, когда амплитуда записана как последовательность VDVDVDVDV. Мы применим следующее тождество, описывающее, что произойдет, если два вертекса пронести друг над другом (поменять местами):

V(kl9 у,) V(k2, у2) = V(k2, у2) V(kl9 yl)expl2a'niki'kje(yl - у2\]. (2.6.22) Здесь г(;с) = 1, если л: > 0, и е(х) = — 1, если л: < 0.

Необходимо также переписать представление вакуума 10; kN ) в форме, в которой оно напоминает другие вертексы, чтобы можно было вычислить свойства амплитуды в отношении циклического переупорядочения вертексов. Мы получим следующие тождества:

При такой записи тахионные состояния в краиних левом и правом положениях больше не рассматриваются отличным от других способом. Крайний вертекс справа теперь определен в точке 0, крайний слева-на бесконечности, а все другие вертексы располагаются внутри этого интервала.

Итак, когда мы протолкнем вертекс N через все выражение для амплитуды, то получим

Заметим, что последний множитель в этой формуле обратится в нуль, если импульс сохраняется, т. е.

здесь мы использовали также условие массовой поверхности a'/cjv = 1. Мы видим, что лишь на массовой поверхности амплитуда действительно является циклически симметричной. (Исторически это послужило еще одной причиной, по которой физики считали, что построение полевой теории струн, скорее всего, невозможно. По определению полевая теория формулируется вне массовой поверхности, тогда как чудесные свойства модели Венециано проявляются только на массовой поверхности.)

§2.7. ПРОЕКТИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ТВИСТЫ

Вдополнение к циклической симметрии мы утверждаем, что подынтегральное выражение N-точечной функции является инвариантным относительно преобразований Мёбиуса, т.е. функция останется той же самой, если сделать следующую замену переменных:

Мы продемонстрировали эту инвариантность в функциональном формализме. Теперь непосредственно сделаем это преобразование Мёбиуса Для матричных элементов гармонических осцилляторов: