Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Как мы видели выше, этот множитель можно сделать равным единице изменением меры:

(2.7.4)

i

Оказывается, что можно действительно вычислить генератор таких инфинитезимальных преобразований вертексной функции. Нас не должно удивлять, что генератором этих преобразований Мёбиуса оказывается совокупность генераторов Вирасоро. Определим

Мы будем говорить, что конформный вес вертекса V равен a'kf. (Конформный вес будет играть важную роль в доказательстве того факта, что струнная модель свободна от духов. В гл. 4 мы объясним происхождение конформного веса, который помечает неприводимые представления конформной группы, порождаемой элементами Ln алгебры Вирасоро. Чтобы вертексная функция была правильно определена, она должна иметь вес 1 на массовой поверхности, что справедливо для тахиона.)

Ясно, что L„ порождают конформные преобразования, действуя на вертексные функции. В самом деле, можно показать, что конкретное представление алгебры Вирасоро на конформных полях дается выражением

L„= -2Г+%.

Это представление удовлетворяет определению конформной алгебры (2.2.27) (за вычетом центрального члена) и порождает конформные преобразования функций комплексной переменной z.

Нас интересует подгруппа конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, т. е. проективная подгруппа. Эта подгруппа порождается только тремя элементами L1? L _ b L0, которые образуют SL(2, R):

Легко вычислить преобразование вертексной функции, индуцированное этими генераторами:

Если U служит элементом группы SL(2, R), то мы также имеем

(На первый взгляд это может показаться удивительным, потому что нам известно, что реальные состояния уничтожаются элементом Ln при положительных, а не при отрицательных значениях п. Однако 10; 0) не является реальным состоянием. Оно уничтожается элементом L _ b потому что

вследствие равенства а010; 0). Итак, 10; 0) соответствует истинному вакууму группы SL(2, R), который не является реальным состоянием теории. Когда мы умножим 10; 0) на elkx, то оно станет реальным состоянием (поскольку л; подчиняется коммутационным соотношениям

са0) и будет уничтожаться элементом Ln для положительных п.) Собрав все вместе, получим

что воспроизводит (2.7.3).

Кроме калибровочной группы Вирасоро, есть еще одна особенность теории струн, полностью отсутствующая в случае точечных частиц. Эта особенность - оператор твиста. Вспомним, что струна заметает двумерную мировую поверхность, а не просто одну линию. Поэтому если бы нам нужно было «перекрутить» мировую поверхность, то струна стала бы заметать топологически неэквивалентную мировую поверхность. На однопетлевом уровне, например, это решающее топологическое отличие диска с дыркой от листа Мёбиуса.

Простое выражение для оператора твиста Q [20] можно вывести из следующего наблюдения: вертексная функция, расположенная на вещественной оси, должна превратиться в вертексную функцию, располо-

104 Гл. 2. Струны Намбу - Гото

встретиться в любой точке комплексной плоскости, а не только на вещественной оси.

Наша исходная точка при квантовании замкнутой струны-это выражения (2.2.21), дающие разложения струнной переменной и сопряженной ей переменной по нормальным модам. Канонические коммутационные соотношения остаются теми же, что в (2.2.7), что приводит к гамильтониану (2.2.22). Как и в случае открытой струны, мы можем разложить амплитуду на вертексы и пропагаторы в формализме гармонических осцилляторов, но появится несколько важных отличий.

(1)Теперь у нас будет два набора взаимно коммутирующих гармонических осцилляторов а„ и а„, по которым нужно вести суммирование, а не один набор, как в случае открытой струны.

(2)Условия Вирасоро теперь состоят из двух наборов конформных генераторов Ln и L„, действующих на физические состояния: L„|<p> = LJ<p> = 0,

(2.8.4)

( 1 0 - 1 ) | ф > = ( 1 0 - 1)|ф> = 0.

(3)Нам придется интегрировать по всем сдвигам переменной от, так как состояния замкнутой струны должны быть независимы от выбора точки отсчета переменной ст.

(4)Амплитуда не является просто последовательным произведением вертексов и пропагаторов. Поскольку внешние линии могут возникнуть повсюду в комплексной плоскости, необходимо суммировать по всем различным упорядочениям внешних линий.

(5)Фиксация веса вертексной функции равным 1 и применение сообра-

жений сокращения аномалий показывают, что интерсепт для замкнутой струны должен быть равен 2, а а'к2 = 2; это значит, что

теория с необходимостью содержит безмассовый гравитон. Фактически линеаризованная общековариантная калибровочная симметрия общей теории относительности возникает просто как низший порядок калибровочной симметрии Вирасоро (подробнее об этом будет говориться в гл. 7).

Начнем с обсуждения пропагатора:

На самом деле это выражение имеет простую физическую интерпретацию. Заметим, что множитель, содержащий разные L в знаменателе, есть просто обычный пропагатор замкнутой струны. Однако функция, содержащая синусы, равна нулю, кроме случая

(2.8.6)

Рис. 2.9. Конформные поверхности для распространения замкнутых струн.

В плоскости р струна распространяется по горизонтальной полосе шириной 2я

сотождествленными верхней и нижней границами, что топологически эквивалентно трубке. В отличие от случая открытой струны, внешние линии прикрепляются не на границе, а во внутренних точках поверхности. В плоскости z эта поверхность

переводится экспоненциальным отображением на всю комплексную плоскость.

Это можно представить в виде

Оператор (2.8.7) можно интерпретировать двояко. Если явнымобразом выполнить интегрирование, мы получим оператор 5 (L0 — L0). Это оператор проектирования, действующий на полное гильбертово пространство и уничтожающий состояния | ф>, не удовлетворяющие условию (L0 — 10 )|ф> = 0. С другой стороны, заметим, что этот оператор порождает сдвиг переменной от на один полный цикл, так что такой пропагатор просто выражает тот факт, что при движении замкнутой струны нужно интегрировать по одному полному циклу. Амплитуда замкнутой струны поэтому не зависит от выбора начала отсчета параМетра ст. (Это ограничение будет иметь важные последствия при обсуждении компактификации замкнутой и гетеротической струн в последующих главах.)

На рис. 2.9 мы видим, что мировая поверхность первоначально представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости шириной 2к, у которой верхняя и нижняя горизонтальные границы отождествлены (она образует длинную горизонтальную трубку). Внешние тахионные линии могут входить в эту трубку изнутри. Мы видим также, что экспоненциальным преобразованием этих координат можно отобразить такую горизонтальную трубку на всю комплексную плоскость.

Как и прежде, вертексная функция снова дается выражением : elkX:, где струна X определена в той точке комплексной плоскости, в которой входит внешний импульс. Поскольку два набора гармонических осцилляторов коммутируют, то вертексная функция превращается в произведение двух вертексных функций открытой струны. Окончательное выражение для ЛГ-точечной амплитуды рассеяния тахионов дается формулой [22, 23]

Суммирование по всем возможным перестановкам порядка внешних линий гарантирует, что переменные z, могут свободно блуждать по комплексной плоскости.

§ 2.9. УНИЧТОЖЕНИЕ ДУХОВ

Мы разработали формализм гармонических осцилляторов посредством формализма Гупты-Блейлера. В конформной калибровке теория сохраняет явную лоренц-инвариантность и фактически становится теорией, построенной на свободных полях. Это объясняет тот факт, что теория на древесном уровне записывается весьма просто.

Цена, которую приходиться платить за эту простоту, состоит, однако, в том, что связи Вирасоро должны быть наложены непосредственно на гильбертово пространство, чтобы уничтожить духи.

В общем случае доказательство того, что духовые состояния не взаимодействуют с древесными диаграммами, весьма просто. (Это доказательство неприменимо к петлевым диаграммам, для которых необходимо проявить предельную осторожность, чтобы духовые состояния были уничтожены надлежащим образом.) Определим реальное физическое состояние как такое, которое удовлетворяет связям ГуптыБлейлера:

Шпурионное состояние определим как невзаимодействующее с физическими:

для некоторого состояния %. Теперь мы хотим показать, что эти щпурионные состояния не взаимодействуют с деревьями, т. е.

Для этого нам потребуются еще два тождества:

lLn — L0 — п + 1] К0 = К0 [Ln - L0 + 1] ,

(2.9.5)

Рто легко показать на основании равенств (2.7.6), которые в свою очередь решающим образом зависят от того, что вертексная функция имеет конформный вес 1, если внешние тахионы удовлетворяют условию а 'к2 = 1. Тем самым ограничение на конформный вес вертексной функции играет центральную роль в уничтожении всех духовых состояний теории.)

Из этих двух тождеств легко выводится

L можно проталкивать вправо до тех пор, пока они не будут аннигилированы вакуумом.

В итоге мы показали, что шпурионные состояния не взаимодей-

Это значит, что нам не нужно делать какие-либо специальные изменения в функционале для древесных амплитуд с целью учесть присутствие Духов. Духовые состояния, распространяющиеся внутри древесной амплитуды, автоматически взаимно уничтожаются. Однако мы обнаруживаем, что петлевые функции действительно наталкиваются на трудности, вызванные внутренним распространением духов. Причина в том, что

Если бесхитростно пройти по деревьям, чтобы получить петли, мы неизбежно включим присутствие духов, которое может быть выделено в явном виде:

Сумма по | п) явным образом содержит духовые состояния.

То, что духи не взаимодействуют с деревьями и вносят вклад лишь

впетлевые диаграммы, в точности эквивалентно тому, что наблюдается

вслучае теории Янга-Миллса. Вклад духов Фаддеева-Попова в теорию Янга-Миллса вносится не в деревья, а в петли. Этот вклад (см. (1.9.30)) таков:

Заметим, что это дает следующее взаимодействие калибровочного поля А с духовым полем с:

Такое взаимодействие означает, что одиночный дух не может взаимодействовать с древесной диаграммой, состоящей из калибровочных полей. Он может вносить вклад только в петли, где поля могут циркулировать по диаграмме. Поэтому особое внимание требуется для того, чтобы гарантировать взаимное погашение духов Фаддеева-Попова и состояний с отрицательной метрикой.

Доказать, что условия Вирасоро полностью уничтожают все возможные духовые состояния,-это, однако, предельно сложная задача. В принципе, способность перейти к калибровке светового конуса обычно достаточна для доказательства того, что теория свободна от духов. Но никогда нельзя быть уверенным, что квантование не внесет аномалий, разрушающих это положение. Поэтому становится важной непосредственная проверка отсутствия духов в фоковском пространстве для формализма Гупты-Блейлера. Существуют два независимых доказательства этой теоремы [24, 25], и оба не слишком просты. Следующее ниже обсуждение читатель может пропустить.

Чтобы не затемнять смысла многочисленными подробностями, сначала вкратце опишем стратегию уничтожения духов. Построим набор

(2) Vn и V~ порождают физическое гильбертово пространство:

состояния этого пространства имеют или положительную, или нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы.

Исходное фоковское пространство D-мерных гармонических осцилляторов должно быть эквивалентно множеству состояний, порождаемому этими (D — 2)-мерными поперечными операторами, отрицательными составляющими этих осцилляторов и исходными операторами Вирасоро: