Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Ш hi s. Мтттлмыё штитёи а нтщтжв Ттжлле$ы_

Ш

*= - об

- ifUftqMm м А <1 - i ^ m i m *

а функция 0 здесь просто упорядочивает различные факторы v{ вдоль

^ественной оси.

Это есть окончательный результат для плоской однопетлевой зщплитуды. Обратите внимание на некоторые свойства, которыми он обладает. Перечислим их.

(1)Как и предсказывалось методом континуального интеграла, подынтегральное выражение является автоморфной функцией.

(2)Мера интегрирования легко вычисляется в подходе гармонических осцилляторов. (Ее вычисление несколько сложнее в подходе континуального интеграла.)

(3)Интеграл расходится при q = О, что соответствует стягиванию внутреннего отверстия к нулевому радиусу. Расходимость мягкая и может быть устранена добавлением к струнам их суперсимметричных партнеров.

Для ссылок в дальнейшем определим одновременно плоские (Р), неплоские (NP) и неориентируемые (NO) подынтегральные выражения:

Эти функции в свою очередь можно выразить в таком виде, что их связь с тэта-функциями Якоби станет более очевидной:

Явны** образом выразив их через тэта-функции, получим

Ч>Р(х, w) = —2 я/exp 1п2х

21n w

яе открытых струн требует существования замкнутых струн ^честве промежуточных состояний; в противном случае теория не будет унитарной. В самом деле, как заметил Лавлейс [17], эта йе*елательная расходимость в комплексной плоскости для неплоской диаграммы фактически является разрезом (что было бы ужасно), но именно в 26-мерии она превращается в полюс. Действительно, это было первым указанием на то, что струнная модель непротиворечива лишь

в 26-мерном пространстве.

(2) Перенормировка угла наклона

Заметим, что расходимость плоской диаграммы возникает из интегралов вида

стягивающемуся к нулю. Она возникает из-за того, что мы суммируем по бесконечному числу промежуточных состояний, распространяющихся во внутренности петли.

Но это не ультрафиолетовая расходимость, которую мы обычно связываем с фейнмановскими диаграммами. Для точечных частиц расходимости различных амплитуд возникают, когда мы деформируем локальную топологию конкретной диаграммы таким образом, что пропагатор стягивается в точку. Итак, расходимости фейнмановских диаграмм связаны с деформациями локальной топологии этих диаграмм.

В теории струн, однако, в силу конформной инвариантности мы не можем стянуть пропагатор в точку. Поэтому конформная инвариантность на мировой поверхности исключает ультрафиолетовые расходимости. Однако у нас по-прежнему остаются инфракрасные расходимости внутренних точек, стягивающихся к нулю.

Снова из конформной инвариантности следует, что мы всегда можем отобразить стягивающееся отверстие в дилатон или тахион, исчезающий

ввакуум. Мы всегда можем «отщипнуть» это стягивающееся отверстие

иизвлечь резонанс замкнутой струны с вакуумными квантовыми чисисчезающий в вакуум. Тем самым конформная инвариантность

Д&ет совершенно новую интерпретацию расходимостей струнной теории, ^а новая интерпретация связывает с каждой расходимостью состояние за*4кнутой струны, «отщипнутой» от этого отверстия. Указанное состояимеет нулевой импульс и соответствует тахионам для расходи- °стей порядка q~3 или дилатонам для расходимостей порядка q~l,

^езающим в вакуум (см. рис. 5.7).

После отщипывания стягивающегося отверстия и извлечения состоя- 3аМкнутой струны с обращающимся в нуль импульсом мы видим, j» оставшаяся диаграмма выглядит совсем как дерево без отверстия.

Ко»*' П о с л е извлечения вклада расходящегося полюса у нас останется е ч н о е Дерево. Это в свою очередь позволяет рассматривать расхо-

§4. Одтшптш аттпуШ ете^щт

%^днттшвш АШМИГУШ cmfpeftwtt

ф&ттш ®тттжим тигрят* тя тщттж еушретруя шш-- ф®ртж,?№ тм и # фбфшлтт

I штш^ш Ш Щ№№ЩТ№