Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

где вакуум-это NS-вакуум. В пределе zt -> оо и z3 0 спиновое поле

заменяет NS-вакуум на вакуум со спинорными квантовыми числами, т. е. на вакуум Рамона |0>:

Но только нулевые моды поля ц/ сохранятся в этом вакуумном среднем, так что у нас останется матричный элемент матрицы Дирака:

Наконец, нам нужно знать поведение на коротких расстояниях результата взаимодействия двух спиновых полей. Мы видели, что конформный вес спинового поля равен 5/8. Поэтому

Sa(z)S*(w) ~ -5l(z - + ... , (4.3.16)

где 5/4 есть удвоенная размерность спинового поля.

Окончательно мы можем свести воедино (4.3.10), (4.3.14) и (4.3.16) и получить поведение на коротких расстояниях двух спиновых полей. Итак, соображения симметрии задали поведение спинового поля на

182 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

где (Ь, с) суть духовые поля, порождаемые фиксацией метрики Ка либровкой, а (3, у - духи, порождаемые фиксацией поля %а (в секторе hjj

или в секторе R). Суперконформные духи (связанные друг с другое коммутационными соотношениями) впервые появились в формул (3.5.14) при квантовании (Ы8-К)-модели. Различие состоит в том, чТо теперь мы хотим подчеркнуть конформные свойства этих полей, т. е. их веса. Приведем сводку соответствующих весов:

Располагая действием (4.4.5), можно найти тензор энергии-импульса, который является суммой двух слагаемых:

Выписав в явном виде последнее выражение для духового слагаемого, имеем

7Jh(z)= -сдр-?дф + !-уЬ,

(4.4.9)

nh(z) = сдЬ + 2deb - \уд$ - |5ур.

Неудобно всякий раз выписывать поля Ъ и с, Р и у, особенно когда выражения для бозонных и фермионных полей очень похожи. Поэтому мы примем систему обозначений, в которой можно описать все духовые поля сразу, присвоив им произвольный вес. Выпишем обобщенное духовое действие, в котором поля, обозначенные жирным шрифтом, будут представлять коммутирующие или антикоммутирующие духи:

дЪ = дс = 0.

Здесь по определению поле b имеет произвольный вес X, а поле с име^ вес 1 — X. Напомним, что система антикоммутирующих духов Ь, имела вес X = 2, а система коммутирующих духов имела вес X = 3 / ' Такое действие служит компактной формой записи выражения (4.4.5),й

184 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца-Муди

Тщательно проанализировав каждое слагаемое, можно показать, что их сумма нильпотентна:

В дополнение к BRST-току есть также U( 1)-ток, называемый током духового числа. На первый взгляд можно ожидать, что поскольку духи появляются парами, то они должны сохранять некоторое квантовое число, подобно сохранению барионного числа. Однако, как ни удивительно, у духового тока есть поправочный член. Выпишем ток духового числа, который просто-напросто билинеен по духовым полям:

s = 1 (для фермионов) или 8 = — 1 (для бозонов). Теперь у нас имеются все тождества, необходимые для вычисления взаимодействия (на коротких расстояниях) между духовым током и тензором энер- гии-импульса:

где g = e(l — 2Х). (Отметим, что присутствие этого фактора является аномалией.) Отсюда следует

Этот ток духового числа приписывает духовое число каждому из

(Если бы в (4.4.24) отсутствовал член, содержащий Q, то этот ток

х01ЛПлексного сопряжения.) Квантовые числа духовых полей следующие:

Вклад духов в аномалию равен с = — 2е(6ЦА, — 1) + 1). Одно из необычдух свойств этой структуры духов-существование бесконечного количества вакуумов, возникающих вследствие (4.4.23) и (4.4.24). Определим вакуумные состояния формулами

Нулевая компонента тока духового числа и L0 действуют на эти состояния следующим образом:

Lboc\q} = {eq(Q + q)\q)-

В частности, последние тождества показывают, что ненулевыми являются лишь следующие матричные элементы:

Простейший способ продемонстрировать это-взять матричные элементы токов между разными вакуумными состояниями, причем каждый вакуум нумеруется числом q:

Все матричные элементы нулевые, кроме отвечающих условию q' =

Все это очень странно. В обычной модели Венециано был только £ДИН-единственньш вакуум. Теперь же в духовом секторе моделей Неве-Шварца и Рамона, по-видимому, имеется бесконечное число вакуумных состояний, нумеруемых числом q\ Существование бесконечного количества фермионных и бозонных вакуумных состояний Шляется одной из необычных черт конформной теории поля.

Это означает наличие аномалии духового числа. Проблема связана 0 Формулами (4.4.22) и (4.4.23), т. е. с тем фактом, что коммутационные Отношения тока духового числа U( 1) с тензором энергии-импульса ^Держат аномалию. Аномальный член соответствует нарушению ^*она сохранения духового числа. Действительно, расходимость тока ^тся формулой dzjz = l-Q>/gR{2), т.е. двумерной плотностью кривиз-

/^j На самом деле первоисточник всех этих трудностей-формула

• -Щ> полученная при вычислении детерминанта Фаддеева-Попова

186 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца-Муди

относительно V2 и VF. Тщательный анализ собственных значений этих операторов показывает необходимость устранения нулевых мод, в про. тивном случае эти детерминанты становятся бессмысленными. При внесении этих детерминантов в действие посредством выражения ах через духи Фаддеева-Попова указанные нулевые моды соответствую^ нетривиальным решениям уравнений д^с2 = djbzz = 0. К сожалению, мЬ1 не можем подробно рассмотреть здесь эти нулевые моды, потому чТо для этого необходимы сведения, которые не будут обсуждаться ранее гл 9, где аномалии рассматриваются более детально. (Вкратце, эта аномалия связана с топологией римановой поверхности, заметаемой струной. Интегрируя уравнение неразрывности для тока духового числа

римановой поверхности. Затем применяется теорема Римана-Роха, утверждающая, что число нулевых мод духового поля с минус число

нулевых мод поля Ь равно (1 — 2Х) (1 — g). Нулевые моды поля с соответствуют конформным векторам Киллинга, а нулевые моды поля Ъ соответствуют модулям. Этот результат полезен, поскольку из него получается, что число комплексных модулей для сферы с g ручками равно Ъд — 3, что будет широко применяться в гл. 5. Из него также следует, что число супермодулей равно 4(д — 1), что трудно доказать другими способами.) Можно показать, что фермионные вакуумные состояния (для духов обычной бозонной струны НамбуГото) на самом деле являются эквивалентными, т.е., умножая фермионные вакуумные состояния на разные степени полей Ь и с, можно получить другие вакуумные состояния. Поэтому разные вакуумы дают эквивалентные представления. Однако для бозонных вакуумных состояний (для духов (NS-К)-модели) дело обстоит иначе. Оказывается, что разные вакуумные состояния в этом случае неэквивалентны. Никакая комбинация степеней полей Р и у не может перевести один вакуум в другой.

В NS-секторе бозонные вакуумные состояния нумеруются целыми числами, тогда как в R-секторе они нумеруются полуцелыми числами. Вакуумные состояния, наиболее близкие к обычному определению вакуума (т.е. они аннигилируются всеми частями осцилляторов, отвечающим положительным частотам), суть

(4.4.31)

NS: { | - 1 > .

Они нормируются следующим образом:

(4.4.32)

< - 1 | - 1 > = 1 .

Хотя появление бесконечного числа неэквивалентных вакуумных с0 '

стояний на первый взгляд кажется крахом теории, мы покажем ниже, что эхо дает вполне приемлемые результаты. В частности, мы покажем, что 0 массовой поверхности на самом деле безразлично, какой из различных вакуумов мы выберем. Для одного и того же физического процесса ^ матричные элементы на массовой поверхности дадут одни и те же числа при любом выборе вакуума. Фактически мы сможем построить операторы «смены картины», которые позволят перейти от одного вакуума к другому. Ситуация в точности аналогична исследованной ранее для случая картин Fx и F2 (см. (3.3.18) и (3.3.19)).

Исследовав структуру духового сектора (NS-К)-модели, мы должны сделать следующий шаг-найти поле, дающее конформный вес 3/8, т.е. недостающий фрагмент фермионной вершинной функции.

Бозонизируем теперь ток духового числа, введя в теорию новую функцию ср:

Тем самым показано, что умножение на бозонизированное поле eq{? Позволяет нам перейти от одного духового вакуума к другому. Заметим, что духовые вакуумы NS-сектора целые, а духовые вакуумы R-сектора Дробные. ПосксяТЪку q может быть дробным, это позволяет переходить одних NS- и /?-вакуумов к другим в любом направлении, умножая на

Применим теперь этот метод бозонизации для записи антикоммутчрующих полей Ь и с через новое скалярное бозонное поле сг:

b(z) =e-°<*>

Можем проверить, что эти поля обладают правильными кон- ^°РМными весами. Согласно (4.4.38), поле eqa имеет конформный вес

2 3 ) . Тогда при q = — 1 поле е~° имеет вес 2, тогда как при q = 1

188 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

поле еа имеет вес —1. Поэтому они имеют правильные веса.) Заметим что и левые, и правые части выражений (4.4.39) являются антиком' мутирующими полями несмотря на то, что от само по себе~к01^ мутирующее поле. Теперь легко показать, что

Для духового сектора (NS- К)-модели, однако, ситуация сложнее. Здесь духовые поля уже коммутируют, так что бозонизация не представляется возможной. Мы можем, однако, воспользоваться следующим трюком:

Здесь левые части суть коммутирующие поля, а правые-произведения двух антикоммутирующих полей, т. е. £ и г| также являются антикоммутирующими полями (которые в свою очередь могут быть бозонизированы). Итак, мы выразили коммутирующие поля через антикоммутирующие. Мы можем также обратить эту процедуру:

rj = дуе~ф,

(4.4.41)

Заметим, что поля £ и г| сами по себе антикоммутирующие, так что их можно бозонизировать. Выразим эти два антикоммутирующие поля через бозонное поле %:

(4.4.42)

Хотя конформная теория поля обладает тем огромным преимуществом, что в ней все поля свободные, за это приходится заплатить некоторую небольшую цену: необходимо следить за всеми этими разными свободными полями. Поскольку критически важно, чтобы все указанные бозонные поля были четко определены, составим таблицу их квантовых чисел:

Определение бозонных (NS-R)^yxoB содержит важную тонкость, о^етим, что р определяется через производную от так что это поле

^возможных фоковских пространства. «Малое» фоковское простран-

хо это значит, что вакуум системы г|, % вырожденный.

Смысл этого построения в том, что теперь мы можем выписать недостающую часть фермионного вершинного оператора.

§ 4.5. ФЕРМИОННЫЙ ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР

Вычислим конформные веса бозонизированных полей:

wt(e-( 1 / 2 , ') = W9 + G) = |,

(4.5.1)

Теперь недостающая часть найдена. Поскольку бозонизированное поле

е-(1/2)ч> Р1меет вес з/§_ мы Можем построить настоящую фермионную вершинную функцию нашей теории:

Если поместить внешнюю фермионную линию на массовой поверхносположив

к2 = 0,

У нас получится вершинная функция с конформным весом 1. Она Задает требуемыми свойствами взаимодействия с BRST-зарядом: с точностью до членов, обращающихся в нуль на массовой поверхности,

0 одно из крупных достижений конформной теории поля: построение ^Тоящей фермионной вершинной функции с конформным весом 1, йсп °М о с н о в а н н ° й на свободных полях. Ключевым моментом было , °Льзование духового сектора для обеспечения недостающего кон- ^РМного веса 3/8.