Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf110 |
Гл. |
2. |
Струны |
Намбу - Гото |
сти. Вследствие этого мы требуем |
|
|||
а'М2 = |
+ пк0)2 |
= |
- 1 - п. |
(2.9.21) |
Итак, мы требуем, чтобы вектор импульса к0 был нулевым состоянием, чтобы вертексный оператор коммутировал с генераторами алгебры Вирасоро и чтобы к0-р0 = 1 (с целью породить дополнительные поперечные состояния на массовой поверхности при действии на основное состояние).
Теперь мы должны полностью реализовать последнее условие, а именно, что эти операторы действительно образуют целое физическое пространство состояний. Здесь имеются некоторые трудности. На первый взгляд можно ожидать, что отрицательные моды могут быть порождены взятием ковариантного аналога значения /с0. Поскольку конформный спин произведения операторов обычно является просто их суммой, то можно ожидать, что так оно и есть. Но на самом деле мы обнаруживаем, что нормальное упорядочение разрушает эту ситуацию и отрицательные составляющие не коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро:
[L„,: X ~einX + : ] = eimx \-i^- + m):X ~einX + |
: |
+ \nm2eimx +inX* . |
(2.9.22) |
||
\ |
ax |
J |
|
2 |
|
Чтобы преодолеть эту трудность, в определение вертексной функции нужно добавить дополнительное слагаемое. Полное определение теперь имеет вид
УЦк, т) = :X»:eik х + -ik»4-(\ogk • X)eik'х . |
(2.9.23) |
2 ат |
|
Можно показать, что такая комбинация имеет конформный спин единица и сводится, если взять поперечные составляющие, к предыдущему выражению после его интегрирования.
Теперь найдем коммутатор этих полей:
где |
= nk§Vm + n ~ |
Vm + n + СЦ^т.-п? |
(2.9.24) |
||
|
|
|
|
|
|
СГ = 2 т 3 а д + |
|
|
|
(2.9.25) |
|
ЭТО позволяет записать |
|
|
|
||
|
Ут — |
? |
|
|
|
К , |
V{] =m5ij5m,_n( |
|
|
(2.9.26) |
|
[F", |
П ] = |
-пГт+п, |
|
|
|
|
|
|
|||
LV-, |
vn ={т-п) V~+n + |
2тЧт, |
. |
|
|
Заметим, что составляющие с индексом «плюс» исследуются тривиально
§ 2.10. Резюме |
111 |
И что коммутационные соотношения поперечных операторов в точности те же, что у обычных гармонических осцилляторов. Теперь снова переопределим моды с индексом «минус»:
К = Vn - \t Ъ ' Г |
т У п - т ' . . |
(2.9.27) |
т = 1 i=l |
|
|
Собирая все вместе, получаем окончательные коммутационные соотношения:
[K,VJn] = |
m |
|
|
[ к - , г „ ] = о, |
^ |
( 2 9 2 8 ) |
|
[К", У'-] |
= |
(т-п) У~+„ |
+ —^—м3^,-п, |
[Ln,y~]=[Ln, К]=0.
Это окончательный набор коммутационных соотношений. Заметим, что новые операторы У~ коммутируют с исходными операторами Vm и оба этих набора коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Таким образом, мы теперь построили новое гильбертово пространство линейно независимых операторов, которое можно использовать для замены исходного фоковского пространства:
{ < £ _ , } У 1 „ , L-„j. |
(2.9.29) |
Физическое гильбертово пространство, таким образом, порождается операторами {У1~п, К1„}, которые эквивалентны операторам [26], которые порождают физическое пространство в калибровке светового конуса. Далее, мы знаем, что следующее состояние имеет нулевую норму:
VZniVZn2...VZ„N\0). |
(2.9.30) |
Это можно проверить, взяв норму этого состояния и используя коммутационные соотношения операторов У~. Тем самым мы получаем окончательное утверждение: множество состояний, порождаемое набором
{*"-«, У-п}, |
(2.9.31) |
характеризуется тем, что эти состояния имеют либо положительную, либо нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы. Этим завершается доказательство того, что условия Вирасоро полностью Устраняют духи из гильбертова пространства.
§ 2.10. РЕЗЮМЕ
Первично квантованная теория струн обладает замечательным сходством с теорией точечных частиц, отличаясь от нее главным образом нетривиальным добавлением калибровочных симметрий, представляю-
112 |
Гл. 2. Струны Намбу - Гото |
щих репараметризационную инвариантность мировой поверхности. Как и в теории точечных частиц (см. (1.4.16)), у нас имеется три эквивалентные формы действия для струны:
Форма 1-го порядка (гамильтонова):
L= Р»Х» + |
+ |
+ |
рР^Х* |
|
~ sfg PlQabP* + |
|
Jg/кa'. |
(2.10.1) |
|
Форма 2-го порядка: L= — \yfgg a b d a XJd b Xv . |
||||
|
4na |
|
|
|
Нелинейная форма: |
L= |
^(^AT'J |
_ |
(х^х'»)2)1/2. |
Вкратце перечислим черты сходства случая точечных частиц и теории струн, выраженные на языке континуального интеграла:
Хц(т)-> X^(g, т), Длина -> Площадь,
Dx = П dx^x) -> DX = ]~[ dX^G, т),
Xj ^ |
Xj |
J DxetlW*^ f DXe№Vd°d\ |
|
x i |
X( |
i = 1 |
i = 1 |
|
Граф -> Многообразие, |
Наша стратегия квантования действия струны такова: выписать симметрии теории, извлечь из них токи, вычислить алгебру, которой эти токи подчиняются, а затем применить их к гильбертову пространству, чтобы уничтожить духи. Стратегия, которой мы следуем всюду в этой книге, это
Действие -> Симметрия -> Токи -> Алгебра -> Связи -> Унитарность.
Все три формы действия обладают репараметризационной симметрией, которая порождает алгебру Вирасоро:
< 2 л о 2 )
Алгебра, порождаемая этими операторами, есть
[L„,LJ = («-rn)L„+m + -^(«3 -n)5„,_m . |
* |
(2.10.3) |
§ 2.10. Резюме |
113 |
Как и в случае точечной частицы, существует три способа квантования теории.
Квантование |
ГуптыБлейлера |
В формализме Гупты-Блейлера мы фиксируем калибровку |
|
даь = ЪаЬ |
(2.10.4) |
и полученное действие нарушает репараметризационную инвариантность, но сохраняет инвариантность относительно подгруппы конформных преобразований:
L = ± ( X l - X f ) . |
(2.10.5) |
Этот лагранжиан, конечно, допускает распространение духовых состояний с отрицательной метрикой, связанных с времениподобной модой переменной X. Чтобы их уничтожить, в методе квантования ГуптыБлейлера постулируется, что векторы состояний должны удовлетворять условиям
L„|<p> = 0; |
и > 0, |
(L0 — 1)| <р> = 0. |
( 2 Л 0 ' 6 ) |
Это значит, что ограничения строятся таким образом, чтобы они обращались в нуль на гильбертовом пространстве.
Хотя действие в этом формализме выглядит весьма изящно, но за это приходиться расплачиваться: уничтожение духов на векторах состояния довольно затруднительно, особенно для петлевых диаграмм. Фактически необходим обширный математический аппарат, чтобы доказать возможность полного уничтожения духов в этой калибровке.
Квантование в переменных светового конуса |
|
В рамках этого формализма положим |
|
Х+ = 2 а > + т . |
(2.10.7) |
Преимущество этого подхода-возможность устранить все избыточные Духовые моды с самого начала, рассматривая только поперечные составляющие. Недостаток его в том, что формализм неуклюж и мы Должны на каждом шаге заново устанавливать лоренц-инвариантность. Удивительная особенность-то, что лоренцевы генераторы теории с нарушенной симметрией образуют замкнутую систему только в 26 измерениях. Конкретнее, трудность представляет коммутатор
— 100 |
(2.10.8) |
[М-', М - q = — X [a f - X - aJ LX] А., |
Рп=1
8-787
114 Гл. 2. Струны Намбу - Гото
где
Д„ = ^(26 - D) + - |
D - 26 |
2а |
(2.10.9) |
||
12 |
• + 2 - |
||||
12 |
п |
|
|
|
|
Чтобы этот коммутатор обратился в нуль, должно выполняться |
|||||
0 = 26; |
д = 1 . |
|
|
|
(2.10.10) |
Квантование BRST
Метод BRST сочетает лучшие черты обоих предыдущих. Лоренц-ко- вариантность действия сохраняется, но состояния с отрицательной метрикой нас больше не беспокоят, так как они взаимно уничтожаются духами, циркулирующими в теории из-за детерминанта Фаддеева-Попо- ва. Беря экспоненту от этого определителя, мы должны ввести два антикоммутирующих духовых поля Ъ и с. Полученное в результате действие с фиксированной калибровкой все еще обладает остаточной симметрией, порождаемой BRST-зарядом
|
ОО |
00 |
|
Q = |
C0(L0-a)+ £ tc-*Ln + L-nCj - |
X |
:c-mc-nbn + m:(rn- n). |
|
n = 1 |
n,m = — oo |
(2.10.11) |
|
|
|
|
Фиксация |
|
|
|
Q2 |
= 0 |
|
(2.10.12) |
задает значение интерсепта, равное единице, и размерность простран- ства-времени, равную 26. Физические состояния теории определяются условием
Q | физ) = 0. |
(2.10.13) |
Как и в теории точечных частиц, взаимодействия вводятся суммированием по всем топологически различным конфигурациям в континуальном интеграле. Основополагающее функциональное уравнение для теории со взаимодействиями, из которого выводятся все результаты этой главы, дается формулой
ab f DX
ТОПОЛОГИЯ
x AFPexp/jLdcrdT j Д л/дехр
= |
I |
y/gexp ikipX^y. |
(2.10.14) |
|
топология |
i = 1 |
|
Эту амплитуду можно вычислить в явном виде в конформной ка-
§ 2.10. Резюме |
115 |
дйбровке, используя тождество
\DXexp j- ~^\d2XvjdTX41z + iSJ»X»d2z
= expJ»(z)G(z,z')JHz')dzdz'} = Д\zt - Zj\2«'k> |
(2.10.15) |
В конформной калибровке сумма по топологиям дается суммой по всем конформно неэквивалентным конфигурациям. Если мы рассмотрим конформные преобразования, отображающие верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, то точки вещественной оси отображаются согласно проективной группе преобразований SL(2, К):
/ = су + d |
(2Л0.16) |
где коэффициенты вещественны и удовлетворяют условию ad — be = 1. Это фиксирует меру ф, так что формула для N-точечной функции принимает вид
As = i Y [ d z t |
П |
(zt-ZjY*'k>k>, |
(2.10.17) |
i = 3 |
2 ^ / < / ^ N |
|
|
где z упорядочены вдоль вещественной оси.
Переход к формализму гармонических осцилляторов нетруден, так как в конформной калибровке гамильтониан диагонален на фоковском пространстве осцилляторных мод. Пропагатор перехода от конфигура-
ции Ха к Хъ есть |
|
<XJ \e-^dx\Xb) = {Xa |
1 |
(2.10.18) |
|
О |
|
Вертекс равен |
|
(Xc\eik-x*i0^\Xd). |
(2.10.19) |
Мы можем устранить все собственные состояния £труны, потому что
\X)$DX(X\=\. |
(2.10.20) |
Итак, N-точечная функция равна |
|
AN = (0:kl\Vo(k2)DVo(k3)...Vo(kN-l)\0; kN). |
(2.10.21) |
В операторном формализме проективная инвариантность может быть установлена с помощью того факта, что операторы L±\ и L0 порождают проективную группу SL(2, R). Действительно, при любом конформном преобразовании вертексы преобразуются как
TV(kh zi)T~i=(\ — za'k2 |
£ nanzh) K(M) |
(2.10.22) |
\ |
n= 1 / |
|
116 |
Гл. |
2. Струны |
Намбу - Гото |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
[L„, V(kh z,)] = |
+ na'kfj V(ki9 zt). |
(2.10.23) |
||
Мы будем говорить, |
что |
вертекс |
V имеет конформный |
вес, равный |
а 'к? = 1. |
|
|
|
|
Наконец, мы можем явным образом построить операторы, порождающие только физические состояния с нулевой или положительной нормой. Предыдущее тождество показывает, что операторы с конформным спином, равным 1, автоматически коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Это позволяет нам построить операторы, основанные на вертексе безмассовой частицы со спином единица, которые породят физическое пространство. Можно построить три набора взаимно коммутирующих операторов, которые в совокупности порождают
все фоковское пространство гармонических осцилляторов: |
|
{F'_n, р:„, L_„} |0> . |
(2.10.24) |
Беря только состояния, построенные из Vх_„ и VZ„, и опуская L_„, мы получим новое фоковское пространство, все состояния которого имеют положительные или нулевые нормы. Итак, множество состояний, удовлетворяющих условиям
( L 0 - 1)1 ф> = о,
не содержит состояний с отрицательной нормой в 26 измерениях.
ЛИТЕРАТУРА
[1]Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Summer Symposium (1970).
[2]Goto T. Prog. Theor. Phys. 46, 1560 (1971).
[3]Более ранние формулировки см. в: Nielsen Н. В. 15th International Conference on High Energy Physics (Kiev), 1970.
[4]Susskind L. Nuovo Cim. 69A, 457 (1970).
[5]CM. Thorn С. B. in Unified String Theory (edited by M. B. Green and D. Gross), World Scientific, Singapore, 1985.
[6]Virasoro M. A. Phys. Rev. Dl, 2933 (1970).
[7]Polyakov A.M. Phys. Lett. 103B, 207, 211 (1981).
[8]Fubini S., Gordon D., Veneziano G. Phys. Lett. 29B, 679 (1969).
[9]Goddard P., Goldstone J., Rebbi C., Thorn C.B. Nucl. Phys. B56, 109 (1973).
[10]Kato M., Ogawa K. Nucl. Phys. B212, 443 (1983).
[11]Hsue C.S., Sakita В., Virasori M. A. Phys. Rev D2, 2857 (1970).
[12]Gervais J.L., Sakita B. Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev. D4, 2291 (1971); Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).
[13]Fairlie D. В., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B20, 637 (1970).
[14]Bardakci K., Ruegg H. Phys. Rev. 181, 1884 (1969).
§ 2.10. Резюме |
117 |
rj5] Virasoro M. A. Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).
[16] Goebel C.J., Sakita B. Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969). П7] Chan H.M. Phys. Lett. 28B, 425 (1969).
П8] Chan H.M., Tsou S.T. Phys. Lett. 28B, 485 (1969).
[19]Koba Z.J., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B12, 517 (1969); BIO, 633 (1969).
[20]Caneschi I., Schwimmer A., Veneziano G. Phys. Lett. ЗОВ, 351 (1969).
[21]Virasoro M. A. Phys. Rev. 117, 2309 (1969).
[22]Shapiro J. Phys. Lett. 33B, 361 (1970).
[23]Yoshimura M. Phys. Lett. 34B, 79 (1971).
[24]Goddard P., Thorn C.B. Phys. Lett. 40B, 235 (1972).
[25]Brower R.C., Friedman K. A. Phys. Rev. D7, 535 (1973).
[26]Del Giudice E., Di Vecchia P., Fubini S. Ann. Phys. 70, 378 (1972).
Г л а ва 3 СУПЕРСТРУНЫ
§ 3.1. СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Суперсимметрия - самая изящная из всех симметрий; она объединяет бозоны и фермионы в один мультиплет:
Фермионы <-* Бозоны
Объединив поля с разной статистикой, суперсимметрия и супергруппы к тому же открыли совершенно новую область математических исследований.
Но, как назло, нет ни одного экспериментально установленного факта, который свидетельствовал бы в пользу этой теории. Например, физики попытались найти суперсимметричные мультиплеты для электрона или нейтрино, но обнаружить скалярные аналоги этих частиц так и не удалось. Фактически ни у одной из ныне известных частиц нет суперсимметричного партнера. Некоторые критики назвали суперсимметрию «решением, для которого нужно найти задачу».
Хотя нет абсолютно никаких эмпирических данных, обосновывающих необходимость введения понятия о суперсимметрии, невозможно отрицать, что это понятие дает нам целую сокровищницу чрезвычайно желательных теоретических приемов, сулящих огромные выгоды. Су- персимметрия-это нечто большее, чем просто изящный способ объединения элементарных частиц в радующие глаз мультиплеты; у нее есть определенные практические применения в квантовой теории поля. Вот их список.
(1)Суперсимметрия порождает тождества супер-Уорда-Такахаши, уничтожающие многие обычно расходящиеся фейнмановские диаграммы. Например, фейнмановские петлевые диаграммы с бозонами и фермионами, циркулирующими внутри петли, отличаются множителем — 1. Вследствие суперсимметрии бозонная петля может сократиться с фермионной и оставшаяся расходимость будет намного мягче. Мы видим, таким образом, что теории ЯнгаМиллса с суперсимметрией обладают лучшими перенормировочными свойствами, чем обычные калибровочные теории. Действительно, некоторые «теоремы о неперенормируемости» можно доказать во всех порядках теории возмущений.
(2)Суперсимметрия может решить «проблему иерархии», которая стала проклятьем теорий типа Великого Объединения (ТВО). В этих теориях есть два далеко отстоящих друг от друга масштаба энергий:
масштаб энергий обычной физики элементарных частиц порядка миллиарда электрон-вольт и диапазон энергий ТВО порядка 1015 или
§ 3.1. Суперсимметричные точечные частицы |
119 |
около этого миллиардов электрон-вольт. Между этими двумя масштабами простирается обширная «энергетическая пустыня», в которой не обнаруживается никаких новых явлений. Однако при вычислении эффектов перенормировки эти две энергетические шкалы неизбежно начинают перемешиваться. Петлевые поправки (например, к массам кварков) могут повысить эти массы вплоть до значений, близких к энергиям ТВО, что неприемлемо. «Точная настройка» постоянных взаимодействия и масс вручную может в принципе решить проблему иерархии, но это потребует больших ухищрений и будет выглядеть слишком искусственно. К счастью, тождества Уорда-Такахаши суперсимметричной теории достаточно сильны, чтобы обеспечить выполнение «теорем о неперенормируемости» во всех порядках теории возмущений. Таким образом, суперсимметрия необходима для стабилизации этих двух масштабов масс в теории возмущений и предотвращения их перемешивания.
(3)Суперсимметрия может пролить свет на проблему «космологической постоянной». Данные наблюдательной астрономии указывают, что содержащий космологическую постоянную член Xyf—g, служащий поправкой к действию Эйнштейна-Гильберта, чрезвычайно мал на астрономических масштабах расстояний. Проблема состоит в том, как объяснить почти полное исчезновение космологической постоянной без «точной настройки». Суперсимметрия, вероятно, достаточно сильна, чтобы обеспечить обращение в нуль космологической постоянной во всех порядках теории возмущений (поскольку этот член нарушает суперсимметрию). Это, однако, не дает полного решения проблемы космологической постоянной, поскольку нам неизбежно придется нарушить суперсимметрию, чтобы достичь диапазона обычных энергий. (Проблема состоит в том, чтобы объяснить обращение в нуль космологической постоянной после того, как нарушение суперсимметрии уже произошло.)
(4)Суперсимметрия устраняет многие нежелательные частицы. Тахион, который возникает в модели бозонной струны, устраняется, например, тем, что он нарушает суперсимметрию. Устраняя эти частицы, суперсимметрия также уменьшает расходимость диаграмм с высшими петлями. В гл. 5 мы покажем, что потенциально могущие появиться расходимости теории суперструн связаны с инфракрасным испусканием тахионов и дилатонов. Поэтому, устраняя эти частицы, мы одновременно устраняем возможные источники расходимостей.
(5)Наконец, когда суперсимметрия развивается в локальную калибровочную теорию, она естественным образом уменьшает расходимости квантовой теории гравитации. Это происходит по той причине, что локальная суперсимметрия может быть определена лишь при наличии гравитонов (см. Приложение). Локальная суперсимметрия тем самым тесно связана с общей теорией относительности. Действительно, локальная суперсимметрия успешно устраняет рас-