Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf
30 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
Чё^ё8*'}-0- (L3-4)
Интегрируя по частям, получаем следующие уравнения ЭйлераJla- гранжа:
bxt dt
Для нашей точечной частицы уравнения движения принимают вид
т — — = |
dV(x) |
(1.3.6) |
— , |
||
dt |
dxt |
v 7 |
что соответствует обычным классическим ньютоновским уравнениям движения.
Кроме лагранжева формализма классической механики существует также гамильтонов формализм. Вместо положения и скорости в качестве фундаментальных объектов можно взять положение и импульс:
" = 5 L |
( 1 3 - 7 ) |
При таком определении сопряженной переменной получаем:
P?
Н = Pixt - L, H(ph xt) = + V(x). (1.3.8) 2m
Наконец, скобки Пуассона для импульсов и координат даются формулой
[Pi,xj-] рв= -5 |
(1.3.9) |
Знаменитая теорема классической механики утверждает, что можно показать тождественность принципа наименьшего действия и уравнений движения Ньютона. Начав с принципа наименьшего действия, можно вывести ньютоновы законы движения, и наоборот:
Уравнения движения <-• Принцип наименьшего действия.
Эта эквивалентность, однако, нарушается на квантовом уровне. В рамках квантовой механики существует фундаментальное различие между этими двумя описаниями: уравнения движения служат лишь приближенным описанием подлинного квантового поведения материи.
Поэтому принцип наименьшего действия является единственным приемлемым подходом к квантовой механике.
Теперь заново сформулируем основы квантовой механики посредством фейнмановского континуального интеграла [44]:
(1)Вероятность Р(а»Ь) того, что частица переместится из точки а в точку Ъ, есть квадрат модуля некоторого комплексного числа, а именно
31 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы |
|
функции перехода К (а, Ъ): |
|
P(a,b) = \K(a,b)\2. |
(1.3.10) |
(2)Функция перехода равна сумме определенных фазовых множителей, зависящих от действия S; эта сумма берется по всем возможным траекториям, соединяющим точку а с точкой Ъ:
К(а, b)= |
X |
keilnS'h. |
(1.3.11) |
траектории |
|
||
Здесь постоянную k можно определить из соотношения |
|
||
К(а9с) = |
X |
К(а,Ь)К(Ь9с), |
(1.3.12) |
|
траектории |
|
|
в котором промежуточная сумма берется по траекториям, проходящим через все возможные промежуточные точки Ъ.
Второй из этих принципов означает, что частица «чувствует» все возможные траектории, соединяющие а с Ь, какими бы сложными они ни были. Мы вычисляем указанный фазовый множитель для каждой из бесконечного множества траекторий. Затем фактор перехода для траектории, ведущей из а в Ь, вычисляется суммированием всех возможных фазовых множителей (см. рис. 1.6).
Замечательно, что сущность квантовой механики исчерпывается этими двумя принципами. Все наиболее важные выводы квантовой механики, являющие собой разительный отход от классической механики,
Классическая |
Квантовая |
механика |
механика |
Рис. 1.6. Важнейшее различие между |
классической и квантовой механикой. |
В классической механике предполагается, что частица движется по одной-единст- венной траектории между двумя точками, определяемой либо уравнениями движения, либо принципом наименьшего действия. Напротив, квантовая механика суммирует вклады вероятностной функции (основанной на действии) для всех возможных траекторий между двумя точками. Хотя классическая траектория является наиболее вероятной, в принципе все возможные траектории вносят свой вклад в континуальный интеграл. Таким образом, принцип действия является
более фундаментальным на квантовом уровне, чем уравнения движения.
32 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
могут быть получены из этих двух так невинно выглядящих принципов! В частности, они подытоживают сущность квантовомеханической интерпретации эксперимента с двумя щелями, который в свою очередь выражает сущность самой квантовой механики.
На этом этапе должно быть ясно, что результаты классической механики могут быть воспроизведены из наших двух допущений в некотором приближении. Заметим, что для значений S, больших по сравнению с постоянной Планка, фазовый множитель быстро флуктуирует, что приводит к взаимному погашению вкладов от этих траекторий:
5 S»y'- |
I |
ei2nS/h-+0. |
(1.3.13) |
^^траектории
Поэтому из всех вкладов в континуальный интеграл сохраняются лишь те, для которых отклонение действия от классической траектории имеет тот же порядок, что и постоянная Планка:
(1.3.14)
2 к
Мы видим, что уравнения ЭйлераЛагранжа движения частицы воспроизводятся лишь в определенном классическом пределе, а именно при стремлении постоянной Планка к нулю. Поэтому величина постоянной Планка в конце концов определяет вероятность того, что частица пройдет по траекториям, запрещенным классической механикой. Мы видим, что истоки принципа неопределенности Гейзенберга воплощены в приведенных выше двух принципах.
Теперь попробуем заново сформулировать их более' строго с помощью континуального интеграла. Второй принцип теперь запишется в виде
|
ь |
|
|
K(a,b) = $Dxei2nS/h, |
(1.3.15) |
||
|
а |
|
|
где |
|
|
|
К (а, с) = § К (а, Ь)К(Ь, c)Dxb |
(1.3.16) |
||
и |
|
3 N |
|
|
|
|
|
£ |
~^$Dx = |
lim J П П dxitH. |
(1.3.17) |
траектории |
|
N -* со »= 1 n = 1 |
|
Здесь индекс п нумерует N промежуточных точек, разделяющих интервал между начальной и конечной координатами. Теперь перейдем к пределу N -> оо.
Существенно важно понимать, что интегрирование по Dx - это не
33 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
обычное интегрирование по переменной л;. Фактически это произведение всех возможных интегралов по всем промежуточным точкам xin между точками а и Ь. Это решающее отличие функционального интеграла от обычного является сердцевиной формализма континуального интеграла.
Этот бесконечный ряд интегралов в свою очередь эквивалентен суммированию по всем возможным траекториям из а в Ъ. Поэтому следует проявлять осторожность, включая нормирующие множители при выполнении интегрирования по бесконечному числу промежуточных точек.
Если взять простой случай L = - тхвсе функциональные интегралы
можно вычислить аналитически. Это гауссов интеграл, который, к счастью, принадлежит к небольшому числу функциональных интегралов, вычисляемых аналитически. Одно из важных затруднений метода континуального интеграла состоит в том, что немногие интегралы могут быть вычислены. Мы имеем
|
К-о |
|
|
fdxx2"e-'v= 4 |
/ |
. |
(1.3.18) |
- 00 |
' |
|
|
Мы будем использовать эту формулу повсюду в этой книге.
Теперь разобьем траекторию на бесконечное число промежуточных точек xitH. (Заметим, что функциональное выражение содержит интегрирование по всем возможным значениям промежуточной точки xiitt, так что мы не можем ожидать, что х^п и xitn + t будут близки друг другу даже
при малых шагах по времени.) Запишем |
|
|
dt-+ |
s, |
|
\ тх? dt |
\т{хп - хп+ x)h~1. |
(1.3.19) |
Чтобы выполнить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек, мы будем повторно пользоваться интегралом Гаусса:
00
J dx2exp\_ — a(xl — х2)2 — а(х2 — л:3)2]
— 00 |
|
= J ^ p l - } 2 a ( x l - x 3 ) 2 l |
(1.3.20) |
Один из решающих моментов, на который следует обратить вни- мание,-то, что интегрирование в одной из промежуточных точек дает другой интеграл Гаусса, в котором эта промежуточная точка удалена. В этом состоит главная причина того, что возможно осуществить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек.
Наконец, континуальный интеграл, который мы намерены вычис-
3-787
34 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
лить, дается формулой
К(а, b) = limJJ...Jdxl9 dx2 ... dxN-x e-> О
X |
Urn " , |
J |
|
|
(где мы для краткости не выписываем векторный индекс /)• Используя предыдущее соотношение (1.3.20), запишем окончательный результат в виде
К {а, Ъ) = |
т |
1/2 |
|
|
-im(xb-xa)2 |
|
|
||
ехр |
. |
(1.3.22) |
|||||||
2n(tb |
- |
О |
- |
||||||
|
|
|
th — tn |
|
|
||||
Функция вероятности перехода К имеет несколько очень любопытных свойств. Например, она служит решением волнового уравнения
2т oxi = ota К (а, Ъ\ (1.3.23)
где ta больше tb.
Ниже мы обобщим эти выражения на случай свободно распространяющихся струн и обнаружим, что они переносятся на функции Грина с небольшими, но важными изменениями.
Чтобы показать взаимосвязь между гамильтоновой и лагранжевой формулировками в подходе континуального интеграла, полезно ввести полный набор промежуточных состояний при разбиении траектории, ведущей из а в Ь. Будем рассматривать переменную л; как оператор л;,
действующий на |
множестве собственных состояний: |
jc|jc> = х | х > . |
(1.3.24) |
Запись |л;> означает собственное состояние оператора координаты; л;-это оператор, собственное значение которого равно числу л;. Тогда полноту множества собственных состояний для координат и импульсов можно представить формулами
1 - Л * > * < * 1 , |
( 1 3 2 5 ) |
Нормируем состояния следующим образом:
(х\у) = Цх-у), |
(p\x)=-j=. |
еI рх |
(1.3.26) |
||
|
|
V 2 * |
(Поскольку в формализме континуального интеграла неизменно появляется бесконечно много нормировочных множителей, мы часто будем
§ 1.3. Континуальный интеграл и точечные частицы |
35 |
опускать их для ясности изложения. Это не умалит общности, поскольку при желании мы всегда сможем снова ввести их в континуальный интеграл.)
С помощью этих собственных состояний мы можем теперь переписать выражение для функции Грина, описывающей переход из точки хг в точку xN:
K(\,N) = (xl,tl\xN,tN}. |
(1.3.27) |
Чтобы вывести предыдущее выражение (1.3.22) для амплитуды перехода, вставим полный набор промежуточных состояний в каждой промежуточной точке между xt и xN:
<*!, tt | xN, tN} = (xi9 tl | x2, t2} J dx2 < x29 t21 f dx2 |
|
... I XN- I, tN-i У §dxN- ! (хц-u /jv — 1 | XN, tNy. |
(1.3.28) |
Теперь исследуем каждый инфинитезимальный пропагатор с помощью гамильтониана, который запишем как функцию координат и производных по координатам:
Н=Н(х,дх). |
(1.3.29) |
Тогда функция перехода для бесконечно малого интервала дается выражениями
<*„ tt\x2, t2y = (Xi\e-iH^)b'\x2)
=e-iH^d^(x1\p}$dp(p\x2y
= e-iH{x,p)bt f& eip(x2-x,)
J '2 к
= e-iH{x,p)bt^<ty_ eipxbi^ |
(1.3.30) |
Очень важно отметить, что континуальный интеграл позволил перейти от классических к квантовым коммутаторам. Гамильтониан можно выразить либо как функцию производных по координатам, либо как функцию канонических импульсов вследствие тождества
dxeipx = ipeipx. |
|
(1.3.31) |
Это позволяет сделать важное отождествление: |
|
|
Н(х,р)<^Н(х, |
дх\ |
(1.3.32) |
|
|
|
ох
В функциональном формализме из этого тождества возникает важное соответствие между импульсами и частными производными.
3»
36 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
Собирая все вместе, мы можем теперь записать полную амплитуду перехода в виде
XN |
** |
|
(xv tx \xN, tN> = J Dp Dx exp i |
J [px - H{p, x)~]dt, |
(1.3.33) |
где |
|
|
H = ^-+V(x). |
|
(1.3.34) |
2m |
|
|
(Как обычно, мы опустили все промежуточные нормирующие множители, являющиеся просто кратными 2п.) Заметим, что функциональный интеграл, который прежде был функцией только координат, теперь является функцией и импульсов, и координат.
Чтобы снова получить исходный лагранжиан, мы можем выполнить интегрирование по р аналитически, поскольку это простой интеграл Гаусса, и мы получим
* * |
*N |
|
<Х19 tx\xN9 tN) = J Dxexp/J[lm*l - V{x)]dt. |
(1.3.35) |
|
Тем самым мы сделали переход между лагранжевым и гамильтоновым формализмами с помощью функциональных методов. Мы можем использовать любое из двух уравнений:
L = \2mxf — |
= 2т V(x). |
(1.3.36) |
В функциональном смысле единственное различие между этими двумя выражениями состоит в том, по чему мы интегрируем: по координатам или по некоторой комбинации координат и импульсов. Вероятность перехода можно представить любой из двух формул:
|
ХЬ |
*ь |
|
|
|
|
К (а, Ь) |
= |
J Dxexpi$dt[]-mx? |
- |
V(xJ] |
|
|
|
ха |
|
|
|
|
|
|
*b |
<Ь |
Г |
|
2 |
"1 |
= |
$ |
DxDpexpifdt\PXi-^n |
~ |
V{x) . |
(1.3.37) |
|
|
ха |
fa |
L |
|
|
|
§ 1.4. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ
До сих пор мы обсуждали лишь нерелятивистские частицы, и все степени свободы были физическими. Однако при обобщении предыдущего обсуждения на случай релятивистских частиц возникают нетривиальные осложнения. В частности, множитель (—1), появляющийся в лоренцевой метрике, в общем случае вызовет распространение в рамках теории нефизических состояний. Эти нефизические «духовые» состояния, имеющие отрицательную вероятность, должны быть тща-
§ 1.4. Релятивистские точечные частицы |
37 |
тельно устранены, чтобы обеспечить построение разумной, удовлет-
воряющей принципу причинности теории, не содержащей |
состояний |
с отрицательной нормой. |
|
Для релятивистского случая предположим, что положение точечной |
|
частицы задается четырехмерным вектором |
|
X^z), |
(1.4.1) |
где параметризация х не обязательно обозначает время. Действие имеет особенно простой вид и пропорционально длине четырехмерного пути:
S = — m$ds = — т (длина). |
(1.4.2) |
Длину пути ds можно выразить через координаты:
ds = y/-x*dT. |
(1.4.3) |
Точка здесь означает дифференцирование по параметру т. Это действие, в отличие от введенного ранее нерелятивистского действия, инвариантно относительно замены фиктивного параметра т. Сделаем замену переменной
т-*т(т). |
(1.4.4) |
Тогда получим |
dx |
I |
|
dx = — dx, |
|
|
dx |
dx |
dx dx |
dx |
dx dx' |
{ № • - { № •
Итак, действие инвариантно относительно произвольной замены переменной т (репараметризации).
Инфинитезимально это можно записать так:
{Гт+Лт' |
6 |
<1А> |
|
I 5*|1 = *|15х. |
|
Как и прежде, мы можем ввести канонически сопряженные переменные:
=ЪЬ=тх^
»s*1 ^ГЦ
Решающее отличие от предшествующего обсуждения нерелятивистской точечной частицы заключается, однако, в том, что не все канонические импульсы независимы. Действительно, мы обнаруживаем, что между ними существует связь:
р2 + т2 = 0. |
(1.4.8) |
38 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
Итак, условие на массовой поверхности возникает в качестве точной связи между импульсами. При вычислении гамильтониана этой системы обнаруживаем, что
H = p » x ^ - L = 0. |
(1.4.9) |
Гамильтониан тождественно обращается в нуль.
Эти необычные черты, обращение в нуль гамильтониана и связи на импульсы, типичны для систем с избыточными калибровочными степенями свободы. Инвариантность относительно репараметризации, например, говорит о том, что выписанный ранее континуальный
интеграл на самом деле расходится: |
|
f DxeiS = оо. |
(1.4.10) |
Причина этого в отдельных вкладах от каждой частной параметризации. Но поскольку Dx параметризационно инвариантно, это означает, что мы суммируем по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Поэтому интеграл этот должен расходиться.
Дирак, однако, объяснил, как квантовать системы с избыточными калибровочными степенями свободы. Например, введем канонические импульсы р и наложим условие связи с помощью множителей Лагранжа следующим образом:
L=p^-\e(pl + m2). |
(1.4.11) |
Условие связи (1.4.8) наложено здесь как классическое уравнение движения. Варьируя е, получим связь на импульсы. Квантовомеханически, однако, эта связь налагается взятием континуального интеграла по е. При этом интегрировании получаем
§Deexp\_ — i\dxx-e(p2 + m2)] - b(p2 + m2), |
(1.4.12) |
где мы использовали тот факт, что интеграл от е1кх (или преобразование Фурье от числа 1) равен Ь(х). Заметим, что новый лагранжиан (1.4.11) все еще обладает калибровочной степенью свободы. Он инвариантен относительно преобразования
= 5/V = 8Ai' = (1.4.13)
Преимущество этого действия над предыдущим состоит в том, что все переменные входят в него линейно. Не придется тревожиться об осложнениях, вызываемых квадратным корнем. (Поле е, которое мы ввели, станет метрическим тензором даЬ, когда мы обобщим это действие применительно к струне.)
Проведем теперь функциональное интегрирование по переменной р:
§ 1.5. Первичное и вторичное квантование |
39 |
[/?* - \ е ( р 2 + т2 )]} |
|
- е х р ^ ф - 1 * 2 - ^ 2 ) } . |
(1.4.14) |
Итак, мы теперь получили третью версию действия для точечной частицы. Преимущество этого действия состоит в том, что оно линейно по координатам и инвариантно относительно преобразования
\ b e = d(?e) |
(1.4.15) |
dx
В итоге мы нашли три эквивалентных способа описания точечных релятивистских частиц. Лагранжиан «второго порядка» (1.4.14) выражен через производные второго порядка от переменной х (х) и поля е. «Нелинейный» лагранжиан (1.4.3) выражен только через *ц(т). Его можно вывести из (1.4.14) функциональным интегрированием по полю е. И наконец, гамильтонова форма описания содержит как х (т), так и канонические сопряженные им переменные р^(х) (она имеет первый порядок относительно производных):
Форма 1-го порядка (гамильтонова): L = р^ — х-е(р2 + т2\
Форма 2-го порядка: L = е~ 1 х 2 — ет2), |
(1.4.16) |
Нелинейная форма: L = — гпу/—х2.
Все три формы инвариантны относительно репараметризации. У каждой есть свои преимущества и недостатки. Это упражнение в выражении действия свободной релятивистской частицы тремя разными способами важно, поскольку оно непосредственно переносится в формализм теории струн. Выраженные в форме континуального интеграла, теория точечной частицы и теория струны замечательно похожи друг на друга.
§1.5. ПЕРВИЧНОЕ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Внастоящем разделе мы проквантуем классическую точечную частицу и затем покажем связь полученной теории с более обычной формулировкой теории поля на языке вторичного квантования. Программа первичного квантования, как мы увидим, довольно неуклюжа по сравнению с формализмом вторичного квантования, привычным большинству физиков, но исторически теория струн развивалась как теория первичного квантования. Огромное преимущество формализма вторичного квантования состоит в том, что вся теория может быть выведена из