Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

240 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

Связь между пространством модулей и пространством Тейхмюллера разумеется, должна быть очень тесной. В самом деле, фактически они эквивалентны с точностью до действия некоторой дискретной группы называемой группой классов отображений (MCG):

Другими словами, пространство Тейхмюллера отличается от пространства модулей только глобальными диффеоморфизмами, которые не могут быть связаны с тождественным преобразованием. К примеру, представьте себе, что тор разрезан, как на рис. 5.13, один край разреза повернут на 2к и края разреза снова соединены. Эта операция называется твистом Дена. Обратите внимание, что такое преобразование порождает диффеоморфизм, который не может быть непрерывными преобразованиями переведен в тождественное преобразование. Это глобальный диффеоморфизм. Поэтому пространство Тейхмюллера «больше» пространства модулей, поскольку необходимо разбить его на блоки, отвечающие глобальным диффеоморфизмам, чтобы получить пространство модулей. Размерности обоих этих пространств

Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его я-цикла. Один из к о Н ^ тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с ДрУ^ концом. Заметим, что исходный £-цикл теперь становится суммой а- и ^ * Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформирора обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена пор0 дает группу классов отображений.

242 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

где

Оператор Рх играет ключевую роль в теории пространств Тейхмюллера Заметим, что он является эллиптическим оператором, отображаюцщ^ векторы в бесследовые симметричные тензоры. Пусть ker/^ представ, ляет ядро этого оператора, т.е. множество векторов, которые отобра.

жаются в нуль оператором Рх; ker Ру называют множеством «конфор^. ных векторов Киллинга». Для поверхностей, имеющих род N, размер,

ность ядра оператора определяется следующим образом:

Мы также определим оператор, сопряженный Рх, и назовем его Р\. Чтобы это сделать, нам, конечно, нужно сначала определить скалярное произведение. Определим

Это позволяет определить сопряженный оператор Pl с помощью опре-

обращаемых в нуль действием оператора Р\. Переписав все через

Базисом ядра оператора Р\ служат векторы, называемые квадрат^ ными дифференциалами. К счастью, размерности пространств кваДр®* тичных дифференциалов для римановых поверхностей известны:

Таким образом, число параметров, описывающих ядро оператора 'Ь равно числу параметров Тейхмюллера, необходимых для описавГл

поверхности с N ручками или петлями. Символически мы можем описать, как разбить меру интегрирования на части, из

Это уравнение имеет довольно простой смысл. Оно означает, что ^авляющие метрического тензора даЬ могут быть разбиты на три ^^ги; а именно на часть, отвечающую растяжению, на бесследовую jjj^Tb и на скрытые параметры Тейхмюллера. Оно также означает, что ли почти достигли нашей цели, сформулированной в (5.7.16), но здесь 0&отся некоторые осложняющие тонкости.

Проведем явным образом замену переменных и вычислим якобиан дого преобразования. Сначала предположим, что нам не нужно беспо-

где

4гИИ •-"" G £ ] •-dw -шр>nr"-<5J-28)

причем значение X произвольно, поскольку оно не входит в детер-

минант.

Заметим, что квадратный корень из детерминанта матрицы Рх Р\ - это как раз детерминант Фаддеева-Попова для конформной калиб- ровки и он может быть выражен через духи BRST. Итак, мы можем записать детерминант Фаддеева-Попова, впервые вычисленный в

(2.4.3), как

Следующий шаг-вычисление множителя Якоби, отражающего тот jWTf что мера на самом деле зависит от параметров Тейхмюллера . Проблема состоит в том, что параметры Тейхмюллера не ортогональны

1*4, так что якобиан будет содержать внедиагональные члены, которые ®У*но вынести за знак определителя.

Начнем обсуждение с введения набора 3N — 3 комплексных полей ц ЦОТорые будут ортогональным базисом пространства Pt . Теперь раз-

на составляющие множитель [22, 23]

244 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

Важно отметить, что здесь мы пока ничего не изменили, а толь* добавили и вычли один и тот же член. Однако введенный нами чле° содержит оператор Р1, действующий на другое состояние. Поэтом* приведенное выше тождество полезно, поскольку оно позволяет вцц^

Как и ожидалось, Т1 имеет составляющую, направленную вдоль pit которую необходимо учитывать при выписывании якобиана. Обратно подставим это выражение в меру для bgab'.

Это, наконец, дает якобиан, включающий вклад от параметров Тейхмюллера. Мы также явным образом учли тот факт, что Т1 исходно содержал составляющую, лежащую вдоль Ру :

Это в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:

$DXe~s Dga b nD i }f n„ln = {Вр.ПЙг

Мы, наконец, добились нашей цели (5.7.16), если оставить в стороне вопрос об аномалиях, которые могут нарушить масштабную инвариантность.

Хотя приведенные выше рассуждения могут показаться длинным11 и сложными, окончательный результат весьма прост. Он показывает, что мера интегрирования, включающая детерминант Фаддеева - Попов» для духов, может быть полностью выражена через д е т е р м и н а н т » оператора Р1 и сопряженного ему оператора. Эта мера состоит из тр«* частей: первая из них-это множитель Фаддеева-Попова, котор записан как квадратный корень из детерминанта произведения ?\ ^ вторая часть-это множитель, содержащий Т1 и возникающий и3" того, что модулярные параметры tt не ортогональны базисным вектор \|/°, образующим ортогональный базис пространства ker Р\; ТР

^ - д е т е р м и н а н т оператора Лапласа, который, как можно показать, jgjOice может быть записан через оператор Рх.

Однако пока не удается устранить интегрирование по скалярному параметру от в (5.7.37). К сожалению, этот скалярный параметр содержится в разных частях выражения для меры. Фактически мы убедимся, ^ в общем случае масштабный фактор вовсе невозможно устранить из компонентов меры, что нарушает конформную инвариантность. В следующем разделе мы покажем, что масштабной инвариантности прещяетвует некая аномалия, называемая конформной аномалией, и она цозкет быть устранена только в том случае, когда размерность пространствавремени равна 26. Этот факт фиксирует размерность пространяза- времени.

Попутно мы покажем, как записать все детерминанты через один лишь оператор .

§ 5.8. КОНФОРМНАЯ АНОМАЛИЯ

Заметим, что мы можем избавиться от интегрирования по объему

Затем мы хотим устранить член, связанный с вейлевским изменением масштаба:

Однако интегрирование по масштабному параметру от существенно

сложнее, поскольку члены, содержащие от, присутствуют и в других компонентах меры. Поэтому нам необходимо очень тщательно извлечь все зависящие от от члены из каждого из оставшихся компонентов,

ирежде чем мы сможем устранить член, связанный с вейлевским изме- нением масштаба. Окажется, что вейлевский фактор также можно будет извлечь из компонентов меры, но лишь в том случае, когда размерность

пространства-времени равна 26! Вычисление конформной аномалии ^вольно сложно, так что мы лишь наметим основные вехи этого деления.

Сначала заметим, что член (Т\ \j/°) уже обладает вейлевской инва- риантностью. В самом деле, осуществив масштабное преобразование по

^РМулам

Сле, 'Довательно, единственный член, который должен нас беспокоить,

246 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

(Штрих по-прежнему означает, что мы извлекли из этого выражения нулевую моду детерминанта.)

К счастью, извлечение вейлевского масштабного параметра можно выполнить одновременно для обоих членов, если воспользоваться неко. торыми фактами теории римановых поверхностей. Для этого нужно

переписать P l 9 р\ и V2 таким образом, чтобы все три этих оператора были выражены через один и тот же дифференциальный оператор.

представляет произвольный тензор, заданный на двумерной римановой поверхности. Конечно, мы всегда можем переписать этот тензор через комплексные переменные z и z. Обозначим через Кп множество всех тензоров Т, которые в этих переменных преобразуются определенным образом, а именно

отображает тензор Т в другой тензор. Более точно, он отображает К'

вKq~l:

Возможно также определить оператор, действующий в обратном направлении. Оператор

Л^ользуя эти обозначения, можно показать, что

Поскольку лапласиан с индексом « + » комплексно сопряжен лапласиану с индексом « —», то

Вооружась этими определениями, мы теперь выразим детерминант

ввнде

(5.8.17)

Другими словами, обе части якобиана, которые на первый взгляд несхожи, представлены теперь одним и тем же оператором А £ , где

Здесь е-малое число. С помощью этого уравнения мы можем выразить вариацию детерминанта, связанную с вейлевским изменением масштаба. Соответствующее вычисление довольно сложно, так что мы просто приведем окончательный результат [22-24]:

Здесь Л-свернутый двумерный тензор кривизны. Итак, нам нужно ""кислить этот фактор при q = 1 и при q = 0. Окончательный результат ^ с я формулой

248 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

Заметим, что при D = 26 конформная аномалия исчезает. Итак, щ показали, что

где все члены вычислены с использованием метрики даЪ, в которой параметр от был полностью устранен. Итак, наша цель получить (5.7.16) теперь достигнута, по крайней мере в 26-мерном пространстве - времени.

Теперь, когда мы разработали этот мощный формализм, удобно

свести этот случай к проблеме однопетлевой амплитуды и снова вывести наш ранее полученный результат (5.3.12) в свете новых возможностей для римановых поверхностей [25].

Для однопетлевой диаграммы интересующая нас область есть поверхность тора. Метрика плоской поверхности даЬ соответствует решетке в комплексной плоскости

и тем фактом, что фундаментальная область нормируется так, чтобы ее площадь равнялась единице. Тогда группа классов отображений есть просто SL (2, Z), а фундаментальную область, как и прежде, можно взять следующей (1 = 1! + ix2):

11

-- < Xj1 < - . 2 2

Меру

Инвариантная мера, как и прежде, может быть записана в виде

Собирая все вместе, получаем в итоге

iaK в (5.5.4).

§5.9. СУПЕРСТРУНЫ

Ксчастью, обобщение многопетлевых амплитуд на случай суперСТрун проводится довольно очевидным способом, за исключением осложнений, связанных с определением спиноров на римановых поверхностях рода д.

Рассмотрим тор, параметризованный двумя переменными а1 ? сг2 н построенный отождествлением противоположных сторон параллелограмма. Струна X, определенная на параллелограмме, должна удовлетворять следующим условиям периодичности:

Однако задание спиноров на этой поверхности увеличивает число возможных вариантов. Спинор может быть либо периодическим ( + ) и удовлетворяющим условиям Рамона, либо антипериодическим (—), удовлетворяющим условиям Навье-Шварца, причем по любой из переменных, как , так и сг2. (До сих пор мы рассматривали только граничные условия по одному направлению в (3.2.16), а именно по от, но не по т.) Тем самым полное число различных комбинаций граничных условий равно четырем. Возможные варианты определения спинора на торе соответствуют комбинациям (±, ±). Будем говорить, что эти четыре возможных выбора граничных условий для тора определяют его

оптовую структуру.

Кроме того, нам известно, что модулярные преобразования перемешивают граничные условия, а следовательно и спиновые структуры,

*** что все четыре комбинации будут давать вклад в окончательную амплитуду. Например, преобразование

Чтобы вычислить вклад каждой спиновой структуры в однопетлевую

^^^Уду, найдем след гамильтониана по всем четырем возможным