Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf312 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Возникает желание построить вторично квантованный вариант этих соотношений. В частности, взаимодействующая часть вторично квантованного генератора имеет вид
Q~A = ... + |
П |
darD16Zrb ( £ |
а , ) |
|
|
Г = 1 |
\ i = 1 |
/ |
|
X А16 |
{ £ е , ^ < Ф 1 | < Ф 2 | < Ф З № - > . |
(6.8.26) |
||
Подставив теперь выражение для вторично квантованных генераторов в коммутационные соотношения, получим ряд слагаемых, сумма которых должна обращаться в нуль. В нулевом порядке по константе связи выполнение этого условия гарантируется, поскольку q удовлетворяют соотношениям суперсимметрии. Однако члены, линейные по константе связи, содержат как свободные q, так и взаимодействующие | Qa). В частности, находим
Z |
47A\Q~'B)+ |
I |
q7~B\Q-A) = |
2\H)b**, |
r=1 |
|
г — 1 |
|
|
Z |
q7A\Q-B) + {A~B) = 0, |
(6.8.27) |
||
r= 1 |
|
|
|
|
Z |
q7~A\Q-~By + |
{A~B) = 0. |
|
|
r= 1 |
|
|
|
|
Для решения этих уравнений примем, что Q имеют общую форму
| Q~A} = keABCD Y~BYC Y D \ V ) .
Итак, мы собрали внушительный аппарат, по большей части построенный из предположений и аналогий с бозонным случаем. Теперь необходимо сделать еще одно предположение о структуре функций Z и У» появляющихся в (6.8.16) и (6.8.28). На эти две последние функций обязательно имеются ограничения, поскольку они не должны нарушать наложенных нами условий на фурье-моды. Следовательно, они должны коммутировать или антикоммутировать с условиями н е п р е р ы в н о с т и . Оказывается, что эти требования однозначно определяют Z и Y:
Z' = | 2 a Г 1 ' 2 ( P ' - a Z - ^ V ; a ! п ' , ' ) , |
||
|
'•« а- |
(6.8.29) |
2 |
у/2 г.т |
ар |
Наконец, приведем наш аппарат в действие. Коммутационные coot шения суперсимметрии должны генерировать |//>. С помощью <<ГРУ
§ 6.9. Резюме |
313 |
фдЫ» находим
| Я ) = (2" •1/2 ZL - Zf р'Л5 |
Y~B + ^ Z R EABCD YA Y~B Y'C YD) I К >. |
|
(6.8.30) |
Имея окончательное выражение для вершинных функций, удовлетворяющих условиям суперсимметрии, попытаемся переписать функции У. Как отмечалось выше, эти функции выбирались так, чтобы они *оммутировали или антикоммутировали с условиями непрерывности. Поэтому мы подозреваем, что они в действительности обращаются в нуль всюду, кроме точки разрыва трех струн. Мы должны тщательно рассмотреть предел при приближении к точке разрыва, так как в ней функции легко могут оказаться расходящимися. В результате такого
анализа мы можем переписать Z и Y в виде
/ 1 \ |
1/2 |
|
YA = lim ( ~£ |
) |
(OfOctt! - е ) + 0^(яа1 - в)), |
У |
|
(6.8.31) |
Z1 = lim YJL гпр[ (ка1 — s).
£ —• 0
Наиболее важно здесь то, что обе функции У и Z локальны на струне, т. е. отличны от нуля только в точке соединения струн. Таким образом, мы обошлись без нелокальностей, присутствие которых испортило бы лоренц-инвариантность.
§ 6.9. РЕЗЮМЕ
Ранее предполагалось, что полевая теория протяженных объектов невозможна по двум основным причинам:
0)Попытки Юкавы, Гейзенберга и других показали, что всякое отклонение от принципа локальности в квантовой механике влечет за собой нарушение принципа причинности. Возбуждение в одной точке капли распространялось бы через нее со скоростью, большей скорости света.
(2)Теория не воспроизводила бы модель Венециано, потому что цикли-
ческая симметрия и многие другие свойства бета-функции сохраняются только на массовой поверхности, тогда как действие определяется вне массовой поверхности.
I3) Теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариантной и унитарной вне массовой поверхности, поскольку процедуры квантова- Н0я для струн, которая обеспечила бы и лоренц-инвариантность, И Унитарность вне массовой поверхности, не существует.
) Более того, в струнной теории полевая теория представлялась йевозможной из-за проблемы «двойного счета», обусловленной Дуальностью. Дуальные диаграммы уже сами представляют собой °УМмы по s- и /-канальным полюсам, и, следовательно, сложение
§ 6.9. Резюме |
315 |
rflP
МФ) = Ф*(1дх-Н)Ф,
5 Все эти соотношения можно доказать, просто подставляя различные наборы промежуточных состояний между начальным и конечным состояниями:
Первичное квантование: | X ) J DX < X | = 1,
(6.9.2)
Вторичное квантование: | Ф > J D2 Ф е ^ф1ф ^ ( Ф | = 1.
Полевой функционал не есть функция ст. Он является функционалом струнной переменной X, определяемой на области изменения от:
ф(Х) = (Х\Ф} = Ф1Х(рх), Х(а2), Х ( а 3 ) , . . . , Х ( а „ ) ] . |
(6.9.3) |
Простейшим образом эта функция раскладывается по базисным состояниям, образованным всеми возможными элементами фоковского пространства:
|Ф> = 1ф{*}1{"}>. |
(6.9.4) |
М |
|
Так как Ф удовлетворяет струнному уравнению Шрёдингера, можно
разложить полевой функционал по собственным функциям этого уравне-
ния:
V . M (*.*«) = l < W < P ' X _ £ W ' 4 v , , {»>• |
(6.9.5) |
Отметим, что А является оператором рождения / уничтожения всех
®озможных состояний струны, поэтому он соответствует бесконечнокомпонентной полевой теории. Наложение стандартных канонических коммутационных соотношений заставляет нас выбрать
= Ь(Р+ - q + ) b ( P i ~ q i ) ${„}>}. |
(6.9.6) |
Теперь можно разложить полевой функционал Ф по этим собственным Функциям:
<Х\Ф) = Фр.(Х) |
|
|
= I J Х\^Лр ^р > Л п ] Н[ п ] |
V ' ( P |
(6.9.7) |
{"} » |
|
|
316 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Мы можем воспроизвести все тождества, найденные в полевой теопщ» В частности, можно показать, что функция Грина представляет соб*
матричный элемент двух полей: |
* |
|
А12 = «0|Ф;+ (ХХ |
(АГ2,т2)|0>> |
|
= 5 (р+ - q+) f DX е |
|
П 6 (X (а, тх) - Хх (а)) |
|
|
а |
х П б ( Х ( а , т 2 ) - Х 2 ( а ) . |
(6.9.8) |
|
Взаимодействия однозначно определяются нашим правилом, согласно которому локальная топология может изменяться только локально Таким образом, трехструнная вершинная функция определяется дельтафункцией:
S3 |
= $dp+r8( £ р+г)^Х123ФНХ3)ФЧХ1)Ф(Х2)Ь123 + h.c. |
(6.9.9) |
|
г= 1 |
|
К счастью, интегрирование по струнам оказывается гауссовским и может быть выполнено до конца. В результате интегрирования находим
I^i23> |
= e x p j l |
£ |
|
£ |
a V m N': n a% |
|
||
|
|
|
2 |
r,s= |
I |
m,n= |
1 |
|
|
|
|
3 |
оо |
|
|
"J |
(6.9.10) |
|
|
+ |
Z |
Z |
NrmaVmP + KP2\, |
|||
где |
|
r= 1 m= =1 1 |
|
J |
|
|||
|
1 |
|
rs |
- ЦтпУ'^А^Г-^М), |
(6.9.11) |
|||
|
|
|
||||||
Nmn = (C")™ 5 |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
N'm= |
|
|
-(тГ^НА^Г-'В)^ |
|
||||
К = - -ВТ'1 |
В, |
|
|
|
|
(6.9.12) |
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
г = |
|
Z Л«Л<Г)Т. |
|
|
|
|
||
|
г= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Теперь нам нужно показать, что эта вершинная функция способна воссоздать обычную модель Венециано. Простейший способ увидеть это заключается в том, чтобы вычислить функцию Неймана для трехструй" ной конфигурации в первично квантованном формализме и затем сравнить результаты. Отправной точкой служит преобразование Ма делстама:
р = ах ln(z — 1) + a2 lnz.
мы
Так как нам известна функция Грина в верхней полуплоскости, просто берем фурье-компоненты неймановской функции, фурье-коэ^
|
|
|
§ 6.9. |
Резюме |
317 |
||
Агенты выглядят как |
|
|
|
|
|
||
1 |
27t |
-«С -«С |
- |
||||
Я**= ~ (2^ J |
* W r |
" ' |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
7 ^ 2 \ d z |
r \ d z s e — |
. |
(6.9.13) |
||
Теперь подставим в данную формулу функцию Неймана, определенную ^верхней полуплоскости, и прямым вычислением получим
АГ,;« = |
|
^Г |
а |
1 а 2 а 3 N'm йп, |
|
|
та„ + «а. |
|
(6.9.14) |
||
|
|
|
|
|
|
N* = аг"1 /т (— аг +1 /аг ) exp (т х0/аг), |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
/ . ( * ) = |
(* г,) ч |
я |
|
|
|
К = - т 0 |
/ ( 2 а 1 |
а 2 а 3 ) , |
(6.9.15) |
||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т0 = |
X |
аг 1п|аг |, |
|
|
|
|
г= 1 |
|
|
|
|
P |
= |
alpi2-a2p\. |
|
||
Рассмотрим теперь вопрос о суперструнах в GS-формализме свето- вого конуса. Теперь имеется два набора осцилляторов, бозонные и фер-
мнонные. Наша основная стратегия состоит в угадывании анзаца для вершинной функции и подчинении его условиям непрерывности при перекрытии взаимодействующих струн. Основываясь на аналогии с бо- зонной теорией, мы полагаем
|F> = Zl.exp[Ao + A s ] | O > 5 ( X a r ) 5 ( X ^ ) 5 ( Z a r 0 ^ ) , |
(6.9.16) |
где |
3 |
|
00 |
3 |
|
00 |
|
|
|||
Д*= I |
Е |
U'L |
+ I |
I Vrm |
(6.9.17) |
m,n=l r,s= 1 |
|
m— 1 r=l |
|
||
Вгл. 3 было показано, что первично квантованные суперсимметрич-
егенераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
{q~A,q-'B} = 2hbA'B,
(6.9.18)
fe A,q-} = {g-A,q-'} = 0.
Должны показать, что вторично квантованные варианты этих аторов суперсимметрии также удовлетворяют данным соотноше-
318 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
ниям. Возьмем анзац
I Q-'Ay = Y'A\vy,
(6.9.19)
\Q-A} = keABCDY~BYcYD\vy.
Замечательно, что всем условиям, наложенным на вершинную функцию
можно удовлетворить, |
выбрав |
' |
||||||
Y a |
= |
lim |
( U ) |
' |
(0f |
(яах |
- s) + |
(яах - г)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.9.20) |
Z l |
= |
lim |
у / 2 |
екр[ |
( n a t — |
s). |
|
|
|
|
8 —> О |
|
|
|
|
|
|
По поводу этой вершины можно упомянуть, что от нее еще требуется выполнение условия локальности. Дополнительные вставки с У и Z присутствуют только в точке разрыва струны, поэтому локальность сохраняется. Итак, наша общая трактовка теории в формализме светового конуса согласуется с изначально постулированным принципом локальности.
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
[1]Kaku М., Kikkawa К. Phys. Rev. D10, 1110, 1823 (1974).
[2]Kaku M. Introduction to the Field Theory of Strings. Lewes Superstring Workshop, World Scientific, Singapore, 1985.
[3]Kaku M. String Field Theory. Int. J. Mod. Phys. A2, 1 (1987).
[4]West P. Gauge-Covariant String Field Theory, CERN-TH-4660/86, June 1986.
[5]Banks T. Gauge Invariant Actions for String Models, SLAC-PUB-3996.
[6]Cremmer E., Gervais J. L. Nucl. Phys. B76, 209 (1974); Nucl. Phys. B90, 410(1975); см. также Ademollo M., Del Guidice E., Di Vecchia P. and Fubini S. Nuovo Cimento 19A, 181 (1974).
[7] Hopkinson J.F.L., Tucker R. W. and Collins P. A. Phys. Rev. D12, 1653 (1975).
[8]Mandelstam S. Nucl. Phys. B64, 205 (1973); B69, 77 (1974).
[9]Green M, Schwarz J.H. and Brink L. Nucl. Phys. B219, 473 (1983); B243, 475 (1984).
[10]Alvarez O. Nucl. Phys. B216, 125 (1983).
[11]McKean H.P.,Jr., Singer I.M. J. Diff. Geom. 1, 43 (1967).
[12]Mandelstam S. In: Unified String Theories (edited by M. B. Green and D. Gross), World Scientific, Singapore, 1986.
[13]Green M.B., Schwarz J.H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); Nucl. Phys. B128, « (1983); Nucl. Phys. B243, 475 (1984).
ЛИТЕРАТУРА, Д О Б А В Л Е Н Н А Я ПРИ ПЕРЕВОДЕ
За время, прошедшее с момента написания этой книги, полевая теория получила дальнейшее развитие. Следует отметить несколько направлений. М© ды конформной теории применительно к струнной полевой теории развивал
§ 6.9. Резюме |
319 |
«аботах [2] (см. также обзор [3]). Теория фермионной струны была построена Заботах [4, 5]. Была создана неполиномиальная теория замкнутой бозонной Ljуяы [6-9], инкорпорировавшая в себя фундаментальные понятия современной яйфференциальной геометрии, часть из которых обсуждается в этой книге. Сдедует отметить и неожиданно возникшую модель критической двумерной друны, обладающей чрезвычайно богатой симметрийной структурой [10-16]. Ковариантная полевая теория открытых бозонных струн с вершиной, непосредстjgflHO обобщающей вершину в калибровке светового конуса, была предложена
r9pg& в работах [1].
1 И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Теор. и мат. физика, т. 67 (1986) № 2, 309; № 3,
' 484; I. Ya. Arefeva, I. V. Volovich, Phys. Lett. 182B (1986) |
159, 312. |
|
2 S. Samuel, Nucl. Phys. B296 (1988) 187; B308 (1988) 285, 317; |
R. Bluhm and |
|
S. Samuel, Nucl..Phys. B323 (1989) 337. |
|
|
3. C. Thorn, Phys. Rep. 175 (1989) 1. |
|
|
4. C.R. Pritschopf, C.B. Thorn, S. A. Yost, Nucl. Phys. B341 |
(1990) |
157. |
5.LYa. Arefeva, P.B. Medvedev, A. P. Zubarev, Nucl. Phys. B341 (1990) 464; Phys. Lett. 246B (1990) No. 3, 4.
6.T. Kugo, H. Kunitomo, and K. Suehiro, Phys. Lett 226B (1989) 48.
7.M. Saadi and B. Zwiebach, Ann. Phys. 192 (1989) 213.
8.M. Kaku, Phys. Lett. 250B (1990) 64.
9.B. Zwiebach, Nucl. Phys. B390 (1993) 33.
10.A. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 635.
11.L. Klebanov and A.M. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 3273.
11P. Bouwknegt, J. McCarthy and K. Pilch, Com. Math. Phys. 145 (1992) 541.
13. LYa. Arefeva, |
A. P. Zubarev, Mod. Phys. Lett. A7 |
(1992) |
677; A8 (1993) 1469; |
I.Ya. Arefeva, |
P.B. Medvedev, A.P. Zubarev, Mod. |
Phys. |
Lett. A8 (1993) 2167. |
14.B. Urosevic, Phys. Rev. D15, 47 (1993) 5460; Phys. Rev. D15, 48 (1993) 5827.
15.N. Sakai, Y. Tanii, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 2541.
16.E. Witten, Nucl. Phys. B373 (1992) 187; E. Witten and B. Zwiebach, Nucl. Phys. B377 (1992) 55.