Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

400 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

метризационные длины до их равенства, то обнаруживаем, что тетра. эдрический граф теперь занимает большую часть комплексной плоско, сти. В промежуточной области интерполяционной калибровке соответствует тетраэдрический граф, который гладко связывает калибровки Мр и ЕР. Заметим, что эта ситуация прямо противоположна найденной в полевой теории открытых струн.

Детали этого построения можно найти в [2].

§8.9. ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ И СУПЕРСТРУНЫ

Вгеометрическом формализме так же, как и для открытых струн, мы можем построить тензорное исчисление для замкнутых струн, основанное на тетрадах и связностях. Однако для замкнутых струн новая

характерная черта-это отсутствие необходимости в транкировании или наложении связей извне, т.е. в операциях, являющихся основным недостатком подхода BRST. Ключевая особенность геометрической теории состоит здесь в существовании единственного вакуума для группы Diff(S). Как мы видели, духовые состояния есть не что иное, как коэффициенты Клебша-Гордона для Diff(S), и, следовательно, в геометрическом подходе духовый вакуум не является фундаментальным физическим объектом. В сущности, специфические духовые поля, появляющиеся в BRST-формализме, представляют собой лишь один из нескольких способов получить коэффициенты Клебша-Гордона. Следовательно, духовый вакуум сам по себе не важен.

Тот факт, что духовый вакуум не является фундаментальным объектом, можно видеть уже на уровне открытых струн. Заметим, что контравариантная матрица

упрощается путем перемещения операторов Ln направо до тех пор, пока они не аннигилируют с вакуумом справа. Конечно, в этом процессе возникает огромное количество членов, которые объединяются в матрицу МаР, что приводит к выражению

Очевидно, что всегда можно выбрать <0|0> равным 1, так что М совпадает с Обратим внимание, что мы п р и этом п о л ь з о в а л и с ь только чисто теоретико-групповыми свойствами Diff(S), безо всякого упоминания «духовых вакуумов».

Повторим теперь то же самое вычисление, пользуясь явным духовы^ представлением. Например, выбирая | — > = 10 > и < — | = <0|, получав выражение

что явно бессмысленно. Таким образом, мы не можем H a H B H °J^i пользовать духовый вакуум как замену специального вакуума грУш

00(5). В действительности такой пример показывает, что эрмитово ^пряжение не сохраняет духовое число. Это обусловлено тем, что «счет иухов»-это не внутреннее свойство группы Diff(S), а только свойство ее Медиального представления.

Повторим вычисление, приведенное выше для сектора открытых струн, чтобы найти матричный элемент (уст)ар, но теперь мы будем использовать духовые координаты. На этот раз, извлекая урок из дредыдущег0 примера, предположим, что эрмитово сопряженным к

Мы снова обнаруживаем разрушение матричного элемента при наивном выборе духового вакуума. Таким образом, истинный вакуум Diff(S) не обязан строго соответствовать | — ) или | + ). Еще раз мы находим, что «счет духов» не выживает при эрмитовом сопряжении.

Применим сейчас это значение к сектору замкнутых струн, в котором возможны четыре вакуума:

приводит ко всем трудностям, связанным со счетом духов. Снова начнем рассуждать в рамках геометрического формализма, вооружившись тем фактом, что духовый вакуум и духовая арифметика-это не фундаментальные особенности Diff(S), а только особенности специального представления соответствующей алгебры.

где |0>-вакуум Diff(S). Как и выше, свободный пропагатор имеет вид

гДе мы имеем удвоение операторов дифференцирования. Как обычно, Для образования из данного выражения инварианта необходим коэффи- •Иент Клебша-Гордона. Нам, очевидно, нужны матрицы

(Т% = < е 0 | Л е р > ,

Повторяя рассуждения, найденные для открытой струны, мы видим, что выбрать

выбор не является обычным эрмитовым сопряжением духового Но, как мы сказали выше, единственный критерий заключается

^-787

402 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

в том, чтобы получить постоянные матрицы (уст)ар, преобразующее^ как коэффициенты Клебша-Гордона.

Для случая взаимодействующих струн определим триплет замкнут^ струн, являющийся обобщением рис. 8.1, в котором три струны имеют топологию греческой буквы «тэта». Однако когда мы выписываем струнную группу для замкнутых струн в пространстве петель, возникают нетривиальные осложнения. Во-первых, поскольку замкнутые струны Не имеют концов и могут вращаться, антитриплет не существует. (Триплет в действительности есть свой собственный антитриплет.) Bo-вторьц в пространстве петель не существует антисимметричных структурных констант. Возможны только симметричные тензоры. В-третьих, тождество Якоби не замыкается правильным образом на триплетах. Хотя все это может разочаровывать, на самом деле решение существует.

Определим триплет как три замкнутые струны, которые можно

расположить в виде «восьмерки» (т.е. конфигурации типа светового конуса, в которой три физические длины дают в сумме нуль). Пусть 1123 будет грассмановой переменной, определяемой в точке взаимодействия трех струн на этой восьмерке. Определим симметричный постоянный

1с]С\Сс,2 —fcJClC2C3 1123 •

Тогда струнная алгебра и тождества Якоби имеют вид

{LcrLc2}=?%c2LC3,

[lC ( i ,{LC 2 ,LC 3 ) }] = 0.

Отметим несколько особенностей струнной алгебры. Во-первых, сами структурные константы должны быть грассмановыми. Эта алгебра вовсе не является традиционной алгеброй Ли из-за грассманового определенного в точке расщепления. Тщательно выписав тождества Якоби для трех замкнутых струн (которые содержат теперь как коммутаторы, так и антикоммутаторы) и рассмотрев их граф за графой убеждаемся, что результирующая сумма есть точный нуль.

Вводя в алгебру параметризацию, можно показать, что обычная алгебра Ли, а таинственный оператор, определенный в то распада струн, становится в действительности оператором «вста

духа», известным из теорий замкнутых струн. В [2] мы пока^,ь1Вайе) возможность локализации этой алгебры, а также находим Дей(?* которое вновь есть форма ЧерныСаймонса, ассоциированная с г •

Мы опишем кратко только геометрический подход для 0Г*РЪ ^ суперструн. Снова мы можем ввести тетрады и поля связности с отличием, что все они теперь имеют суперсимметричных партнер

Рис. 8.5. Связь между различными струнными полевыми теориями. Геометрическая струнная полевая теория определяется в пространстве петель. Фиксируя Шибровку геометрической струнной полевой теории и фиксируя параметризацию, мы получаем интерполяционную калибровку (в которой струны имеют произвольные параметризационные длины). Выбирая различные величины параМетризационных длин, можно прийти как к ЕР калибровке (типа калибровки

светового конуса), так и к MP калибровке.

основных физических допущений. Замечательным образом мы обнаруживаем, что вся полевая теория струн и, следовательно, вся теория струн

*** таковая могут быть выведены из двух простых предположений:

Глобальная инвариантность. Поля Л% и е^ должны преобразовываться йо неприводимым представлениям группы Diff(S).

инвариантность. Теория должна быть локально инвариантной ^йосительно действия объединенной струнной группы.

Полную полевую теорию струн можно получить как единственное ^ение, удовлетворяющее этим двум геометрическим принципам.

406 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

В самом деле, первый принцип является достаточно мощным, чтобы определить единственным образом свободное действие. Тогда второй принцип определяет теорию целиком. Следовательно, поиск действия полевой теории струн сводится к теоретико-групповой задаче: нахождению инварианта объединенной струнной группы.

Таким образом, полевая теория струн является калибровочной теорией универсальной струнной группы (USG) в почти таком же смысле в каком теория Янга-Миллса есть калибровочная теория локальной группы SU (N) . В действительности, мы сейчас понимаем, что полевая теория струн выглядит столь отличной от обычной калибровочной полевой теории просто потому, что неприводимые представления и тензорные произведения этих групп различны.

Мы определяем универсальную струнную группу как группу пре-

а объединенную струнную группу как ее суперсимметричное расширение. Далее можно найти генераторы этой группы:

Для построения ковариантных производных мы строим две «связности» для каждой из двух локальных симметрий: Л% для струнно группы и со£ст для репараметризационной группы Diff(S)_ . Это в своК> очередь дает нам право написать для этих двух групп ковариантн производные и тензоры кривизны:

DG = да + Аа,

V = д 4- юр f Р

(8.10.6)

МЫ можем показать наличие строгого соответствия между полями <аЛибровочной теории и полями, возникающими в струнной полевой

^ории:

(8.10.7)

Здесь А^-поле Янга-Миллса, е^ -тетрада, со^-связность, тогда как калибровочное поле струны, струнная тетрада, со{Ца- струнное

поле связности.

Окончательное действие есть

L =

где мы опустили индексы V и тензор 8стре. Сходство между обычной калибровочной теорией и полевой теорией струн можно выразить в следующем виде:

Глобальные преобразования Лоренца Глобальные диффеоморфизмы группы Diff(S),

Локальная 8и(ЛГ)-инвариантность -> Струнная ковариантность,

Общая ковариантность Универсальная ковариантность, Касательное пространство: Лоренцевская симметрия -> Касательное пространство: симметрия Diff(S).

Как и в общей теории относительности, мы видим, что из полей, преобразующихся под действием универсальной струнной группы, Можно построить только один инвариант, который имеет две производные, и этот инвариант есть действие. Более того, правила умножения И интегрирования постулировать не нужно, а можно вывести из фунда- ^нтальных физических принципов.

Трудность, связанная с «перевернутым» подходом, как мы уповали, состоит в том, что многие особенности, появление которых первично квантованной теории естественно, при экстраполяции во орично квантованный подход выглядят странными и надуманными, о происходит потому, что первично квантованный подход является Т^Ибровочно-фиксированным и содержит все атрибуты фиксации ^Ибровки, например духи Фаддеева-Попова. Только после рассмотрегеометрического подхода эти неестественные объекты получают, замечательное математическое объяснение, возникающее из лишь теории групп. Фактически мы найдем, что духовые поля

408 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

Фаддеева-Попова есть не что иное, как коэффициенты Клебша-Гол дона для тензорного произведения неприводимых представлений rpynJ?! в касательном пространстве.

Преимущества геометрического подхода следующие:

(1)Тензорное исчисление единственным образом определяет правила умножения и интегрирования. Таким образом, теория групп и только она, диктует, как умножать и интегрировать неприводимые пред. ставления группы. Нам нет необходимости обращаться к каким-либо «аксиомам».

(2)Основное струнное поле BRST

Фabcdefg..1 jklmn...

больше не является загадочным объектом. Это просто неприводимое представление группы USG, а именно модуль Верма.

(3)Духовый сектор, составляющий довольно странную особенность формализма BRST, можно интерпретировать как касательное пространство геометрической теории. Духи Фаддеева-Попова легко объяснимы на языке теории групп. С другой стороны, арифметика духовых полей является побочным продуктом выбора специального представления теории, а вовсе не ее фундаментальной особенностью.

(4) Отсутствует необходимость налагать связи, которые неизбежны в подходе BRST. Из-за проблемы со связями в подходе BRST не существует приемлемой замкнутой фермионной струны.

(5)Фиксацией калибровки мы можем прийти либо к калибровке MP, либо к калибровке ЕР.

Еще одно преимущество геометрической теории в том, что четырехструнное взаимодействие, как теперь представляется, есть калибровочный артефакт. Оно появляется как аналог мгновенного четырехфермионного кулоновского члена в КЭД при выборе кулоновской калибровки. Для открытых струн четырехструнное взаимодействие возникает, когда мы преобразуем калибровку от MP к ЕР, для замкнутых струнпри переходе в противоположном направлении, от калибровки типа светового конуса к MP-калибровке. Это новое взаимодействие четыре* замкнутых струн имеет топологию тетраэдра и, как показали компью- терные вычисления, в точности заполняет недостающую о б л а е т * интегрирования комплексной плоскости, необходимую для вывод* модели Вирасоро-Шапиро. Таким образом, решается проблема c03^L ния полевой теории замкнутых струн, совместимой с модуляр

в нахождении для струнной теории аналога принципа э к в и в а л е н т н Мы надеемся, что это позволит проводить в струнной те°Рйй пертурбативные вычисления. Предварительные н е п е р т у р б а т и в н ы е ные, полученные в теории инстантонов, из теорем п е р е н о р м и р о в к и

суперсимметричных теорий и другие свидетельствуют о том, что, когда цЫ выйдем за рамки теории возмущений, должны появиться нетривиальные результаты.

Однако еще до того, как можно будет выполнить непертурбативные

к части III, в которой обсудим весьма удивительную физику, возникаюдую при редуцировании теории к четырем измерениям.

ЛИТЕРАТУРА

[1]Kaku М. Geometric Derivation of String Field Theory from First Principles. I: Curvature Tensors and the Tensor Calculus, HEP-CCNY-14, August 1986; II: Superstrings Without Constraints, CCNY preprint, February 1987.

[2]Kaku M. Geometric Derivation of String Field Theory from First Principles. Ill: Closed Strings and Modular Invariance, and III: Space-Time Supersymmetry. См. также Kaku M., Lykken J. Phys. Rev. 38D, 30 (1988).

[3]Kaku M. Phys. Lett. 200B, 22 (1988); Phys. Rev. 38D, 3052 (1988).

[4]Kaku M. Geometric String Field Theory: Deriving String Theory from First Principles, in Superstrings (ed. by K.T. Mahanthappa and P. Freund), Plenum, New York, 1988.

[5]Kaku M. Deriving the Four-String Interaction from Geometric String Field Theory, CCNY preprint, 1987.

[6]Кас V. Lect. Notes in Phys. 94, 441 (1979); Springer-Verlag; Infinite Dimensional Lie Algebras, Birkhauser, Boston, 1983. [Имеется перевод: В. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли-М.: Мир, 1993.]

[7]Rocha-Caridi A., Wallach N.R. Math. Z. 185, 1 (1984).

[8]Dolan L. Compactified String Theory, Lectures at the Lewes Workshop on Superstrings, World Scientific, Singapore, 1985.

[9]Kaplansky I. Commun. Math. Phys. 86, 49 (1982).

[10]Другие геометрические подходы, существенно отличающиеся от предыдущих, см. в: Bardak9i, Nucl. Phys. В284, 334 (1987); В297, 583 (1988).

[Н] Bars I., Yankielowicz S. Phys. Rev. 35D, 3878 (1987).

[12] Gervais J. L., Nucl. Phys. B276, 339 (1986); Nucl. Phys. B276, 349 (1986); LPTENS 86/26; LPTENS 86/29.

p4 Dine M., Seiberg N. Phys. Rev. Lett. 55, 366 (1985); Phys. Lett. 162B, 299 (1985). U4] Dine M., Seiberg N., Wen W.G. and Witten E. Nucl. Phys. B278, 769 (1986).