Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

поскольку этот сдвиг может быть представлен как переопределение целых чисел и,. Запишем теперь эту функцию в терминах ее фурье-пре- образования F:

Теперь мы хотели бы подставить F в выражение для однопетлевой вакуумной амплитуды. Мы должны вычислить след гамильтониана,

482 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

ве-времени):

(Ю.7.3)

причем (К1)2 = 2,

(Ю.7.4)

z= e2/(x+CT),

акоцикл С (К) пока не конкретизирован. Отметим, что векторы К1 по

определению задают 480 направлений на 16-мерной корневой решетке. Теперь мы потребуем, чтобы 16 элементов р1 картановской подалгебры и 480 генераторов Е(К), сопоставляемых корням К1, удовлет-

воряли коммутационным соотношениям группы Е8® Es . Это в свою очередь позволит определить оператор С. Попробуем

Шевалле и потребовали, чтобы наш анзац для Е(К) удовлетворял им. Нетривиальным является то, что решение этих уравнений действительно существует, и это фиксирует вид С.

Давайте опустим множитель С и посмотрим, сможем ли мы удовлетворить коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что при

где интегрирование no w выполняется так, что | z | > | w \ в первом 4Jie®f и | z | < | w | во втором члене. Внимательно рассматривая последи выражение, находим, что мы удовлетворили всем тождествам баЗЙ Шевалле, только статистика оказалась нарушенной. Вместо к о М ^ таторов возникают антикоммутаторы. Именно поэтому мы и До Л 5 *^ ввести множитель С (К). Условие, которое необходимо

484 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

новую теорию струн, такую, чтобы она была модулярно инвариантной но могла бы иметь другую калибровочную группу и другие свойства?

Ранее мы видели, что левый сектор гетеротической струны, описьь ваемый обычно с помощью бозонного поля X 1 , можно записать в терминах фермионных полей. Теперь мы хотим показать, что, изменяя граничные условия для фермионных полей, можно получить другую 10-мерную теорию струн, по-прежнему являющуюся модулярно инвариантной, но с полностью нарушенной суперсимметрией. При этом калибровочная группа Е8®Е8 нарушена до 0(16) х 0(16). Преимущество этой новой версии заключается в том, что теория становится свободной от аномалий и не содержит тахионов. (Однако она не является ни суперсимметричной, ни конечной.) Такую теорию струн можно рассматривать как некоторую разновидность гетеротической струны.

Введение этой новой струны основано на наблюдении гл. 5, состоящем в том, что теория NS-R (без проекции GSO) не является ни модулярно инвариантной, ни суперсимметричной. Выбор граничных условий NS-R обычно осуществляется только для координаты а. Однако в общем случае модулярное преобразование отображает область (сг,т) на (т,сг). Поскольку модулярное преобразование может поменять ролями а и т, следует быть осторожными при выборе граничных условий также и по координате т. Таким образом, непосредственное суммирование по состояниям NS-R в замкнутой петле будет в общем случае нарушать модулярную инвариантность.

Если мы рассмотрим замечания, сделанные в разд. 5.9, то получим, что прямое взятие следа только подсчитывает комбинации

Однако модулярное преобразование может переставить эти граничные условия. Преобразование

заменяет (NS,NS) на (NS, R). Это соответствует разрезанию тора вдоль линии т = const и склейке после поворота на угол 2к. С другой стороны, преобразование

меняет ролями а и х и, следовательно, заменяет (NS, R) на (R, NS). хотим просуммировать по всем четырем возможным условиям:

Такая комбинация граничных условий является модулярно инвариант

яой, так как модулярное преобразование просто меняет граничные условия для таких полей.

Чтобы вычислить след для измененных граничных условий, мы всегда можем вставить оператор (—1)F, где F-фермионное число, что обращает граничные условия по т на противоположные. След вы-

Таким образом, полная сумма по всем четырем граничным условиям получается сложением Trx* и Тг(—1)fjc* :

Подчеркнем, что оператор (— 1)F, вставленный в (10.8.6) под знак суммы, в точности совпадает с проекционным оператором Грина- Шерка-Олива (GSO)!

Следовательно, проекционный оператор GSO не только устраняет состояния с неправильной статистикой или удаляет тахионы. Мы видим, что GSO-проекция делает однопетлевую амплитуду замкнутой струны модулярно инвариантной. Обобщение этого утверждения указывает на необходимость одновременного использования как сектора NS, так и сектора R для получения модулярной инвариантности. Как только

введены периодические и непериодические граничные условия, мы должны использовать все четыре варианта граничных условий для получения модулярной инвариантности, поскольку теория, содержащая только состояния NS, не является, по-видимому, ни модулярно инвариантной, ни унитарной.

Обобщим теперь эти замечания на случай гетеротической струны. Мы хотим построить теорию, которая нарушает суперсимметрию, но оставляет нетронутой модулярную инвариантность [11,12]. Начнем с формулировки теории, имеющей фермионы как в пространственновременном, так и в изотопическом секторах. Выберем правый сектор rf® 10 гетеротической струны от теории GS, а 16-мерный изоспиновый ^ктор пусть будет представлен фермионными полями (более предпочтительными здесь, нежели бозоны). При этом изменением граничных условий можно более легко строить модулярно-инвариантные теории (вычисления с бозонными полями в изотопическом секторе являются более сложными, поскольку для бозонных полей мы не имеем такой Красивой интерпретации модулярной инвариантности).

Введем элемент R, такой что R2 = 1, который вместе с единицей образует дискретную группу Z2 . По построению мы выбираем только ^ подпространства теории, на которых собственные значения опера- ТоРа R равны 1. Это неизбежно нарушит группу Е8® Е8. Но использование различных граничных условий позволит нам сохранить моду- ^Рную инвариантность.

Выберем R в виде произведения двух операторов, первый из кото-

486 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

рыхОператор поворота на угол 2к в касательном пространстве, btq- рой-оператор преобразования в изотопическом пространстве:

aJ12-генератор пространственно-временного поворота. Пусть у§ лежат

вкартановской подалгебре калибровочной группы:

75 = е2**'*'.

Отметим, что этот оператор просто генерирует смещение на 2кб1 вдоль координаты х1.

Потребуем теперь, чтобы калибровочная группа коммутировала с элементом R группы Z2 . Конечно, условие перестановочности с R нарушает исходную калибровочную группу, потому что R содержит

Даже после выбора сектора теории с R = 1 возможно использование различных комбинаций граничных условий, согласованных с модулярной инвариантностью. Однако многие из них включают тахионы, т.е. состояния с 52 = 1. Только при выборе

52 = 2 (10.8.10)

получаем теорию, не содержащую тахионов. Такой выбор дает бестахионную теорию, поскольку в твистованном состоянии вакуум правого сектора в —1/2 не согласован с вакуумом левого сектора в — 1 + 52 = 0. Таким образом, условие L0 = L0 отбрасывает тахионное состояние.

Обозначим состояния так: (пространство-время; 0(16), 0(16)). Поля X1 и х'1 фермионной струны преобразуются как

(16,1)+ (1,16)

относительно группы 0(16) х 0(16).

Построим теперь R = 1 подпространство теории. Это означает, что все нетвистованные комбинации появляются с обычными м н о ж и т е л я м и

Этот набор безусловно нарушает модулярную инвариантность. В o6fflej* случае мы должны иметь 2 x 2 x 2 = 8 комбинаций. В твистоваяяо ^ секторе мы должны восстановить модулярную инвариантность с™

^рованием по остающемуся набору граничных условий. Выполним преобразование NS<->R. Возьмем следующие комбинации с противоположным набором состояний, сохраняющихся при проекции (— 1)F:

(NS; NS, R).

функция распределения для этой модели может быть вычислена суммированием по нетвистованным состояниям с R = 1, т. е. именно по тем состояниям 0(16) х 0(16), которые сохраняются при факторизации по z2. Потом, чтобы получить модулярную инвариантность, мы должны добавить твистованный сектор.

Спектр состояний с R = 1 в этой теории может быть легко вычислен. Для безмассовых состояний мы находим, что нетвистованный сектор с периодическими правыми фермионами дает:

(1)8„ калибровочных бозонов в представлении (120,1) + (1,120),

(2)$5 фермионов в представлении (128,1) + (1,128) и

(3)бозонную часть супергравитационного мультиплета (д^, В ф ) .

Отметим, что мы имеем только бозонную часть супергравитационного мультиплета, что указывает на отсутствие суперсимметрии в теории.

Для твистованного сектора с антипериодическими фермионами в правом секторе мы имеем только 8S фермионов в представлении (16,16).

Когда мы проведем вычисления, подставляя эти проекции в функцию распределения, то получим

где тэта-функции возникают при вычислении следа Tr enLo + nLo. Первый Член возникает из нетвистованного сектора. Заметим, что он не является Модулярно инвариантным. Последние два члена возникают из твисто- *анного сектора. Подчеркнем, что только их комбинация является модулярно-инвариантной. Таким образом, суммируя по всем возможным комбинациям секторов, мы получаем модулярно-инвариант- Ч^о теорию. Однако, как можно видеть из отсутствия безмассового ^авитино, эта модель нарушает суперсимметрию. Это также означает,

в теории будут дилатонные головастики, которые теперь не сокра-

Тот факт, что эта модель свободна от аномалий, несколько неожидан * Подчеркивает важную роль множителя п — 496 в (9.6.36) при выборе

488 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

калибровочной группы. Однако 0(16) х 0(16) имеет другой набор аномальных членов. Во-первых, число 496 в (9.6.36) появилось из-за присутствия гравитино, не дающего вклада в аномалию из-за массивности и не являющегося партнером гравитона. Во-вторых, вклад фермионов который обычно равен п, сейчас равен нулю. Это происходит из-за того' что безмассовые фермионы помещены в мультиплеты (16,16) с положительной киральностью в твистованном секторе и в мультиплеты (1,128), (128,1) в нетвистованном секторе. Таким образом, вклад в аномалию становится равным нулю:

496 — п-+ 162 - 128 - 128 + 0 = 0.

(Хотя вклад в киральную аномалию обращается теперь в нуль, это не означает, что киральные члены сокращаются. Это связано с тем, что фермионы принадлежат различным представлениям калибровочной группы.) И наконец, поскольку рассматриваемая группа принадлежит

к классу ортогональных групп O(N), нетрудно вычислить Х8 = ^ T r F 4

иповторить изложенные выше рассуждения. Резюмируем свойства этой модели:

(1)Модулярная инвариантность (в силу того, что мы добавили в однопетлевую амплитуду все восемь возможных вкладов как из твистованного, так и из нетвистованного сектора).

(2) Отсутствие тахионов (так как для них не выполняется условие

L0 ~ L0).

(3)Отсутствие суперсимметрии (так как гравитино массивно).

(4)Отсутствие аномалий (поскольку вклады от фермионов спина 1/2

в сумме дают нуль, а гравитино вклада не дает).

(5)Отсутствие конечности (в силу того, что мы не можем использовать

суперсимметрию для уничтожения инфракрасных расходимостей).

§ 10.9. ЛОРЕНЦЕВЫ РЕШЕТКИ

До сих пор мы обсуждали гетеротические струны, в которых один сектор компактифицирован от 26 до 10 измерений. Далее в соответствии с общепринятым подходом мы должны компактифицировать 10-мерное пространство до D-мерного пространства-времени. Однако существует другая интересная возможность: непосредственно к о м п а к т и ф и ц и р о в а т ь

26- и 10-мерные пространства к D измерениям с самого начала, минуя промежуточную стадию. В этом и состоит подход Нараяна [13,14J» позволяющий получить калибровочные группы ранга 26 — D, большего, чем у рассматривавшейся до сих пор группы Е8® Е8 .

Начнем с рассмотрения обоих 26- и 10-мерного секторов и компак тифицируем их к D пространственно-временным измерениям. Тогда левый сектор имеет 26 — D = р, а правый сектор 10 — D = q к о м п а к т и фицированных измерений. Параметризуем к о м п а к т и ф и ц и р о в а н н ы

рованных пространственно-временных измерений в обоих секторах равно D.

Потребуем теперь, чтобы оператор L0 — L0 аннулировал состояния, поскольку выбор начала отсчета координаты от для замкнутой струны

Отметим, что все эти уравнения редуцируются к уравнениям для обычной гетеротической струны, если взять р = 16, q = 0.

Покажем теперь, что окончательный результат модулярно инвариантен. Это приводит к новому ограничению на решетку, которая пока еще остается произвольной. Однопетлевое вычисление (10.6.2), выполненное для общего случая, практически совпадает с результатом для обычной гетеротической струны. Тщательный анализ показывает, что в общем случае мы получим новый множитель

Из -за этого добавочного знака «минус» метрика на решетке является ^лоренцевой», а не евклидовой. (Для обычной гетеротической струны ^ равняется нулю, поэтому мы никогда не сможем увидеть лоренцев характер решетки.)

И наконец, если мы применим модулярное преобразование

— т"1 , то найдем, что решетка должна быть автодуальной. Короче говоря, модулярная инвариантность на однопетлевом уровне сохраняется, если мы возьмем четную автодуальную лоренцеву решетку.