Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

(3)Все классические решения теории струн должны быть перечислены и должно быть найдено решение, правильно воспроизводящее все свойства стандартной модели при низких энергиях.

(4)Полевая теория струн должна быть распространена на непертурбативную область для того, чтобы вычислить истинный вакуум теории.

(5)Необходимо дальнейшее развитие теории тэта-функций для нахождения сумм рядов теории возмущений и получения непертурбативной информации о вакууме, а также изучение универсального пространства модулей и грассманианов.

ЛИТЕРАТУРА

[1]Candelas P., Horowitz G., Strominger A. and Witten Е. Nucl. Phys. B258, 46 (1985).

[2]Horowitz G. In: Unified String Theories (ed. by M. Green and D. Gross), World Scientific, Singapore, 1986.

[3]Chapline G.F., Manton N.S. Phys. Lett. 120B, 105 (1983).

[4] Calabi E. Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of

S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957.

[5]Yau S.-T. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 74, 1798 (1977).

[6] Yau S.-T. In: Symposium on Anomalies, Geometry, and Topology (ed. by

W. A. Bardeen and A. R. White), World Scientific, Singapore, 1985.

[7]Hosotani Y. Phis. Lett. 126B, 303 (1983).

[8]Dixon L., Harvey J., Vafa C. and Witten E. Nucl. Phys. B261, 678 (1985); B274, 286 (1986).

[9]Vafa C. Nucl. Phys. B273, 592 (1986).

[10]Ibanez L.E., Nilles H.P. and Quevedo F. Phis. Lett. 187B, 25 (1987).

[11]Ibanez L. E., Kim J. E., Nilles H. P. and Quevedo F. Phys. Lett. 191B, 282 (1987).

[12]Li D.X. Phis. Rev. D34 (1986).

[13]Li D.X. In: Super Field Theories (ed. by H.C. Lee), Plenum, New York.

[14]Nair V. P., Sharpere A., Strominger A and Wilczek F. Nucl. Phis. B287, 402 (1986).

[15]Greene B.R., KirklinK.H., Miron P.J. and RossG.G. Phys. Lett. 180B, 69 (1986); Nucl. Phis. B287, 667 (1986).

[16]Strominger A. Phis Rev. Lett. 55, 2547 (1985).

[17]GinspargP. Harvard preprint HUTP-86/A053, 1986.

[18]Karlara S., Mohapatra R.N. Phis. Rev. D, LA-UR-86-3954, 1986.

[19]Dine M., Kaplunovsky V., Mangano M., Nappi C. and Sieberg N. Nucl. Phys. B259, 46 (1985).

[20]Cecotti S., Deredinger J. P., Ferrara S., Girardello L. and Roncadelli M. Phys. Lett. 156B, 318 (1985).

[21]Deredinger J.P., Ibanez L. and Nilles H.P. Nucl. Phys. B267, 365 (1986).

[22]Breit J., Ovrut B. and Segre G. Phys. Lett. 158B, 33 (1985).

[23]Strominger A., Witten E. Commun. Math. Phys. 101, 341 (1985).

[24]Segre G. Schladming Lecture notes (1986).

[25]Kawai H., Lewellen D.C. and Туе S.H.H. Phys. Rev. Lett. 57, 1832 (1986); Phys. Rev. D34, 3794 (1986); Nucl. Phys. B288, 1 (1987); Phys. Lett. 191B, 63 (1987).

[26]Lerche W., Lust D. and Schellekens A.N. Nucl. Phys. B287, 477 (1987).

[27]Antoniadis I., Bachas C. and Kounas C. Nucl. Phys. B289, 87 (1987).

[28]Antoniadis I., Bachas C. CERN-TH-4767/87, 1987.

[29]KounnasC. Berkeley preprint UCB-PTh 87/21, 1987.

[30]Antoniadis I., Bachas С., Kounnas С. and Windey P. Phys. Lett. 171B, 51 (1986).

[31]Narain K.S., Samardi M.H. and Vafa C. Nucl. Phys. B288, 55 (1987).

[32]Bluhm R., Dolan L. and Goddard P. Nucl. Phys. B289, 364 (1987).

[33]Castellani L., D'Auria R., Gliozzi F. and Sciuto S. Phys. Lett. 168B, 77 (1986).

[34]Dixon L., Kaplunovsky V. and Vafa C. SLAC-PUB-4282.

[35]Kac V.G., Todorov I.T. Commun. Math. Phys. 102, 337 (1985).

[36]Freund P.G.O. Phys. Lett. 151B, 387 (1985).

[37]Casher A., Englert F., Nicolai H. and Taormini A. Phys. Lett. 162B, 121 (1985).

[38]Englert F., Nicolai H. and Schellekens A. Nucl. Phys. B274, 315 (1986).

[39]Lust D. Nucl. Phys. B292, 381 (1987).

[40]Chang N. P., Li D.X. Models of Non-Abelian Orbifolds, CCNY-HEP-87-15.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поскольку математический аппарат теории суперструн достиг головокружительных высот, используя понятия из наиболее абстрактных разделов современной математики, мы включили это краткое приложение, чтобы помочь читателю понять математическую природу некоторых концепций, введенных в этой книге. Мы просим читателя извинить нас за то, что мы вынуждены были в некоторой степени пожертвовать математической строгостью, чтобы охватить в кратком очерке широкий круг вопросов. Однако заинтересованный читатель может найти опущенные подробности в некоторых перечисленных в конце настоящего приложения источниках.

§ ПЛ. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП

Группой G называется совокупность элементов gt со следующими свойствами:

(1)Существует тождественный (единичный) элемент /.

(2)Эта совокупность замкнута относительно умножения: 01 х 02 = 0з-

(3)Для каждого элемента существует обратный ему элемент:

9t х дг1 = / .

(4) Умножение ассоциативно:

(9t х 9 j ) * gfc = 9i x ( f f j x g k ) .

Существует много разновидностей групп. В частности, имеются дискретные группы, содержащие конечное число элементов, и непре-

рывные группы, например группы Ли, содержащие бесконечное число элементов. Примерами дискретных групп служат:

(1)Знакопеременные группы Z„, основанные на множестве перестановок п объектов.

(2)26 спорадических групп, среди которых не наблюдается к а к о й - л и б о регулярности. Самая большая и наиболее интересная из спорадиче-

ских групп-это группа Fu которую обычно называют «Монстр»» она содержит

2 4б.3 2о.5 9.7 б. П 2 . 1 3 з . 17-19-23-29-31 -41-59-71

элементов.

564 Приложение

независимых элементов. Поэтому мы всегда можем выбрать множество 1-п(п — 1) линейно независимых матриц, называемых образующими (или

Вещественные числа р1 называются параметрами группы, так что группа О (п) имеет (1/2) и (и— 1) параметров. Число параметров группы Ли называется ее размерностью. Коммутатор любых двух образующих дает другую образующую:

Коэффициенты р1 называются структурными константами соответствующей алгебры. Заметим, что структурные константы полностью определяют эту алгебру.

Заметим, что если взять циклическую комбинацию трех коммутато-

Раскрывая коммутаторы, убеждаемся, что все члены сокращаются, давая тождественный нуль. Это тождество называется тождеством Якоби, и оно должно выполняться, чтобы группа была замкнутой. Раскрывая тождество Якоби, получаем ограничение на структурные константы; если оно не соблюдается, группа не будет замкнутой:

Разумеется, множество ортогональных матриц замкнуто относительно умножения. Труднее доказать, что данная частная параметризация ортогональной группы с образующими и параметрами замкнута относительно умножения. Запишем

А плюс В плюс все возможные кратные коммутаторы А и В. Но поскольку А и В удовлетворяют тождествам Якоби, то множество всех кратных коммутаторов А и В порождает только линейные комбинации образующих. Тем самым группа замыкается относительно умножения.

Заметим, что структурные константы алгебры образуют некое представление, называемое сопряженным представлением, если записать

Таким образом, структурные константы сами по себе дают некое представление указанной алгебры.

Для антисимметричной матрицы МаЬ мы всегда можем выбрать

566 Приложение

Легко проверить, что этот новый элемент позволяет построить все матрицы М для группы О (2п + 1).

Теперь попробуем построить объекты, инвариантные относительно действия этой группы. Ортогональные преобразования сохраняют ска-

где метрический тензор есть 5,,. В принципе, можно было бы также взять метрический тензор с чередующимися знаками вдоль диагонали, г|0, что породило бы некомпактное пространство параметров. Если т|у содержит N положительных и М отрицательных элементов, то множество матриц, сохраняющих эту форму, называется О (N, М):

знаки чередуются, то полученная группа некомпактна. Частные случаи включают:

Например, группу де Ситтера можно построить, взяв образующие группы О (4,1) и затем записав пятый компонент в виде

Заметим, что полученная алгебра почти совпадает с алгеброй группы Пуанкаре. Действительно, если сделать подстановку

Параметр г называется радиусом де Ситтера. Отсюда следует, что, обойдя окружность в пространстве де Ситтера и вернувшись в исходную точку, мы обнаружим поворот посредством преобразования Лоренца относительно исходной ориентации. Заметим, что если г уходит на бесконечность, то получается группа Пуанкаре. Таким образом, г соответствует радиусу пятимерной вселенной, которая становится неотличимой от плоского четырехмерного пространства Пуанкаре при г-* оо. Этот предельный переход называется сжатием ВигнераИнону, и он будет широко использоваться в теориях супергравитации. После этого сжатия группа де Ситтера становится группой Пуанкаре.

SU(«)

Группа SU (п) состоит из всех возможных комплексных (п х п)-мат- риц, имеющих единичный детерминант и являющихся унитарными:

Обозначение этой группы расшифровывается как «специальные унитарные п х п матрицы с комплексными коэффициентами». Всякая унитарная матрица может быть записана как экспонента от эрмитовой матрицы fP = Н:

Пусть п элементов комплексного вектора щ линейно преобразуются под действием группы SU(«):

Совокупность п комплексных векторов ut образует фундаментальное представление этой группы. Тогда можно построить следующий инвариант:

Метрическим тензором для скалярного произведения снова будет 5,,. Если заменить на противоположные некоторые из знаков этой диагональной матрицы, то группы, сохраняющие такой метрический тензор, обозначаются SU(AT, М). Примером служит конформная группа SU(2,2).

Всякая комплексная бесследовая эрмитова матрица размера п х п имеет п2 — 1 независимых элементов и поэтому может быть записана через п2 — 1 линейно независимых матриц А,,. Итак, любой элемент группы SU (п) может быть записан в виде

Тогда теорема Бейкера-Хаусдорфа гарантирует, что эта группа замкнута относительно указанной параметризации и что алгебру группы SU (п) можно записать в виде

Как и прежде, знание структурных констант определяет эту алгебру полностью.

Можно также построить представление группы SU (п) из спиноров. Для группы О (2п) группа SU (п) является подгруппой. Если построить элементы

Sp(2 п)

Симплектические группы определяются как множество вещественных матриц S размера 2п х 2и, сохраняющих антисимметрическую метрику

Л:

СОВПАДЕНИЯ

К счастью, существует ряд «совпадений», позволяющих установить локальные изоморфизмы между группами. Например, О (2) локально изоморфна U(l):

Чтобы это увидеть, просто заметим соответствие между матричными элементами групп О(2) и U(l):

Простейший способ это доказать-заметить, что спиновые матрицы Паули от, суть комплексные (2 х 2)-матрицы с теми же коммутационными соотношениями, что и алгебра группы О(З). Так,

где матрица в левой части-это ортогональная (3 х 3)-матрица, а в правой части стоит унитарная матрица.

Чтобы это доказать, заметим, что образующие Mlj группы О (4) можно разбить на два набора:

Заметим, что матрицы А и В по отдельности порождают алгебру Ли группы О(З) и что

Тем самым можно параметризовать любой элемент группы О (4) таким образом, что он представляет как произведение двух элементов коммутирующих экземпляров группы О(З). Итак, мы доказали, что любой элемент группы О (4) расщепляется в произведение двух элементов коммутирующих экземпляров группы SU(2).

К сожалению, эти совпадения являются скорее исключением, нежели правилом, для групп Ли. Перечислим некоторые из этих совпадений: