Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

что есть в точности калибровочное преобразование электромагнитного поля группы U(l). Поскольку существует только одно 5-мерное действие, имеющее группу симметрии U(l) и содержащее производные не выше второго порядка, мы приходим к выводу, что теория Эйнштейна, записанная в пяти измерениях, сводится к теории Максвелла, соединенной с четырехмерной теорией гравитации. Например, в этом приближении можно точно вычислить некоторые из символов Кристоффеля:

Следовательно, в этом приближении можно редуцировать пятимерную теорию Эйнштейна явно. Находим

- 1 2к2

Таким образом, электромагнитное поле в четырехмерном пространстве возникает в результате компактификации пятимерной теории гравитации.

Аналогично можно обобщить этот результат на N-мерное многообразие, содержащее в качестве подмногообразия компактифицированное многообразие КР меньшей размерности Р:

Если это так, то можно проанализировать калибровочную группу, возникающую в результате этого разбиения, и можно получить ортогональные или унитарные группы. Можно показать, что на этом пути теория Янга-Миллса возникает из многомерной теории гравитации.

Хотя формализм Калуцы-Клейна элегантно объединяет теорию Янга-Миллса и теорию гравитации в рамках одной конструкции, этот подход имеет серьезный недостаток, относящийся еще к первоначаль-

ному варианту Калуцы, а именно: почему пятое измерение вдруг скручивается в крошечную окружность? Предположение Клейна о том, что компактификация в окружность с радиусом, равным п л а н к о в с к о й

длине, происходит в силу квантовомеханических причин, было важным» но вопрос о том, как это происходит, остался без ответа. С это проблемой, впервые возникшей 65 лет назад, мы все еще сталкиваем в теории суперструн.

Далее мы хотим обсудить вопрос компактификации в рамках теории струн [5], которая должна быть редуцирована от 26 или 10 к 4 измередйям. Сначала изучим компактификацию /-й координаты открытой струны:

тования импульса, компоненты которого становятся кратны целым числам М, :

^ = МK i -

где Rt- радиус окружности, пробегаемой i-й координатой. Все это в точности совпадает с изложенным выше. Вообще говоря, радиусы компактифицированных измерений не обязаны быть одинаковыми. Как и выше, мы также находим, что из-за компактифицированных измерений спектр масс теории сдвинут. Анализируя гамильтониан, видим, что выражение для масс дается формулой

Таким образом, спектр масс сдвинут на величину, пропорциональную сумме квадратов целых чисел, как и в (10.1.9).

Для замкнутой струны, однако, мы имеем дополнительный вклад в массу. Это связано с тем дополнительным усложнением, что замкнутая струна может Nt раз обходить вокруг /-го компактифицированного измерения аналогично тому, как резиновая лента обматывается вокруг Цилиндрической трубки. Важно отметить, что эта конфигурация, приводящая к новому члену в гамильтониане, не имеет аналога в случае компактификации точечных частиц. Поэтому для замкнутой струны мы имеем

X1 = х1 + 2а'р1 т + 2 NtRa

® Результате компактификации замкнутой струны получаем два целых числа Mi и Nt. Целое число Nt описывает солитонное состояние струны, ^Мотанной вокруг компактифицированного измерения целое число раз. ^Метим, что это солитонное состояние стабильно в силу тополо- ^еских причин.

ранства на тор. Однако эта схема компактификации феноменологически нежелательна, поскольку приводит к N = 4 суперсимметрии и, следовательно, отсутствию киральных фермионов. Желательно компактифицировать на более сложные пространства, генерируемые, например, решетками групп Ли (см. приложение). Вернемся к гетеротической струне, где используется компактификация на тор, генерируемый решеткой группы Es ® Es или Spin (32)/Z2 .

§ 10.2. ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА

Перейдем теперь к обсуждению гетеротической струны Гросса, Харви, Мартинека и Рома [6]. В предыдущей главе мы видели, что для сокращения аномалий необходимо использовать либо группу 0(32), либо группу Eg (х) Е8 . Однако мы также видели, что введение множителей Чана-Патона невозможно для исключительных групп. Следовательно, для генерирования изоспиновой группы Е8 ® Е8 необходимо использовать механизм компактификации.

Гетеротическая струна является замкнутой струной с необычными чертами, обусловленными раздельной компактификацией левого и правого секторов. В левом секторе, являющемся чисто бозонным, возьмем 26-мерную струну, у которой 16 измерений скомпактифицированы на тор, генерируемый решеткой. (16-мерная решетка, которую мы в конечном счете выберем, будет решеткой группы Е8 ® Es или группы Spin(32)/Z2.)

Сектор правых мод, с другой стороны, является суперсимметричным,

Здесь индекс /, помечающий направления на 16-мерной решетке, пр0^ бегает от 1 до 16, а /, являющийся пространственно-временным инде* сом, пробегает в калибровке светового конуса от 1 до 10 — 2 = 8.

Отметим, что пространственно-временное струнное поле X1 появляется как в левом, так и в правом секторах. Собирая все вместе, в калибровке светового конуса для гетеротической струны получаем следующее действие:

В этом действии мы должны учесть связи, наложенные на различные поля соответствующих секторов:

Это действие инвариантно относительно преобразования суперсимметрии

5Х1 = (р + )~1/2lylS,

Приведем теперь явный вид разложения полей теории в терминах нормальных мод (заметим, что мы изменили нормировку спиноров по сравнению с (3.8.8)):

Вид канонических коммутационных соотношений теории можно извлечь прямо из действия. Используя их, можно в свою очередь ^писать канонические коммутационные соотношения для осцил- "«торных мод:

[ * V ] = ;8'\

464 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

[ a j . a i ] = n5„._m 5",

{S°n,Sbm} = (y+hyb8n<_m,

где Л-оператор проекции на состояния определенной киральности

h = \{ l + Y n ) .

(Есть один коммутатор, требующий особого внимания. Отметим что на компактифицированные степени свободы наложены связи, соответствующие рассмотрению только левых мод. Поэтому при квантовании этих мод следует учитывать наложенные связи, иначе теория будет противоречивой. К счастью, единственное изменение, к которому приводят эти ограничения, заключается в умножении правой части канонических коммутационных соотношений на 1/2:

Это может быть проверено непосредственно при использовании формулировки связей в терминах скобки Дирака или проверкой того, что определенный по-новому коммутатор согласован со связями.)

Определим оператор числа состояний для каждого сектора:

Это означает, что осцилляторы в обоих секторах можно разбить на три группы следующим образом:

Используя эти определения, находим, как и ранее, что масса может быть записана в виде

К тому ж е вследствие замкнутости струны имеется д о п о л н и т е л ь н а я связь: теория не должна зависеть от выбора начала отсчета к о о р д и н а т ы а, как в (2.8.7). Так, если U(0)-оператор, поворачивающий замкнутУ^ струну, параметризуемую а, на угол 0, то физические состояния должн

466 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

обход вокруг тора в направлении / до тех пор, пока мы не вернемся в исходную точку.

Поэтому канонические импульсы должны быть определены фор. мулой

где mf-целые числа, а е*1 определяют дуальную решетку А*, так что

Здесь необходимо отметить, что используемая при компактификации решетка не является произвольной. Во-первых, она должна быть четной решеткой в силу уравнения связи (10.2.13), возникающего из требования инвариантности гильбертова пространства относительно сдвигов вдоль ст. Заметим, что оператор L/(0) в (10.2.11) можно положить на пространстве Фока равным единице, только если (\/2)(р!)2 = целое число, т.е.

Следовательно, числа намотки L1 должны быть координатами векторов на целочисленной четной решетке.

Метрический тензор для решетки, соответствующей группе Ли, определяется как

Получаем, следовательно, что компоненты метрики должны быть целочисленными, а четными. Во-вторых, вследствие модулярной инвариантности решетка должна быть автодуальной (т. е. векторы на решетке должны быть равны векторам на дуальной решетке), что станет более очевидным после обсуждения однопетлевой диаграммы в § 10.6. Существует очень мало четных автодуальных решеток. Они о п р е д е л е н ы только в 8п измерениях. В восьми измерениях известна только одна решетка Г8 , являющаяся корневой решеткой группы Е8. В ш е с т н а д ц а т и измерениях существует только две таких решетки,

соответствующих группам £ 8 ® е 8 и Spin(32)/Z2. Поэтому мы очень ограничены в выборе калибровочной группы.

Есть различные способы описания решетки корней для группы Е8. Один из простейших заключается в следующем. Мы задаем 84 корневых вектора в виде

Добавляя 8 векторов из картановской подалгебры, получаем в итоге 248 генераторов, образующих присоединенное представление группы Es .

Далее в этой главе мы используем понятие просто сплетенных групп, т.е. групп, все корни которых имеют равную длину. Такими группами являются группы типа A, D и Е (см. приложение).

Перечислим решетки, определяющие группы Ли, с которыми мы встретились при обсуждении гетеротической струны:

^и решетки важны, поскольку условие С/(0) = 1 вынуждает нас брать Четные решетки, а условие модулярной инвариантности заставляет (как

**** увидим в § 10.6) налагать на них условие автодуальности:

Р^етками являются корневые решетки групп Е8® Е8 и Spin (32)/Z2. зо*

468 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

§ 10.3. СПЕКТР СОСТОЯНИЙ

Изучим теперь спектр состояний теории. Прежде всего заметим, что правый сектор теории обладает явной пространственно-временной суперсимметрией. Варьируя по полям, нетрудно получить генераторы пространственно-временной суперсимметрии, что позволит нам, как мы видели в предыдущих главах, построить ток, соответствующий данной симметрии. Ранее в (3.8.22) мы нашли, что операторы суперсимметрии действующие в правом секторе, в калибровке светового конуса могут быть записаны в виде

Анализируя левый сектор, отметим, что изоспин вводится совершенно иным образом, нежели множители Чана-Патона. В отличие от обычного подхода ЧанаПатона, где амплитуды просто умножаются на след от произведения генераторов, изоспиновые множители, возникающие в процессе компактификации, увеличивают число изотопически допустимых состояний до астрономических размеров. Заметим, что изотопический индекс / является индексом мод а[, что сильно увеличивает число допустимых состояний фоковского пространства.

Вообще говоря, поскольку левый и правый секторы фактически не связаны друг с другом, векторы состояний фоковского пространства гетеротической струны будут тензорным произведением векторов состояний из левого и правого секторов:

При рассмотрении низшего уровня изучим сначала правый сектор. Как и ранее в (3.8.13) и (3.8.14), восемь фермионных | а) и восемь бозонных | /) состояний в основном состоянии суперструны могут быть выражены

друг через друга:

8 (10.3.4)

\i>R=^lS0{yi,y+}r\ayR.

Таким образом, мы имеем 8 + 8 = 16 состояний в правом секторе без-

(Важно понимать, что такая запись спектра состояний нарушает явную симметрию Е8®Е8. Чтобы увидеть это, заметим, что 16 операторов а 1 , число которых соответствует размерности корневой рещетки группы Е8® Е8, не образуют представления этой группы. Аналогично, векторы \р'; (р1)2 = 2) соответствуют 480 корням группы Eg (g) Е8 длины два. Однако они также не образуют представления этой группы. Только когда мы сложим 16 и 480 и образуем 496 состояний, мы

нительным для уровней с возрастающей массой. Позже мы приведем доводы, основанные на алгебрах КацаМуди, используя которые можно показать, что весь спектр состояний является в действительности симметричным относительно группы Е8 ® Es .)

На безмассовом уровне мы получаем спектр состояний перемножением правых и левых мод. Полное число состояний на низшем уровне гетеротической струны равняется, следовательно, произведению числа состояний в левом и правом секторах: 16 х 504 = 8064. Разложение этих состояний на мультиплеты таково. Среди 8064 состояний 128 принадлежат мультиплету (N = 1, D = 10)-супергравитации (в калибровке

Если разложить этот мультиплет на различные состояния, то найдем

Другие состояния принадлежат теории супер-Янга- Миллса с группой £g(8)Es . Например, мультиплет (Аа^,\\га) теории супер-Янга-Миллса находится в присоединенном представлении группы E8(g) Е8, имеющем 496 состояний. Эти 496 изотопических состояний образованы 480+16 состояниями, содержащимися в левом секторе:

Таким образом, мультиплет супер-Янга-Миллса может быть пред-

ставлен как 496 х 8 состояний:

Короче говоря, мы имеем в точности безмассовые поля (т2 = 0) ^-мерных теорий супергравитации и супер-Янга-Миллса.

Напомним, что мы должны были взять 480+16 для того, чтобы Получить неприводимое представление группы Е8®Е8. Это означает, *°обще говоря, что фоковское пространство гетеротической струны не Расщепляется явным образом на мультиплеты группы Е8® Е8. На