Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf
540 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия
До сих пор ни одно из решений, полученных с помощью орбиобразий [12-25] (или многообразий Калаби-Яу), не обладает в точности той низкоэнергетической структурой, которая нам нужна. Имеются также проблемы с получением правильного числа поколений, правильной калибровочной группы при низких энергиях, приемлемых значений для времени распада протона и т.д. Важно, однако, то, что эти методы компактификации позволяют построить в принципе тысячи решений, совместимых с условием модулярной инвариантности.
Необходим, конечно, конструктивный метод вычисления всех четырехмерных физически приемлемых решений уравнений теории струн. До сих пор основная работа заключалась в постулировании некой конкретной схемы компактификации и проверке ее согласованности с условием модулярной инвариантности. Недавно была проделана значительная работа в обратном направлении, а именно сначала налагалось условие модулярной инвариантности, а затем искались все возможные схемы компактификации, совместимые с этим условием.
Эта новая программа приводит к следующему набору критериев для всякой физически приемлемой теории: модель должна быть (а) свободной от тахионов, (Ь) не содержать аномалий, (с) модулярно-инвариант- ной, (d) суперсимметричной и (е) четырехмерной. Пока что при осуществлении этой амбициозной программы получены лишь предварительные результаты, но они представляются весьма обнадеживающими.
Нам необходим метод вычисления всех коэффициентов С в однопетлевой амплитуде (5.9.6) для каждой спинорной структуры. Например, в разд. 5.9 и 5.11 мы проанализировали однопетлевую и многопетлевую спинорные структуры и их изменение относительно модулярных преобразований. Теперь мы хотим систематически изучить следствия наложения условия модулярной инвариантности на многопетлевые спинорные структуры [26-31]. Начнем с разложения струнной амплитуды в терминах всех возможных спинорных структур:
а А а |
(11.9.22) |
a, b
Здесь а и b обозначают различные спинорные структуры над циклами аиЬ, причем каждый элемент из а равен нулю или единице. С- коэффициент, который должен быть определен, а А представляют амплитуду для каждой спинорной структуры. На римановой поверхности рода д существует 229 различных спинорных структур.
Перепишем уравнения разд. 5.9 и 5.11 в новых терминах. При выполнении преобразований группы Sp (2д, Z) функции © должны уд°в" летворять уравнению (5.11.15). Требование модулярной инвариантности на однопетлевом уровне означает, что коэффициент С должен быть согласован с изменением граничных условий, задаваемых (5.9.7) 0 (5.11.17). Возникающие при этом ограничения на С в новых обозначе-
§ |
11.9. Четырехмерные суперструны |
541 |
||
ЛЙЯХ можно переписать следующим образом: |
|
|||
= _ |
С |
а |
(11.9.23) |
|
La + Ъ + |
||||
|
|
|
||
Ъ |
(11.9.24) |
|
а |
||
|
где сумма £ берется по / фермионам (из числа левых мод вычитается число правых мод), каждое af принимает значение 0 или 1, а векторные
суммы берутся по mod 2.
Когда мы требуем модулярной инвариантности на многопетлевом уровне, мы должны наложить дополнительные ограничения на коэффициенты С. Например, условие унитарности требует факторизации амплитуды, описывающей поверхность рода д, в произведение амплитуд, описывающих поверхности рода 1 (торы); таким образом, с помощью уравнения (5.1.7) и подстановки полного набора промежуточных состояний мы должны суметь разрезать поверхность рода д на различные поверхности рода 1. В наших новых обозначениях это означает, что
(11.9.25)
Как мы видели в гл. 5, твисты Дена могут переставлять циклы (а, Ь) на поверхности рода д, поэтому мы должны также потребовать (по крайней мере на двухпетлевом уровне) выполнения условия
|
а |
С |
|
(11.9.26) |
|
|
|
|
|
где 8 равно 4-1 |
(—1), если по пространственно-временным |
индексам |
||
состояние является фермионом или бозоном. |
|
|||
Замечательно, что существует достаточно простое решение этих уравнений связи.
Сначала дадим несколько определений.
(1)Заменим коэффициент С эквивалентным выражением С (а | Р), где а(Р) обозначает набор фермионов, периодичных по циклу а(Ь).
(2)Введем простое правило «умножения»:
ap = a u p - a n p . |
(11.9.27) |
Это означает, что a2 = а — а = 0, т.е. а2 -пустое множество. Пусть F означает множество всех фермионов. Тогда произведение Fa равно дополнению множества а, т. е. Fa = F — а.
(3) Введем 5а, равное +1 для фермионов и — 1 для бозонов.
542Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия
(4)Пусть п (а) обозначает разность между числом nL (а) левых фермио-
нов и числом nR(a) правых фермионов.
(5)Определим еа = е1Лп(а)/8 и оператор четности (— 1)а для спинорной структуры а, удовлетворяющий соотношениям
(— 1)ац/ = — у (— 1)а, если \|/ принадлежит а, |
|
(— 1)а1|/ = \|/( — 1)а, если v|/ не принадлежит а. |
' |
Спинорная структура (а | Р) совместима с суперсимметрией, если
( - l)«T F ( - l) a = 5aTF, |
(11.9.29) |
где TF- генератор суперсимметричных преобразований из суперконформной группы.
(6)Определим Y как набор множеств (образующий группу, замкнутую относительно нашего определения умножения (11.9.27)) с упомянутым выше свойством суперсимметрии. Определим S как подгруппу У, удовлетворяющую
C(af |0) = 5a., |
(11.9.30) |
где С ( 0 1 0 ) = |
1. |
Имея теперь эти определения, установим уравнения связей, возникающие из требования модулярной инвариантности. Поскольку п(а)
кратно восьми, мы получаем следующие уравнения на базисные элементы bi из S:
n(bt) = 0 mod 8, |
|
п (bi n bj) — 0 mod 4, |
(11.9.31) |
п(bt n bj n bk п Ьг) = 0 mod 2,
атакже уравнения, возникающие из требования модулярной инвариантности: для любых a, Р, у из набора Е
|
±1, |
если |
а, РеЕ, |
С(а| Р) = L Л0 |
в противном случае, |
||
C(a|P) = «£nP C(P|a), |
(11А32) |
||
C(a|a) = |
8FsaC(a|F), |
|
|
C(a|P)C(a|y) = |
5aC(a|Py). |
|
|
Наконец, имеются уравнения связей, которые обязательно должны выполняться, возникающие из условия сокращения конформной аномалии. Будем использовать фермионное (а не бозонное) представление для компактификации на решетку. Это было использовано для гетеро- тических струн в уравнении (10.4.4). Следует осторожно включать фермионный вклад в конформную аномалию для алгебры с у п е р - В и р а - соро. Замечательно, что представление для фермионного партнера h тензора энергии-импульса Тв может быть задано в терминах присоеДй-
§ 11.9. Четырехмерные суперструны |
543 |
ценного представления для фермионов:
(11.9.33)
При вычислении возникающей из этого члена аномалии мы находим, что фермионный вклад в аномалию равен ]-N, где N- число параметров
группы.
В левом секторе число компактифицированных измерений равно 26 — D, где D- число пространственно-временных измерений. Мы зада-
дим компактифицированный сектор фермионами в присоединенном представлении. В этом секторе три вклада в аномалию суть
Левый сектор: |
(11.9.34) |
2
Поскольку сумма трех вкладов в аномалию должна равняться нулю, мы очевидным образом имеем N = 2 (26 — D) фермионов i|/°.
Проанализируем теперь правый сектор, где вклады в аномалию также должны в сумме давать нуль:
Правый сектор: |
3D/2 |
|
— 26+ 11^. |
(11.9.35) |
Условие обращения аномалии в нуль приводит к N = 3(10 — D). Добавив (D — 2) фермионов NS-R, содержащихся в (в калибровке светового конуса), мы получим D — 2 + 3(10 — D) фермионов в правом
секторе (в калибровке светового конуса). Итак, для сокращения аномального члена в алгебре Вирасоро мы должны иметь следующее число фермионов:
|Левый сектор -> 2 (26 — D), |
119 36 |
[Правый сектор -> D - 2 + 3(10 - D). |
(И.9.36) |
Сокращение аномалий происходит автоматически, если мы имеем эти числа фермионов в левом и правом секторах.
Теперь, когда мы выписали все уравнения связей в явном виде, наша стратегия такова:
(a)Вычисляем сначала полное число пространственно-временных фермионов \|/ и внутренних фермионов ц/°, удовлетворяющих (11.9.36), при котором теория не содержит конформных аномалий. Потом мы вычисляем полное число спинорных структур, возникающих для этого набора фермионов, который мы обозначаем F.
(b)Далее произвольным образом выбираем набор спинорных структур в качестве исходного множества внутри полного множества Е, содержащего F.
544 |
Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия |
(c)Потом проверяем замкнутость относительно умножения (11.9.27) генерирующего полную группу Е, совместимую с выбором исходны*
спинорных структур. (Выбирая различные исходные множества ддя S, можно получить различные схемы компактификации.)
(d)Затем вычисляем квадратную матрицу С(а|(3), определенную на множестве Е и удовлетворяющую нашим уравнениям связи. Некоторые произвольные фазы введены способом, позволяющим генерировать более одного решения для каждого множества Е.
Обсудим теперь некоторые свойства решений этих уравнений. Замечательно, что все самосогласованные решения обязательно содержат гравитоны, дилатоны и антисимметричные тензоры. Мы также обнаруживаем, что присутствие безмассовых полей спина 3/2 достаточно для доказательства отсутствия тахионов и исчезновения космологической постоянной на однопетлевом уровне. Эти обнадеживающие результаты показывают полную самосогласованность этих уравнений, что приводит к феноменологически желательным следствиям.
Обсудим теперь несколько частных решений этих уравнений. Сначала обсудим 10-мерную теорию типа II (без компактификации) в калибровке светового конуса после наложения на наши фермионы всех уравнений связи, требуемых калибровкой светового конуса. Тогда фермионы состоят из восьмикомпонентных пространственно-временных правых фермионов aR = \j/1-8 и левых фермионов aL = \|/1 - 8 , а внутренние фермионы выбраны равными нулю: ц/° = 0.
(1) Простейшим выбором для S является
Е = { 0 , F}. |
(11.9.37) |
К сожалению, тщательный анализ спектра этой теории показывает, что она содержит тахионы и, следовательно, неприемлема.
(2) Выбор
S = { 0 , a L , aR , F} |
(11.9.38) |
приводит к более чем одному решению, что зависит от выбора определенных фаз матрицы С(а|р). Два таких выбора приводят
к теориям типа IIA и IIB.
(3)Для четырехмерной компактифицированной теории следует выби-
рать различные наборы Е. В четырех измерениях пространственно- временные фермионы представлены поперечными левыми vj/1" и правыми \|/1 - 2 фермионами. В соответствии с (11.9.36) внутренние степени свободы могут быть представлены также 18 = 3(10 —W
фермионами, причем в этом случае |
мы имеем X1 '1 8 для правых |
и X1 '1 8 для левых фермионов. Перегруппируем эти 18 внутренних |
|
фермионов как (х1, у\ z1), где I = 1, |
..., 6 и перенумеруем |
векторов группы SU(2). Выберем подмножество |
a = (\j/1-2, z )• |
Тогда выбор |
|
S = { 0 , a, Fa, F} |
(11-9.39) |
546 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия
внашем обсуждении, охватывает намного более широкий класс орбио бразий, чем обсуждавшееся нами ранее. Асимметричные орбиобраз^ [31] также могут дать нам возможность классифицировать тысячи модулярно-инвариантных решений уравнений теории струн. При ком-
пактификации теорий струн на асимметричные орбиобразия левые и правые степени свободы соответствуют различным орбиобразиям При компактификации 10-мерного пространства-времени возникает естественное желание использовать симметричную компактификацию левого и правого секторов, однако существуют самосогласованные модулярно инвариантные асимметричные компактификации, при которых шесть пространственных измерений левого и правого сектора трактуются асимметрично.
Хотя и трудно наглядно представить себе, как компактифицировать на асимметричные орбиобразия, можно достаточно просто показать, что модулярно инвариантные решения существуют. Например, будем отождествлять координаты, отличающиеся на множитель д, где д принадлежит дискретной группе. Тогда функция распределения для однопетлевой диаграммы в направлении т при д ф 1 должна иметь вид
Тгот^Яц- |
(П.9.44) |
Этот след может быть вычислен в точности так же, как и раньше, но
сучетом того, что левое и правое пространство теперь различны. Как
ипрежде, требование модулярной инвариантности приводит к условию
п {Eh — £r ) = 0 mod 1. |
(11.9.45) |
Если собственные значения д равны е2я/г>, |
то это условие приводит |
к ограничениям на сумму ]Г,-г?. Полученные в результате ограничения на rf почти тождественны найденным для симметричного орбиобразия (11.9.9), но с учетом того, что левые и правые секторы теперь трактуются различным образом в зависимости от структуры пространства. Хотя
сасимметричными орбиобразиями работать значительно труднее, чем
ссимметричными, все же можно построить большой класс асимметричных орбиобразий, совместимых с условием модулярной инвариантности. (На практике асимметричное орбиобразие иногда погружают в симметричное орбиобразие большей размерности, на котором вычисления проще, а потом возвращаются к асимметричному орбиобразию )
Резюмируя, преимущество асимметричных орбиобразий заключается в том, что они позволяют нам классифицировать чрезвычайно обширный класс модулярно инвариантных компактификаций в четырех измерениях. Это может быть очень полезно для понимания полного набора физически приемлемых компактификаций теории суперструн.
Второе новое направление компактификации струн заключается в исследовании возможности применения асимметричных орбиобразий ДЛ* получения реалистичных калибровочных групп в случае суперструн типа II. Традиционно считалось, что струны типа II не годятся с точки зрения феноменологии, поскольку не допускают введения множителей Чана^ Патона. В 10 измерениях суперструны типа II приводят к теории