Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

600 Приложение

эту калибровочную группу до Е6 посредством разложения

Е8®Е8=> SU(3) ® Е6 (х) Е8 .

Вне массовой поверхности. Частица называется находящейся вне

массовой поверхности, если для нее не выполняется уравнение ^ = — т2 , и, стало быть, она является виртуальной. Частицы и поля, не лежащие на массовой поверхности, появляются в функциях Грина, в промежуточных состояниях фейнмановских диаграмм и в формуле для действия.

Вторичное квантование-это квантование полей (а не координат),

определенных в пространстве-времени. Если у поля срСх^) имеется канонически сопряженное поле к(х2), то вторичное квантование постулирует, что

[к(х2\ (pCXi)],^^ = - /8(3)(*i - х2).

Вторичное квантование является основой квантовой теории поля. Гармоническая форма. Вещественная форма называется гармони-

ческой, если действие оператора Лапласа обращает ее в нуль. В силу теоремы Ходжа о разложении для любой р-й группы голономий существует по крайней мере одна гармоническая /7-форма. Таким образом, /7-е число Бетти равно числу гармонических /?-форм.

Гаусса-Бонне теорема утверждает, что индекс Эйлера равен ин-

тегралу по эйлеровой характеристике в двумерном пространстве:

Х(М)= J*(Af).

м

Теорема ГауссаБонне - это теорема об индексе, связанная с выводом величины d для когомологий де Рама в двумерном случае. Для римановой поверхности эта характеристика равна 2 — д, где д- род поверхности.

Гетеротическая струна (этот термин происходит от греческого слова,

означающего «гибридную силу») является наиболее вероятным кандидатом на роль теории всех известных взаимодействий. Она основана на замкнутых струнах, но рассматривает секторы мод, движущихся влево и вправо, по отдельности. Сектор правых мод образован десятимерной суперструной, тогда как сектор левых мод образован 26-мерной струной НамбуГото, компактифицированной до десятимерного пространствавремени; в результате остается 16-мерная поверхность, которая компактифицируется на решетке группы Е8 ® Е8 или группы Spin(32)/Z2. На однопетлевом уровне эта теория свободна от аномалий и конечна.

Гиперболическое. Проективное преобразование называется гипербо-

лическим, если его множитель веществен, положителен и не равен единице. Неподвижные точки всегда можно выбрать так, чтобы множитель был меньше единицы. Гиперболические проективные преобразования играют важную роль при вычислении N-петлевой амплитуды.

602 Приложение

Это эквивалентно пространству Тейхмюллера, факторизованному по пространству модулей. Она также эквивалентна множеству глобальных диффеоморфизмов римановой поверхности (включающему, например, твисты Дена). По этой группе необходимо факторизовать, чтобы избавиться от повторного счета при вычислении амплитуды замкнутой струны, возникающего из-за модулярной инвариантности. Группа классов отображений совпадает с модулярной группой.

Дена твист является глобальным диффеоморфизмом на римановой

поверхности. Он равносилен разрезанию тора вдоль одного из его циклов, повороту одного из берегов разреза на 2к и последующему склеиванию разреза. Полученный диффеоморфизм является глобальным и не может быть достигнут непрерывными деформациями тождественного отображения. Множество твистов Дена образует дискретную группу, называемую группой классов отображений и совпадающую с модулярной группой.

ДДФ-состояния. Состояния Дель Гидиче-Ди Веччи-Фубини явля-

ются реальными поперечными осцилляторами, определенными в 24-мерном пространстве. Они образуют базис физического гильбертова пространства. Они эквивалентны физическим осцилляторам струнной модели после квантования в переменных светового конуса.

де Рама когомологии. р-я группа когомологий де Рама является

множеством /?-форм, замкнутых по модулю точных форм. Размерность р-й группы когомологий де Рама для данного многообразия равна р-му числу Бетти для этого многообразия.

Дирака индекс. Индекс Дирака есть разность между решением

уравнения Дирака с нулевым собственным значением, обладающим положительной киральностью, и решением с отрицательной киральностью для данного многообразия:

Индекс (D) = п + — п _ .

При соответствующей регуляризации его можно также представить в виде

Индекс (D) = Тг TD +!.

Если на многообразии М можно определить калибровку и спиновую связность, то

Индекс (D) = J ch (V)A(M).

м

Дольбо группа когомологий для комплексного многообразия-это

группа когомологий, представляющая собой множество /?-форм, замкнутых относительно оператора д, взятое по модулю форм, точных относительно этого оператора. Индекс, связанный с группой когомологий Дольбо, определяется теоремой Римана-Роха.

Дуальность-свойство, состоящее в том, что амплитуда рассеяния

может быть выражена либо как сумма по ^-канальным полюсам, либо

как сумма по f-канальным полюсам, но не как сумма по тем и другим одновременно, т.е.

В этом проявляется отличие от обычной теории поля, в которой суммирование проводится по обоим множествам полюсов. По этой причине построение полевой теории струн считалось невозможным.

Д у х - это частица с отрицательной метрикой; поэтому в функции

Грина она распространяется с неправильным знаком. Духи связаны

сотрицательным знаком, появляющимся в лоренцевой метрике. Физическая теория должна быть полностью свободна от духов (или ее духи должны сокращаться с другими духами, содержащимися в S-матрице). Если в теории имеются духи, являющиеся частью ее физического спектра, то эта теория допускает отрицательные вероятности и поэтому физически неприемлема. Как было показано, физическое пространство теории струн свободно от духов в силу тождеств Уорда, порождаемых алгеброй Вирасоро. Исторически струнные амплитуды были построены непосредственной вставкой сложного оператора проекции вдоль каждого пропагатора, что означало удаление из теории духовых состояний вручную. К несчастью, оператор проекции был весьма сложным, особенно для фермионных состояний. Замечательное свойство духовых состояний Фаддеева-Попова состоит в том, что они допускают непротиворечивое лоренц-ковариантное квантование (BRST), сокращающееся

сэтими духами, что делает вычисление фермионных струнных амплитуд сравнительно простым. Это образует основу конформной теории поля.

Замкнутая форма-форма, удовлетворяющая тождеству dco = 0. Для

многообразия размерность пространства замкнутых /?-форм (по модулю точных форм) является р-м числом Бетти для этого многообразия.

Исключительные группы-это группы Ли, не подпадающие под

обычную классификацию О (N), SU (N) или Sp(N). Их обозначают как F4, G2, Е6, Еп, Е8. С точки зрения феноменологии, группа Е6 является предпочтительной исключительной группой, так как у нее есть комплексные представления для кварков и лептонов, принадлежащих мультиплету 27.

Калаби-Яу многообразие. Калаби предположил, а Яу затем доказал,

что компактное кэлерово многообразие с пустым нулевым классом Черна всегда допускает кэлерову метрику с группой голономий SU(3). Такие многообразия называются многообразиями Калаби-Яу, и они образуют классический вакуум для шестимерного многообразия струны после размерной редукции. Они получены в предположении, что N = 1 суперсимметрия сохраняется при компактификации, что означает существование ковариантно постоянного спинора.

Касательное пространство. В каждой точке искривленного много-

образия М можно восстановить плоскую систему координат, называемую касательным пространством. Оно особенно полезно при опре-

604 Приложение

делении спиноров на искривленных многообразиях, поскольку спиноры можно строить для лоренцевой группы в N-мерном пространстве, но не для группы GL (N). Поэтому спиноры определяются только в касательном пространстве.

Каца-Муди алгебра. Алгебра Каца-Муди-это бесконечномерная

алгебра Ли. Она определяется коммутационными соотношениями

[Т1т, Tjn-]=fijkTkm + n + cbijbm,.n,

где все/суть структурные константы обычной алгебры Ли, а с-неопре- деленный центральный член. Рассматривая индекс как фурье-образ непрерывной функции, определенной на отрезке от 0 до 2я, можно разместить образующие алгебры Каца-Муди на окружности. Алгебра Вирасоро не является алгеброй Каца-Муди, но она образует с ней полупрямое произведение:

[L„, П]= -пТ*м + И.

Алгебры Каца-Муди полезны по нескольким причинам. Прежде всего, струнные состояния, возникающие после компактификации на решетке корневых векторов некоторой алгебры Ли, как можно показать, преобразуются под действием обобщения КацаМуди этой алгебры Ли. Таким образом, комформная теория поля и алгебры КацаМуди тесно связаны друг с другом.

Каца детерминант-это определитель матрицы

<а||Э>,

где |а) - модуль Верма. Детерминант Каца был вычислен Кацем в явном виде для всех модулей Верма двумерной конформной группы. Если этот детерминант отличен от нуля для всех элементов модуля Верма, то данный модуль Верма образует неприводимое представление соответствующей группы. Модули Верма важны тем, что они дают нам нетривиальную информацию о башне резонансов, возникающих в исследуемой струнной модели. В геометрической теории струн основные струнные поля суть модули Верма (что объясняет происхождение странных духов Фаддеева-Попова, возникающих в полевой теории струн BRST).

Кобы-Нильсена переменные суть определенные на окружности па-

раметры, позволяющие параметризовать ЛГ-точечную амплитуду Венециано. Переменные Кобы-Нильсена являются наиболее удобными и часто используемыми переменными для дуальной модели. Они позволяют явным образом продемонстрировать циклическую симметрию.

Компактификация- это процесс, при котором мы берем многообра-

зие Rn и факторизуем его на решетку. Простейшая компактификация была введена Калуцей, который компактифицировал пятимерное многообразие до четырехмерного пространства-времени, сделав пятое измерение периодическим. В зависимости от выбранной решетки компак-

тифицированное многообразие имеет симметрию, соответствующую этой решетке. Так, изоспин можно ввести в модель суперструн не с помощью множителей ЧанаПатона, а посредством компактификации. Компактификация также позволяет редуцировать десятимерную струну к четырехмерной теории, свернув нежелательные шесть измерений. Поэтому компактификация играет ключевую роль в получении осмысленной четырехмерной феноменологии на струне. Трудность, связанная с компактификацией и остающаяся неразрешенной проблемой вот уже 70 лет, с тех пор как Калуца впервые предложил компактифицировать пятое измерение, состоит в выборе из множества возможных классических решений такого, которое действительно предпочтительно для данной теории. В настоящее время для орбиобразий и пространств Калаби-Яу возможны десятки тысяч различных классических решений. Лишь непертурбативные формализмы (вроде полевой теории струн) могут ответить на вопрос о том, какой из этих возможных вакуумов является истинным вакуумом квантовой теории.

Комплексное многообразие. Грубо говоря, комплексное многообразие

размерности N- это вещественное многообразие размерности 2N, если мы всегда можем найти комплексные переменные с голоморфными (т. е. аналитическими) функциями, переводящими вещественные переменные в комплексные. Поэтому не всякое вещественное многообразие размерности 2N является комплексным многообразием.

Комплексное проективное пространство. Комплексное проективное

пространство СР^-это комплексное пространство размерности N + 1, в котором все точки z, отождествлены с точками Xzt9 где А,-некоторое ненулевое комплексное число. Оно одновременно является компактным и кэлеровым. Оно совпадает со сферой S2N+ i, если выполнить следующее отождествление:

гр _ S2n+I

"" U(l) '

Конформная аномалия-явление, состоящее в том, что квантованное

действие струны не является конформно инвариантным. Наиболее яркое его проявление-неспособность действия Полякова сохранить инвариантность относительно масштабного преобразования даЬ -> о>даЪ. Это преобразование порождает новые неинвариантные члены, которые обращаются в нуль в двух случаях: если фиксировать размерность пространства-времени равной 26 или 10, а также если допустить, что скалярная частица является частью действия. Во втором случае возникает теория Лиувилля, которая в настоящей книге не рассматривается.

Конформная группа. В четырехмерном пространстве конформная

группа равна О (4,2) или SU(2,2). Она имеет 15 образующих, соответствующих четырем трансляциям шести лоренцевым генераторам МаЬ, четырем собственно конформным бустам Ка и одному масштабному преобразованию, или растяжению D. В двумерном пространстве, однако, конформная группа имеет бесконечное число образующих,

606 Приложение

соответствующих генераторам алгебры Вирасоро L„. Она эквивалентна группе Diff(S1).

Конформная калибровка-калибровка, в которой двумерный метри-

ческий тензор фиксируется пропорциональным 80ь. Такой выбор калибровки осуществим в классическом случае лишь для римановых поверхностей рода нуль. Когда мы переходим к римановым поверхностям более высокого рода или квантуем систему, то возникают осложнения: например, метрика зависит от 3N — 3 комплексных па-

раметров Тейхмюллера и конформная аномалия нарушает конформную инвариантность, если размерность отлична от D = 26.

Конформная теория поля-формализм, с помощью которого можно

вычислить все корреляционные функции <(p(z)(p(z')> теории струн, зная поведение произведений различных cp(z) на малых расстояниях. Поскольку амплитуды являются корреляционными функциями, то это позволяет вычислить все бозонные и фермионные амплитуды, используя лишь соображения конформности. (Это не теория поля в смысле вторичного квантования).

Конформные духи-это духи Фаддеева-Попова, возникающие при

выборе конформной калибровки. BRST-оператор Q построен из этих духовых полей. Такие конформные духовые поля являются одной из отличительных особенностей «новой» теории струн, отсутствующей в «старой» теории струн начала 70-х годов.

Конформный вес служит меткой неприводимых представлений кон-

формной группы. Под действием конформного преобразования поле cp(z) преобразуется с конформным весом Л, если

Если поле обладает конформным весом единица, то его криволинейный интеграл инвариантен относительно конформного преобразования. При построении моделей струн мы требуем, чтобы вершинная функция имела вес единица, с тем, чтобы были применимы калибровочные условия Вирасоро. Струнная переменная X^z) имеет конформный вес нуль. Образующие алгебры Вирасоро имеют конформный вес 2. Духи Ъ и с конформной теории поля имеют конформные веса 2 и — 1

соответственно.

Космологическая постоянная-это член появляющийся в

действии общей теории относительности в добавление к тензору кривизны. Одна из насущных проблем космологии-объяснить, почему эта величина является столь чрезвычайно малым числом, не прибегая к «тонкой настройке» соответствующих уравнений вручную. Суперсимметрия достаточна для обращения в нуль космологической постоянной, но в конечном итоге суперсимметрия должна нарушаться, так что одной лишь суперсимметрии недостаточно для решения этой проблемы. Это одна из важных проблем, с которой сталкивается любая квантовая

теория гравитации, в том числе теория суперструн.

Кэлеров потенциал. Можно показать, что для кэлерова многообразия

эрмитова метрика может быть выражена через единственную функцию, называемую кэлеровым потенциалом ср:

д2д>

QlT~d7d?'

Кэлерова форма-это форма

Q = grydz1 A dzJ

для эрмитовой метрики.

Кэлерово многообразие. Комплексное многообразие является кэле-

ровым, если на нем существует эрмитова метрика и его кэлерова форма замкнута, т.е.

dQ = 0.

Для кэлеровых многообразий можно доказать много красивых теорем, например, что все разнообразные лапласианы, которые могут быть выписаны для комплексных многообразий, совпадают.

Майорана-вейлевский спинор-спинор, являющийся одновременно

вейлевским и майорановским, т. е. вещественным и обладающим определенной киральностью. Он существует лишь в пространствах, размерность которых равна 2(mod8). Майорана-вейлевские фермионы используются в модели Грина-Шварца.

Майорановский спинор есть чисто вещественное представление мат-

риц Дирака. Таким образом, частицы являются своими собственными античастицами. Майорановские спиноры могут быть определены лишь в пространствах с размерностями 2,3,4 (mod 8).

Мировая поверхность есть двумерное риманово многообразие, за-

метаемое при движении струны.

Модель NS-R. Модель Невё-Шварца-Рамона (после GSO-проек-

ции) является простейшей теорией суперструн. Она состоит из струны АТц(сг) и ее суперсимметричного партнера, антикоммутирующего векторного поля i|/^(cr). В зависимости от граничных условий на ц/ц мы можем описать либо фермионы, либо бозоны. Модель обладает двумерной суперсимметрией, но десятимерная пространственно-времен- ная суперсимметрия весьма проблематична. Напротив, действие Гри- на-Шварца вполне суперсимметрично в десятимерии (но его трудно квантовать ковариантно).

Модулярная группа для тора есть SL (2, Z), т. е. множество вещест-

венных матриц с целочисленными элементами и единичным детерминантом. Это группа инвариантности подынтегрального выражения для N-петлевой амплитуды замкнутой струны. Если тор параметризован как квадрат в плоскости (а, т), противолежащие стороны которого отождествлены, то модулярная группа отвечает за перемену ролей параметров а и т. Модулярная группа решающим образом связана

608 Приложение

с суперсимметрией и конечностью многопетлевой амплитуды. Многообразие. Пространство М является многообразием, если су-

ществует его покрытие лоскутами UH каждый из которых является подпространством «-мерного вещественного пространства R" или «-мер- ного комплексного пространства С". Теории взаимодействующих струн определены на многообразиях (т. е. римановых поверхностях), но теории взаимодействующих точечных частиц не могут быть определены таким образом. Фейнмановские диаграммы не составляют многообразия, поскольку их локальная топология не совпадает с топологией R".

Множитель. Проективное преобразование SL(2, R) всегда можно

диагбнализовать и привести к виду P(z) = wz. Мультипликативная константа w называется множителем. В однопетлевой амплитуде суперструны множитель проективного преобразования первой петли входит в функцию распределения.

На массовой поверхности. Частица называется лежащей на массовой

поверхности, если она удовлетворяет уравнению р\ = — т2 и, следовательно, является физической, а не виртуальной. Свойства амплитуды Венециано, такие, как циклическая симметрия, выполняются лишь на массовой поверхности. S-матрица с необходимостью лежит на массовой поверхности, тогда как лагранжиан и функции Грина лежат вне массовой поверхности. Для струны условие массовой поверхности есть

( L o - l ) l 9 > = 0.

Неймана функция-это функция Грина для римановой поверхности,

такая, что нормальная производная на границе равна нулю. Мы требуем такого граничного условия, чтобы сохранить тот факт, что X' = 0 на конце открытой струны. Экспонента от функции Неймана для римановой поверхности рода N входит в амплитуду суперструны для ЛГ-петлевого рассеяния.

Неподвижные точки проективного преобразования-это те точки,

которые остаются на месте под действием данной группы: P(z) = z. Проективное преобразование имеет две неподвижные точки: jc(1) = P°°(z), х{2) = P~co(z). Здесь z произвольно. Любое вещественное проективное преобразование можно параметризовать его двумя неподвижными точками и множителем. Если преобразование мультипликативно, т.е. P(z) = wz, то эти две неподвижные точки суть 0 и оо, а его множитель есть w. (Это параметризация однопетлевой амплитуды.)

Орбиобразие-поверхность, которая получается, если взять тор

и факторизовать его с помощью дискретной группы. У орбиобразий обычно имеются неподвижные точки, т.е. точки, инвариантные относительно действия дискретной группы, и поэтому они не являются многообразиями. Конус, например, это орбиобразие, получающееся,

Когда гетеротическая струна компактифицируется на орбиобразие, группа Е8 (g) Е8 обычно редуцируется до подгруппы, коммутирующей