Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

существует и голоморфных три-форм. Следовательно, S2 х S2 х S2 jje

допускает риччи-плоской кэлеровой метрики.)

Другое простое следствие этого заключается в том, что любая гармоническая (р, 0)-форма в трех комплексных измерениях может быть умножена на со, что даст в результате гармоническую (0,3-/?)-форму:

Это равенство выполняется в силу, что со ковариантно постоянна и, следовательно, под знаком лапласиана ведет себя как константа. Так что

гармоническая форма остается гармонической после умножения на При этом (р, 0)-форма становится (0,3 — /?)-формой, поскольку мы свертываем с эрмитовым метрическим тензором а не с даЬ.

Изложенное выше позволяет избавиться почти ото всех чисел Ходжа. Используя различные симметрии относительно отражений и преды-

дущую симметрию, можно показать, что лишь А1,1, А2,1, А1,0 остаются как независимые компоненты на многообразии с SU (З)-голономией. Среди них можно также вычеркнуть А1,0 по следующей причине. Мы знаем, что лапласиан всегда можно разложить, представив его в виде

При действии на 1-форму различные члены, содержащие тензор кривизны, сворачиваются в тензор Риччи. Но тензор Риччи равен нулю на риччи-плоском многообразии. Следовательно, гармоническая 1-форма должна быть ковариантно постоянной. Это означает, что число Бетти гармонических 1-форм должно равняться нулю: bt = 0. Но это также означает, что А1'0 = 0 в силу (11.4.15). Собирая все сказанное вместе, можно показать, что для риччи-плоского многообразия

Последнее равенство, выполняющееся для риччи-плоской метрики, станет чрезвычайно важным, когда мы будем обсуждать проблему поколений. Оказывается, что А1'1 и А2'1 связаны с числом фермионов положительной и отрицательной киральности, которые можно ввести на многообразии, так что уравнение (11.4.36) констатирует, что число поколений равно половине эйлеровой характеристики:

Таким образом мы получаем, что число поколений имеет топологиче-

ское происхождение!

§ 11.5. ВЛОЖЕНИЕ СПИНОВОЙ СВЯЗНОСТИ

Вооруженные приведенным набором элементарных сведений из алгебраической топологии, вернемся к феноменологии теории струн и используем полученную информацию.

522 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

тов. Мы должны теперь найти разложение этих 248 элементов на представления группы SU(3)® Е6, что всегда можно сделать. Находим

Чтобы увидеть, выполняется ли (11.5.1), перейдем_ от присоединенного представления группы SU (3) к представлению 3 ® 3. Пусть Х- генератор группы SU (3). Мы хотим найти связь между следом квадрата матрицы X в представлении 8 и представлении 3 ® 3. Ответ таков:

Сосредоточимся теперь на мультиплетах группы SU(3) в разложении (11.5.5). Заметим, что мы имеем 27 полей, преобразующихся по представлению 3 ® 3 группы SU(3), а также один октет. Но сумма следов квадратов матриц октета, как мы видели в (11.5.6), должна быть умножена на 3, когда мы переходим к представлению 3 ® 3 матриц группы SU(3). Таким образом, суммарный «излишек» в представлении 3 © 3 равен

27 + 3 х 1 = 30,

что и дает множитель 30. В силу вложения спиновой связности, при котором тензор кривизны определяет то же самое пространство, что и тензор Янга-Миллса, мы можем теперь удовлетворить (11.5.1), так как недостающий коэффициент 30 появляется, когда мы подсчитываем кратность вхождения представлений группы SU(3) в (11.5.5).

Нарушение симметрии до SU (3) ® Е6 предпочтительно по феноменологическим причинам, так как группа Е6 была широко исследована при построении модели ТВО Ч

Исходная группа Е8 не имеет, в противоположность Е6, комплексных представлений, которые необходимы для описания киральных фермионов. Мультиплет 27 на самом деле является наиболее предпочтительным мультиплетом для фермионов при построении модели с группой Е6. Группа Е6 хороша также и с точки зрения низкоэнергетической суперсимметрии, потому что представление 27 для фермионов может образовывать суперсимметричный мультиплет с представлением 27 для хиггсовских полей.

В кратком изложении феноменологически приемлемое заключение имеет вид

TrR А R = ±TrF AF вложение связности 27 для фермионов. (11.5.7)

Поскольку фермионы находятся теперь в представлении 27, МЫ можем поставить вопрос: сколько существует поколений фермионов. Теории ТВО, как мы видели, досаждала проблема поколений. Не было

1) ТВО-Теория Великого Объединения.

Причин для предположения существования более чем одного поколения. В теории суперструн ситуация как раз противоположная. Мы сейчас

покажем, что мы получаем слишком много поколений фермионов!

§ 11.6. ПОКОЛЕНИЯ ФЕРМИОНОВ

Одним из наиболее впечатляющих приложений алгебраической топологии к феноменологии теории струн является вычисление числа поколений непосредственно из топологических рассмотрений.

Чтобы вычислить число поколений, предсказываемое теорией, мы сначала должны подсчитать число безмассовых частиц. Оператор Клей- на-Гордона в 10-мерном пространстве для рассматриваемых частиц становится после компактификации суммой двух операторов КлейнаГордона в 4 и 6 измерениях:

В общем случае (Щ6 имеет собственные значения, обозначаемые т2 , т.е. •бVm = m2Vm> т а к ч т о наше волновое уравнение принимает вид

Нас интересует безмассовый сектор в четырех измерениях, поэтому мы хотим сохранить только нулевые собственные значения оператора (Щ6. Следовательно,

Это уравнение является важным, потому что имеет две интерпретации. Во-первых, оно означает, конечно, что четырехмерные фермионы безмассовы. Во-вторых, оно также означает, что ц/ является гармонической формой в шести измерениях. Следовательно, число безмассовых мод в четырехмерии будет связано с числом гармонических форм, которые можно задать на шестимерном многообразии. Выше в (11.3.18) мы видели, что число гармонических форм степени р равно р-му числу Бетти. Таким образом, одни только топологические аргументы уже могут дать нам число поколений! Суммируем:

Естественно ожидать, что число поколений является топологическим инвариантом в силу теоремы Дирака об индексе1). Мы знаем, что решения уравнения Дирака могут, вообще говоря, иметь нулевые моды:

Действительно, индекс этого оператора равен разности между числом

Правильнее называть ее теоремой Атьи-Зингера об индексе оператора Дирака.-Прим. перев.

Индекс оператора Дирака есть топологическая величина, определенная на спиновом многообразии 2), поэтому мы ожидаем, что он может быть связан с характеристическими классами, которые мы нашли ранее. Действительно, обсуждая SU (З)-голономию, мы нашли, что

Но индекс оператора Дирака также равен числу поколений, поскольку мы будем рассматривать только фермионы одной фиксированной киральности. Таким образом, точное соответствие между числом поколений и индексом оператора Дирака, или эйлеровой характеристикой, дается равенством

Чтобы показать это, рассмотрим многообразие с SU (З)-голономией, с числами Бетти (Ходжа), имеющими два индекса /?, q. Эйлерова

Кратность супергравитационного и янг-миллсовского мультиплетов может быть определена подсчетом числа допустимых гармонических форм. Это число в свою очередь связано с числами Бетти. Если мы сравним спиральность суперсимметричных пар с их кратностью, то найдем:

Иk0,0»

(А0.о + Л1в1 + A 2 . I ) .

Если мы проанализируем сектор фермионов спина 7г» данных представлениями (72 , 0), то получим, что их число кратности таково:

2) Так называют многообразия со спинорной структурой.-Прим. перев.

обозначает многообразие, полученное приравниванием нулю к одно, родных полиномов степени db заданных на CPN. К счастью, формула

для полного класса Черна, а не только для первого класса Черна, для таких многообразий известна. Для SU (З)-голономии полный класс Черна равен

где J- некоторая 2-форма, полученная нормировкой кэлеровой формы в CPfc + 3. Разлагая эту формулу в ряд и приравнивая первый класс Черна ct нулю, находим

Таким образом, мы нашли только пять многообразий с нулевым первым классом Черна:

Щ4 ; 5 ) ) = - 2 0 0 ,

x( W = - 1 7 6 >

Следовательно, число поколений для каждого из этих многообразий неприемлемо велико! С точки зрения феноменологии это крайне нежелательно, так как в силу доводов теории нуклеосинтеза, космологии и требования асимптотической свободы в КХД мы знаем, что необходимо очень малое число поколений-три или четыре.

К счастью, мы можем еще редуцировать число поколений и сделать его намного меньше, рассматривая неодносвязные связные многообразия.

Факторизуем исходное многообразие М0 по дискретной группе симметрий G, действующей на многообразии свободно (т. е. без неподвижных точек), получая в итоге многообразие М. Если число генераторов дискретной группы G есть п (<7), тогда эйлерова характеристика исходного многообразия, факторизованного по дискретной группе G, равна

i= 1