Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

390 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

Как и в общей теории относительности, мы найдем удобным ввести в теорию струнную тетраду, чтобы сделать меру интегрирования инвариантной, и поле связности, поскольку производные ковариантных полей уже не являются ковариантными.

Как и в общей теории относительности, два принципа приводят к выбору единственной функциональной меры. В струнной полевой теории мы вынуждены выбрать меру так, чтобы интегрировать один раз по каждой физической пространственно-временной конфигурации С. Для задания такой функциональной меры определим

так что она преобразуется как струнная плоскость. Если Ф(АГ)- скалярное поле, то мы хотим, чтобы

Тщательный анализ этой формулы показывает, что наш выбор для функциональной меры интегрирования правилен.

Обратим внимание на очень важный факт, а именно: не все компоненты тетрадного поля независимы, так как в действительности вышеприведенные тождества можно выразить через меньшее векторное поле преобразующееся под действием S. Это неудивительно, поскольку мы не строим теорию с общекоординатной инвариантностью на струне.

В противном случае благодаря преобразованию

наша теория не была бы больше струнной теорией. Такой трансформационный закон просто означает, что каждая точка струны может свободно двигаться в любом направлении 26-мерного пространства, что разрушило бы струну. Вместо этого мы хотим, чтобы каждая точка

^язводные типа

до и в общей теории относительности, решение заключается во рдении поля связности. Определим связность со^а так, чтобы следующие производные преобразовывались под действием Diff(S) как ясгинные тензоры:

V^ctфур = дцафур + rJ®iVp фХ0.

Бели индексы А, В и С представляют индексы V или S, то можно восстановить локальную инвариантность, полагая

Отметим, что мы теперь должны обобщить определение производной (8.5.15):

Контравариантные индексы тетрады преобразуются как часть линейного касательного пространства, которая ковариантна относительно полной локальной группы Diff(S), содержащей все диффеоморфизмы (а не только элементы, генерированные сг-репараметризацией.) Отсюда берет начало двумерная конформная инвариантность нашей теории, которая не была бы очевидной, если бы теория являлась инвариантной только относительно сг-репараметризаций. Хотя касательное пространно тетрады может преобразовываться полной группой Diff(S), заме-

что преобразования любого функционала от X ограничиваются т°лько а-репараметризациями. (Если бы функционал от X преобразовы- в а я полной группой Diff(S), тогда формализм описывал бы теорию на *Массовой поверхности», что нам не нужно. Мы избегаем этой проблеполагая, что касательное пространство тетрады преобразуется

п°лной группой Diff(S).)

Теперь можно суммировать соответствие между нашими полями °бь1чными тетрадой есвязностью cojf и калибровочным полем A

^ vP (8.6.23)

гьаЬ cqP

Как было упомянуто выше, основное различие заключается в пара. метризации универсальной ковариантности векторным полем Факти- чески можно показать, что ковариантная производная тетрады равна

нулю и тензор кривизны, определенный на касательном пространстве Diff(S), также есть нуль:

Отсюда видно, что единственное независимое поле, содержащееся в тетраде и в поле связности,- это вектор Путем утомительных, хотя

и совершенно прямолинейных вычислений можно выразить поле связности через тетраду и саму тетраду через векторное поле. Симметрию тетрады и поля связности можно вывести теперь, полагая

Это в свою очередь позволяет зафиксировать параметризацию посредством устранения из теории С?. Фиксируя калибровку, мы имеем свободу выбрать

(8.6.26)

Следует отметить, что добавление в нашу теорию тетрады, как кажется на первый взгляд, портит свойства оператора трансляций, в силу чего окончательное действие уже не будет инвариантным. Однако, вычисляя явный вид этих поправок, мы находим, что дополнительные члены исчезают благодаря обращению в нуль ковариантной производной тетрады и тензора кривизны. Таким образом, все важнейшие свойства оператора трансляций сохраняются.

§ 8.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ДЕЙСТВИЯ

Последние шесть разделов посвящались разработке основной стратегии (8.1.1) и установлению теоретико-групповых свойств универсаль- ной струнной группы USG. Мы должны были потратить много временй, рассматривая разложение тензорных произведений на н е п р и в о д и м ы е представления группы USG, из-за отсутствия математического исследования проблемы. По сути, все предыдущее рассмотрение служил введением к этому разделу, составляющему основное содержание ге<£ метрического формализма. На этом математическая подготовка зака» чивается, и мы можем построить само действие в несколько стр Аналогично, в общей теории относительности значительные требуются на то, чтобы развить тензорное исчисление общей к0ваРиао1С. ности, но затем вывод действия укладывается лишь в несколько стр

й состоит из метрики,-это свертка тензора кривизны.

Построим из ковариантной производной Da = VCT + Аа кривизну:

причем член ZCTp обращается в нуль при свертке с уст. Наш первый выбор для инвариантного действия мог бы иметь форму F2 , но он не годится, поскольку 5стр не является постоянным тензором группы. Итак, такая свертка невозможна. На самом деле единственно возможный выбор есть

где естр0О)- произведение четырех матриц.

Как можно показать, это выражение, в свою очередь, представляет собой полную производную. Выделяя топологический инвариант Черны-Саймонса, связанный с этим членом, находим окончательную

В такой записи подразумевается свертка индексов модуля Верма и тензора гаре.

Данное действие имеет несколько локальных калибровочных инвариантностей. Калибровочное поле А под действием струнной группы преобразуется как

Окончательно наше действие может быть написано в виде (8.7.4); эта форма инвариантна относительно преобразований (8.7.5) и (8.7.6). Еще обратим внимание на то, что после того, как была подготовлена ^тематическая база, вывод самого действия занял всего несколько

^ок, как и для общей теории относительности.

. Подытожим теперь все, что мы узнали из одной лишь теории групп, j^&onie ее следствия объясняют странные особенности, найденные

Формализме BRST:

я

'% не является постоянным тензором группы Diff(S), что налагает Жесткие ограничения на те инварианты, которые можно написать для

или равняется нулю с точностью до члена, который исчезает при свертке с уст. Подобная ситуация имеет место в теории форм, где

тождество d2 = О появляется из-за того, что dv] = 0.

/3) Инвариантный относительно U(l) оператор устуст называется в формализме BRST «оператором духового числа». Здесь мы видим, что он является артефактом частного представления Diff(S), а не существенной особенностью теории. Действительно, его можно полностью устранить, принимая абстрактную формулировку тензорного произведения представлений Diff(S).

(й) Мера интегрирования, которую в формализме BRST приходилось постулировать, в геометрическом формализме единственным обра-

(к) Правило умножения *, которое в подходе BRST приходилось постулировать, есть не что иное, как калибровочно-фиксированный вариант умножения х, определенного в (8.4.27). В итоге в подходе BRST приходилось постулировать правила интегрирования и умножения. В геометрическом подходе правила умножения и интегрирования сами выводятся из фундаментальных принципов. Такая ситуация аналогична имеющейся в общей теории относительности, где одной общей ковариантности достаточно для того, чтобы определить правило умножения тензоров и правила интегрирования,

(л)В формализме BRST происхождение конформной инвариантности

вдвумерии не ясно. В нашем подходе двумерная конформная инвариантность возникает благодаря тому, что касательное пространство теории инвариантно относительно полной локальной

группы Diff(S), которая генерируется всей совокупностью Ln. (Хотя касательное пространство преобразуется под действием полной группы, переменная X всегда преобразуется подгруппой Diff(S)_ .)

(М)В формализме BRST переход к полевой теории в калибровке

светового конуса может быть осуществлен только на массовой поверхности. Но вводя тетраду и поля связности с о ^ для Diff(S)_, мы можем выбрать калибровку светового конуса в лагранжиане вне массовой поверхности.

W Фундаментальным полем полевой теории струн является поле связности для струнной группы. Следовательно, оно должно преобразовываться как смешанный тензор Л% в том же самом смысле, в котором поле связности в теории ЯнгаМиллса из-за одних лишь теоретико-групповых соображений должно преобразовываться как

Основная причина, по которой струнная группа замыкается без Использования параметризационной средней точки, состоит в том, ^то физические струны С имеют произвольные параметризационные Длины. Фактически две струнные теории BRST являются калибро-

вочно-фиксированными вариантами геометрической теории. Одна называется «калибровкой, склеивающей струны в средней точке» а другая-«калибровкой, склеивающей струны концами».

Наша следующая задача состоит в фиксации калибровки и устранении множества нежелательных полей. Локальная калибровочная инвариантность позволяет устранить в Л% параметр or. Za всегда можно

выбрать так, чтобы заменить А% на фа:

имели одинаковые параметризационные длины. Тогда det|e| -> 1.

В этот момент геометрическая теория оказывается сведенной к обычному формализму BRST. Фактически можно показать, что из наших двух аксиом при ковариантной фиксации калибровки и выделении средней параметризационной точки получаются пять аксиом формализма BRST. Более того, можно проверить, что редукционное поле равно сектору духового числа — 1/2 поля Ф(Х, 0, 0) во всех порядках.

§ 8.8. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ КАЛИБРОВКА

На первый взгляд симметричная вершина BRST, которую образуют струны, взаимодействующие через свои средние точки, и вершина типа светового конуса, в которой струны взаимодействуют на концах, кажутся совершенно различными. Однако обе они являются калибро- вочно-фиксированными вариантами геометрической теории. В результате мы называем первый формализм «калибровкой, склеивающей в среД" ней точке» (MP), а второй-«калибровкой, склеивающей концами» (Р*)'

В геомерической теории мы можем выбрать еще одну калибровку» «интерполяционную», которая равномерно интерполирует между к а Л Й _ ровками MP и ЕР. Интерполяционная калибровка также п р е д с т а в л я собой калибровочно-фиксированный формализм, так как она основы ется на Y-образной вершине с произвольными длинами струн. Нала условие равенства всех параметризационных длин, мы имеем кали'&Р ку MP; требуя, чтобы одна нога в Y-конфигурации имела нуле У параметризационную длину, получаем калибровку ЕР.

Очень важно обратить внимание на то, что геометрическая вершина (8.3.9) содержит обе калибровки, как MP, так и ЕР. Когда мы

функционально интегрируем по С (от), мы интегрируем по всем возможным параметризациям одной и той же пространственно-временной конфигурации. Поэтому в это интегрирование также входят обе пара- метризации-и MP, и ЕР. Имеется важнейшее утверждение, состоящее

в том, что мы можем параметризовать физическую триплетную верши-

ну либо в МР-, либо в -калибровке. Таким образом, фиксация

калибровки соответствует выделению единственного представителя из каждого класса эквивалентности физически различных струнных конфигураций.

Покажем, что MP- и ЕР-калибровки отличаются друг от друга только мерой. Для этого построим интерполяционную вершину в явном виде.

Интерполяционная вершина удовлетворяет связи

Полагая абсолютную величину каг равной я, мы получаем отсюда

з

MP-калибровку; фиксируя г=£ 1аг = 0, приходим к ЕР-калибровке.

Чтобы построить такую вершину, необходимо конформное преобразование, которое переводит верхнюю часть z-плоскости в многоцветную р-плоскость. Такое преобразование определяется [3] формулами

Jk Многолистной плоскости обязательно имеется риманов разрез. Мы Зн а е м е г о Р а с п о л о ж е н н ы м вертикально от p(z0) до p(z0). Выберем * «+» для квадратного корня при z -> 00 и знак «—» при z — оо.

Путем утомительных, но прямолинейных вычислений находим

(z0 и z0- корни уравнения az2 + bz + с = 0). Теперь, используя технику разработанную в теории светового конуса, можно найти из конформно! го преобразования функции Неймана для нашей вершины. Вычисление основывается на разложении функции р по коэффициентам a]rJ).

можем проверить, что в пределе светового конуса /2 0 снова Получается вершина в калибровке светового конуса. В симметричном пределе ar ± 1 получается новый степенной ряд для функций Неймана, который должен быть эквивалентен вычислениям в МР-калибровке.

Используя интерполяционную вершину |KaiCt2Ct3), запишем действие в интерполяционной калибровке:

где Q = уст VCT. Параметризационную длину всегда можно изменить следующим преобразованием:

Отметим, что мы квантуем теорию с фиксированной величиной яа. Струнные поля различных струнных длин определяются через яа. Иными словами,

Если бы фактор U, появившийся в предыдущем уравнении, был заменен на 5а , мы бы имели ненужное бесконечное количество гильбертовых пространств для каждой возможной струнной длины.

Фейнмановские правила для интерполяционной калибровки таковы:

для произвольного a,. Явно сокращая эти факторы С/, находим, что МЫ можем тривиальным образом вернуться к МР-калибровке. Однако, когда мы устраняем эти факторы и переходим к ЕР-калибровке, возникает ряд замечательных тождеств для функций Неймана, позволяют0*

вывести четырехструнное взаимодействие (6.7.6) [4]. Мы находим, четырехструнное взаимодействие не следует включать в действие ПР^ использовании тетрады; это калибровочный артефакт, аналог фермионного кулоновского члена, найденного в КЭД. В калибровк MP, интерполяционной и ЕР (/ — м)-диаграммы связываются объедя*1 ной струнной группой следующим образом:

четырехструнным взаимодействием формализма светового «онуса. Если же 5 ф 0, то мы имеем четырехструнное взаимодействие для интерполя-

Итак, мы видим, что четырехструнное взаимодействие не является фундаментальным взаимодействием, а представляет собой побочный продукт преобразования четырехточечной функции от MP- к ЕР-калиб- ровке. Фактически из (8.8.9) можно видеть, что оно в точности равняется квадрату интерполяционной вершины. Аналогичная ситуация имеет место в КЭД, где мгновенный четырехфермионный кулоновский член есть точный квадрат трехвершинной свертки поля А0 с двумя фермионными полями.

В случае замкнутых струн ситуация еще более удивительна. Все предшествующие формулировки для замкнутой струны нарушали модулярную инвариантность. Пространство модулей или избыточно (благодаря лишнему бесконечному интегрированию по фиктивным струнным длинам), или недостаточно полно (из-за недостающей области Интегрирования, если мы используем обобщение вершины Виттена). Решение проблемы состоит в использовании геометрической струнной Полевой теории.

Во -первых, решается проблема многократного учета пространства

Модулей, поскольку фиктивные параметризационные длины являются

^^либровочными параметрами. Во-вторых, когда мы переходим к МР-калибровке, возникает новое четырехструнное взаимодействие замк-

нУтых струн, которое точно заполняет недостающую область интегрирования. Это новое четырехструнное взаимодействие замкнутых струн *Меет топологию тетраэдра. Каждая грань тетраэдра соответствует °ДНому из четырех состояний замкнутых струн. Детальное компьютерное вычисление показало, что новый тетраэдрический граф заполняет еДостающую область комплексной плоскости [2].

^Гладко подходя к калибровке светового конуса, находим, что ^•раэдрический граф исчезает. Когда же мы гладко изменяем пара-