Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

В частности, Ъп и сп- духовые поля, соответствующие бозонной струНе

аРй и у • обозначают духи для фермионного поля, где точка опять обозначает возможность разложения либо по целым, либо по полу целым модам.

Коммутационные соотношения принимают вид

где Ln суть обычные операторы Вирасоро.

где / $ равно 2, если М - б озонный индекс, и М/2, если М-фермионный индекс, черта меняет местами бозонные и фермионные моды, a d, К, 8, R принимают те же значения, что и в случае Вирасоро.

F0 - обычный оператор Рамона, который удовлетворяет следующим коммутационным соотношениям, определяющим алгебру Superdiff (5):

Отметим, что алгебра Superdiff(S), которая обычно записывает^*

Этих же коммутационных соотношений достаточно, чтобы показать нильпотентность BRST-оператора Q.

Как упоминалось выше, проблема с сектором Рамона заключается в том, что духовая мода у0 разлагается по целым модам и удовлет- воряет коммутационным, а не антикоммутационным соотношениям, так

что имеется бесконечное число духовых вакуумов, описываемых yj 10) для 1ажДого п. Одно из решений этой проблемы состоит в произвольном чранкировании нулевых мод оператора Q при сохранении его нильпотентности.

Мы подходим к решающему моменту: как и в случае бозонной замкнутой струны, устраним произвольным образом бозонные духовые моды Уо> Ро и введем фермионные В0 и с0, такие что

где NF подсчитывает полное число фермионных операторов рождения в данном состоянии. При этом руководящим принципом в построении

модифицированного оператора было тождество Q2 = 0.

Для выделения состояний сектора Рамона определим оператор GSO,

NF относится только к ненулевым модам, а Г11 обозначает Ю-мерную киральную матрицу Дирака. В этом представлении GSOЧЮекция просто уничтожает состояния с неправильной спиновой

статистикой.

Произвольное рамоновское суперполе в этом транкированном фо- *°вском пространстве может быть разложено как

гДе |у}-0-форма киральности Г11 = 1, | Е,) есть G = + 1(— 1)-форма и

дсГко показать, что такой выбор духовых чисел удовлетворяет переделенным выше аксиомам когомологии.

Обобщим эти правила на случай открытых суперструн. Мы хотим ^хранить аксиомы когомологии и в дополнение потребовать, чтобы два калибровочных преобразования производили третье калибровочное преобразование с тем же самым духовым числом.

Выдвинув эти условия, сразу находим, что определенные нами операции * и J имеют неправильные духовые числа. Как было найдено gynie, действие тождественно равняется нулю. На этот раз, чтобы

восполнить утерянные духовые числа, вместо транкирования нулевых #од мы прибегнем к конформной полевой теории. Вставки от духовых полей BRST будут присутствовать только в средней параметризационной точке, поэтому мы не потеряем локальность по ст. Таким образом, это транкирование, которое транкирует только духовые числа полей, лучше, чем предыдущая операция транкирования нулевых мод.

Чтобы заставить этот механизм заработать, нужно добавить несколько новых особенностей.

(1) Суперполе Ч* представляется теперь суммой NS-поля а и R-поля у:

(2)Аналогично, калибровочный параметр А также состоит из двух частей:

(3)Духовое число операции * равно теперь 1/2 (поскольку, как и выше в (7.4.16), вклад конформных духов равен 3/2, но суперконформные

духи дают вклад — 1/2). Следовательно, мы должны изобрести новое правило умножения для суперструн, которое будет иметь духовое число 3/2 (назовем его ®).

(4)Интеграл J имеет теперь духовое число — У2 из-за вклада суперконформных духов. Необходимо предположить существование но-

вого интегрирования имеющего духовое число — 3 /2 .

Теперь методом проб и ошибок мы можем приписать всем нашим Полям и операторам духовые числа, обеспечивающие замкнутость ^злибровочных преобразований и выполнение приведенных выше аксиом [17]:

23.787

Подытожим различные трудности формализма BRST, обусловлен ные тем фактом, что это фактически формализм с фиксированной калибровкой.

(1)Загадочна необходимость существования двух формализмов BRsy эквивалентных на массовой поверхности,-одного, основанного на определенной ковариантным образом вершине конусного форщ. лизма, а другого-на симметричной вершине.

(2)Смысл духового поля Фаддеева-Попова, являющегося напоминанием о фиксации конформной калибровки, неясен. Почему объект

фиксирующий калибровку, должен играть в формализме BRST такую важную роль?

(3)Правило умножения * и правило интегрирования J для струн просто

постулируются без объяснения их происхождения.

(4)Непонятен смысл уравнения Q2 = 0.

(5)Формализм BRST не может перейти в калибровку светового конуса вне массовой поверхности. Как мы видели, чтобы получить действие в калибровке светового конуса, для уничтожения лишних мод пришлось использовать уравнения движения.

(6)Предлагается много способов транкирования для теории BRST, не все из них согласуются друг с другом. Какой же способ является правильным? Присутствие связей в фермионном секторе не только неприятно, оно обрекает эту теорию на неудачу. Уравнения связей не могут быть разрешены при сохранении уравнения движения. Таким образом, для сектора замкнутых фермионных струн теория терпит полный крах.

(7)Почему такую важную роль в теории должна играть средняя параметризационная точка? Математически середина струны не является такой уж особенной точкой.

(8)Что важнее всего, формализм BRST невозможно вывести из фундаментальных принципов физики. Он не является физическим принципом. Метод BRST-это формализм для квантования в к а л и б р о в к е . Он лишен физического содержания.

Перед тем как завершить эту главу о струнной полевой теории BRST> скажем несколько слов о многообещающей формулировке полевой теории струн, называемой «предгеометрическим» подходом [54-56J. Эта формулировка не ссылается на фоновую метрику и может ДаТЬ

ключи к пониманию происхождения самой геометрии. Рассмотрим действие

з д2

На первый взгляд такое действие не имеет смысла. Оно никак ссылается на то, какая фоновая метрика лежит в его основе,- что с а М ° ^ себе хорошо, но два обстоятельства кажутся создающими неПРеО,Яе00Л мые трудности: действие не имеет кинетического члена и его уравН

кения представляются тривиальными. Для того чтобы изучить это : действие, выпишем соответствующее ему уравнение движения:

Обычно оно имеет решение Ф = 0, так что в случае точечной частицы 1Я0рия оказывается бессодержательной. Однако данное уравнение на самом деле представляет собой краткую запись для бесконечной совокупности связанных уравнений, соответствующих бесконечноюмпонентной полевой теории, поэтому для струнной теории оно уже не диляется тривиальным. Предположим на минуту, что для этого уравнефЯ движения существует ненулевое классическое решение Ф0, т.е.

Подставим полученное разложение обратно в лагранжиан. Так как Ф0 удовлетворяет классическим уравнениям движения, мы имеем новый лагранжиан, основанный на новом классическом решении:

в соприкосновение с физической теорией. Сделаем теперь важнейшее

предположение, лежащее в основе этого подхода. Допустим, что сущест- вует оператор D, который удовлетворяет уравнению

Если такой оператор действительно существует, то тогда можно Доказать, что он нильпотентен. Подставляя выражение (7.7.49) в лагранжиан, получаем

бы мы могли отождествить оператор D с обычным оператором

йПодхода BRST, то тогда можно было бы показать, что это действие

вточности BRST-действие с кинетическим членом! Итак, обычное RST-действие могло бы появиться при разложении поля вблизи нового

классического решения нашей теории.

Новой особенностью этого подхода является отсутствие какого-либо упоминания пространственно-временной фоновой метрики. Фон присутРУет только в кинетическом члене, но не в члене взаимодействия, ^^твительно, выбор фоновой метрики осуществляется при разложеполя вблизи классического решения уравнений движения. Это ясняет, почему такой подход называется «предгеометрической» РИей. В принципе геометрия пространства-времени должна возник-

ь в результате выбора одного из многих возможных вакуумов.

На практике, однако, следует тщательно проверить согласованность нашего подхода. Ключевым уравнением было (7.7.49). При определи ных предположениях представляется возможным найти решения этого уравнения, где D удовлетворяет аксиомам струнной полевой теорщ BRST. Если это так, то обычное плоское пространство струнной полевой теории BRST есть не что иное, как одно из решений уравнения движения для действия Ф3. Другие решения предположительно дадут BRST-теории с другими классическими метриками.

Например, выберем

где Ql~ BRST-оператор, определенный только слева от средней точки (для открытия струны), а /-тождественный оператор (который равен 1

если левая и правая сторона струны совпадают, и нулю в противном случае). Первоначальный оператор Q подхода BRST равен QL + QR.

Подстановка выражения

в исходное действие восстанавливает действие BRST (7.5.7). (Правая часть оператора Q появляется в вычислениях, поскольку QRI = — QLI.)

Как ни странно, можно показать, что эти определения согласуются с исходными пятью аксиомами разд. 7.5, так что обычное струнное действие BRST, по-видимому, есть одно из многих возможных решений уравнения (7.7.45).

Итак, плоское пространство является корректным решением уравнения (7.7.45). Однако нужно еще найти, какие другие виды фоновых метрик могут быть получены как решения уравнений движения.

§ 7.8. РЕЗЮМЕ

Исходным пунктом ковариантного калибровочного подхода было построение теории, инвариантной относительно преобразования

Мы постулировали эту инвариантность, основываясь на аналогии с теорией Янга-Миллса, которая также инвариантна относительно зований, превращающих поле в духовые поля. Фактически, р а с к л а д ы в а я предыдущее уравнение, мы в точности получим линейную часть вариа- ции теории Янга-Миллса

Ф \P[L0 — 1] Ф ) ,

где Р-проекционный оператор. Путем степенного разложения мо#н° получить точное решение этой калибровочной проблемы:

ga свободном уровне данное выражение воспроизводит обычное дей- ^ие Максвелла. Посредством «грубой силы» решение может быть jgjgice написано для высших порядков:

a/>-проекционный оператор, уничтожающий духовые поля. Эта теория нелокальна, что означает необходимость включения в нее дополнительных полей для поглощения нелокальных членов.

Потребность в дополнительных полях появляется уже в методе BRST-квантования. Отметим, что духи Фаддеева-Попова распространяются в свободной теории:

Поэтому континуальный интеграл нужно модифицировать так, чтобы учесть эти дополнительные степени свободы. Гильбертово пространство вашего полевого функционала должно быть теперь расширено:

i = i e > | x > j D x z > e < e i < * | ,

( 7 . 0 . 6)

<е|<х|Ф> = Ф(л:, 6).

Это означает, что функции Грина представляются теперь в виде