Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Так как вектор в (6.3.11) имеет простую гауссовскую зависимость от jf мы можем вычислить интеграл по ШГ123 в явном виде и получить точную формулу для вершинной функции, записанную через гармонические осцилляторы.

Более удобно выполнить эти вычисления в импульсном представле- нии. Беря фурье-преобразование, мы легко превращаем формулу (6.3.11)

для собственных состояний X в формулу для собственных состояний Р:

Мы легко проверяем, что это выражение правильно воспроизводит уравнение на собственные значения (2.2.9):

Выпишем фурье-разложения для всех трех струнных состояний в вершине в Х- и Р-представлениях:

Эт

Гауссов интеграл. Единственная сложность, с которой мы столкнем- ^ Э т о явная форма дельта-функционала 5123 в (6.4.5), записанная через iw^^^ecKHe осцилляторы. Для выполнения функционального инте-

Р°вания выделим фурье-коэффициенты функционала 8123 с помощью

19*

292 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса

косинус-преобразования уравнения связи для различных Р. Обычп такое фурье-преобразование синуса или косинуса представляет собо* дельта-функцию. Здесь из-за различной параметризационной длины все» трех струн вместо дельта-функций мы получаем матричные уравнения В частности, условие

+ лI=(1Л З Д + Л<£>р«\) + WpP + = о, (6.4.16)

где А и В- различные интегралы от произведения косинусов.

Вместо того чтобы рассматривать (6.4.16) как точное операторное уравнение, достаточно потребовать его выполнения только на вершинной функции. Другими словами, мы хотим, чтобы вершинная функция обращалась в нуль под действием 6 i 2 3 . Это означает, что [1, 6, 7]

Фурье-коэффициенты определяются фурье-преобразованием различных косинусоида л ьных гармоник. Так как все три струны имеют разные длины, фурье-коэффициенты будут, вообще говоря, нетривиальными. Явным построением получаем следующие фурье-коэффициенты:

,Хотя выражения могут показаться сложными, непосредственное зачисление интеграла оказывается простым, поскольку он гауссов. Выполняя интегрирование, находим явную форму вершинной функции. Сначала мы берем тривиальный интеграл по Р{Ъ). Благодаря наличию

дельта-функции, он становится комбинацией импульсов двух других струн. Тогда по Р( 1 2 ) получаем простые гауссовы интегралы. Объединяя члены, находим компактное выражение вершинной функции через гар-

монические осцилляторы [1, 6]:

Г = £

Г=1

Подведем итоги. Мы постулировали, что единственно возможные взаи-

модействия между струнами-это локальные взаимодействия, т.е. мгно- 1еннЫе локальные деформации топологии струны. Таким способом мы йз®езкали проблем нарушения причинности, десятилетиями блокировавпопытки создания нелокальных полевых теорий. Как ни странно, ЦДНого этого принципа оказывается достаточно для определения всех

^^струнных взаимодействий в калибровке светового конуса. Отметим, что все матрицы Неймана единственным образом опреде-

лится из условия перекрытия струн (6.14.15). Условия локальности

.^ранения импульса достаточно для того, чтобы построить точное ^^ляторное представление вершины.

^Далее мы хотим проверить, что такой подход воспроизводит обычформулу Венециано. Для этого нужно убедиться в следующем:

294 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса

(1)Нужно показать, что мы воспроизводим функцию Неймана m, модели Венециано.

(2)Нужно показать, что якобиан преобразования координат от стру^ ной конфигурации т к обычной верхней полуплоскости переменной оказывается правильным.

Сейчас мы получим обычные струнные амплитуды, демонстрируя тем самым эквивалентность первично и вторично квантованных теорий со взаимодействиями на уровне теории возмущений.

§6.5. МЕТОД ФУНКЦИЙ НЕЙМАНА

Вгл. 2 мы убедились в возможности вычисления функционального интеграла по диску с L ручками:

Здесь N (/, j)- функция Неймана между точками i и j на краях диска или верхней полуплоскости с ручками, a MNtL включает все члены меры.

Недостаток этого подхода, однако, заключается в том, что функциональный интеграл определяется на диске или в верхней полуплоскости, в то время как струнная интерпретация конформного диска неясна. Для того чтобы найти связь между струнным подходом и конформным диском, сначала сделаем конформное преобразование р = In z. Такое конформное преобразование превращает верхнюю z-полуплоскость в горизонтальную полосу р-плоскости шириной к. Эта горизонтальная полоса в свою очередь может быть интерпретирована как поверхность, заметаемая одной свободной струной. Мы стремимся обобщить это преобразование на АГ-точечную функцию.

Мы следуем Манделстаму [8] и делаем следующее конформное преобразование верхней полуплоскости:

где параметризационная длина каждой струны есть к at. Это конформное преобразование растягивают верхнюю полуплоскость в длинные горизонтальные полосы, которые соответствуют движению щихся струн.

Аналитически на качественном уровне мы можем видеть, что это преобразование отображает верхнюю полуплоскость в правильную диаграмму в калибровке светового конуса. Отправим нашу перемеННУ^ на положительную бесконечность и затем начнем медленно Дв И г а Т Ь ^ налево. Когда мы приближаемся к одной из сингулярностей, лежаШйХ вещественной оси, р быстро уходит в отрицательную бесконечность, мы проходим над сингулярностью z, , в результате чего логарйф приобретает мнимую часть:

влево, то точка в р-плоскости начинает двигаться вправо (оставаясь решенной на расстояние ка, вверх).

Когда мы подходим к следующей сингулярности в точке z , ^ на вещественной оси, происходит нечто странное. Движение переменной g р-плоскости начинает замедляться, в определенной точке она вообще может остановиться, а затем начать движение в обратном направлении, т.е. двинуться влево в комплексной плоскости к отрицательной беско-

нечности. Точку поворота в р-плоскости можно найти, взяв производную и решив относительно z следующее уравнение:

Когда мы достигаем в z-плоскости z* _ ^, точка в р-плоскости устремляется в отрицательную бесконечность. Проход над сингулярностью в точке 1 приводит к сдвигу в р-плоскости на еще один отрезок яа,_! вертикально вверх. Осторожно двигаясь таким образом по вещественной оси в z-плоскости, мы очерчиваем струнную конфигурацию в калиб-

ровке светового конуса, показанную на рис. 6.4.

К счастью, из (2.5.7) известно, что функция Неймана в верхней полуплоскости есть сумма двух логарифмов. Далее мы хотим разложить эту же самую функцию Неймана в степенной ряд по переменным, определенным в z-плоскости. Для свободной струны, например, можно выбрать координату £ для направления т и координату г| для направле-

ния а. Тогда z = = ^ +

Теперь разложение функции Неймана по переменным £ и г| получается

без труда:

Доказательство того, что это выражение воспроизводит функцию НейJj8®*» достаточно просто. Во-первых, отметим, что сг-производная Функции cosпх\ на концах струны равна нулю, в соответствии с тем, что

на концах струны. Во-вторых, результат действия оператора V2

сражение должно быть правильным.

Решение для функции Неймана взаимодействующей струны получа- я таким же способом. Сначала предположим, что функция Неймана

296 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса

Рис. 6.4. Параметризация JV-точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.

— 2т1з8Г(з — 2^38,3 + brs,

где можно определить локальные координаты прямо на струне с номером г:

для г = 1, 2, 3, а константу можно выбрать так, чтобы координаты отсчитывались от ближайшей точки поворота. Здесь штрих у суммы означает отсутствие члена п = О, т = 0. Доказательство правильности этого выражения проводится аналогично. Отметим, что первые два члена в правой части уравнения являются просто членами, обусловленными свободной струной, которые гарантируют выполнение уравнения V2N = 2nd2 (z — z'). Остальные члены представляют собой не что иное, как решение уравнения Лапласа, разложенное по cos«r|. Следовательно, данное выражение служит решением уравнений Пуассона. Поэтому» с учетом единственности функции Неймана, оно является правильным-

Важно отметить, что до сих пор не было сделано ничего нового. Мы просто переписали функцию Неймана как фурье-разложение в различ- ных струнных координатах. Важнейшие коэффициенты которые непосредственно появятся в трехструнной вершине, в свою очередь могут быть точно вычислены, поскольку мы знаем форму функЦй0 Неймана в верхней полуплоскости, представляющую собой сумму Д®У* логарифмов. Таким образом, можно делать различные ф у р ь е - п р е о б р а " зования этой известной функции Неймана, определенной в вер*не^ полуплоскости, и найти фурье-коэффициенты Nmn. Мы обращаем дыдущее уравнение и теперь решаем его для коэффициентов НеймаНа'

уделенную в верхней полуплоскости, и делая подходящее преобразоjjjgae переменных, мы получаем точную формулу для коэффициентов Неймана.

Теперь, имея явные выражения для фурье-компонент функции Нейрина, рассмотрим случай трех струн. Преобразование верхней полупло-

Точку поворота для такого отображения можно вычислить, беря производную

Отсюда момент времени, в который происходит расщепление струны,

равен

з

t0 = Rep(z = z 0 ) = X ar ln|ar |. (6.5.11) r= 1

Замечательной особенностью отображения (6.5.9) является наличие обратного, выражающего z через р. Это позволяет вычислить все функции Неймана быстрее, не прибегая к абстрактным выражениям типа (6.5.8).

Мы начнем обсуждение процедуры вычисления коэффициентов Неймана с задания координат на трех различных струнах. Например, определим координату £3 на третьей струне:

Деление на а3 обеспечивает изменение параметра г| только от 0 до я. ® этих новых переменных отображение (6.5.9) можно написать так:

-рун, ее второй вариант выражается через неймановские функции на

«ямановой поверхности.

Чудесным образом, однако, оказывается, что они совпадают [6, 9]:

Nrs _ jjrs

пт — 1 У пт ,

Таким образом, хотя эти два вывода сначала представлялись совершенно непохожими, в конечном счете мы обнаруживаем их полную эквивалентность. (Фактическое доказательство того, что коэффициенты Неймана, найденные в полевой теории (6.4.24), и коэффициенты, полученные в первично квантованной теории, совпадают, можно провести двумя способами. В первом мы используем хорошо известную теорему единственности решения уравнения Пуассона с заданным граничным условием. Можно показать, что обе функции Неймана являются решениями уравнения Пуассона и оказываются непрерывными при т = О, когда происходит расщепление струн. Поэтому, несмотря на громадную разницу в способах появления этих функций, они на самом деле одинаковы. Их эквивалентность тем не менее может быть показана также с помощью второго подхода, опирающегося на «грубую силу». Доказательство требует манипуляций сложными выражениями посредством тождества (6.5.8) [6]. Детали этого вычисления, однако, очень утомительны и здесь представлены не будут.)

Следующим шагом будет доказательство того, что полевая теория струн в калибровке светового конуса воспроизводит модель Венециано.

§ 6.6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ

Начнем наше обсуждение с выписывания N-точечной амплитуды

вформализме светового конуса. Эта амплитуда является прямым обобщением амплитуды, найденной в полевой теории точечной частицы

вкалибровке светового конуса [8]:

Десь ¥<r> представляет входящий (выходящий) вектор состояния г-й ®®Шней струны, т,-времена взаимодействия, Р" - компонента фурье- "Реобразования, необходимая для превращения данного выражения ^плитуду на массовой поверхности, Р(, ] - распределение импульса,