Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

430 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Короче говоря, фермионы могут переходить в состояние с нулевым собственным значением и покидать его только киральными парами

Фермионы с ненулевыми собственными значениями всегда встречаются парами, и поэтому их вклады в индекс взаимно сокращаются. Следовательно, их присутствие не влияет на разность между числом положительных и отрицательных киральных состояний. Таким образом, фермионные состояния с ненулевыми собственными значениями вообще не влияют на индекс.

Этот вопрос представляет не только академический интерес, поскольку имеет прямое отношение к аномалиям. Например, мы знаем,

Наивно можно ожидать, что этот ток сохраняется в силу уравнений движения. Ковариантная дивергенция (изотопические индексы опускаем) равна

Обычно это выражение в точности равно нулю, поскольку у^ D^ у = 0. Однако мы должны быть осторожны при учете вклада вакуумного среднего от дивергенции тока, которое, вообще говоря, может быть ненулевым. Определим

и вычислим значение вакуумного среднего значения дивергенции тока. Получаем

Последнее выражение, содержащее 5 (х, х), не имеет смысла до тех пор» пока мы не регуляризуем интеграл. Этого следовало ожидать, поскольку ранее мы видели, что треугольный граф расходился и требовал осторожной регуляризации.

Один из стандартных методов регуляризации называется метод0 ядра теплопроводности. Он заключается во введении с х о д я ш е г

где след берется по спинорам, так что выражение становится конечным (для положительных т).

Заметим, что выражение для аномального члена в (9.5.16) в точности совпадает с определением индекса оператора Дирака. Таким образом,

установили прямую связь между индексом оператора Дирака и несохранением аксиального тока.

Вообще говоря, след может быть вычислен явно. В конце этой главы мы покажем, что использование суперсимметрии позволяет дать наиболее простое и самое красивое доказательство теоремы Атьи-Зингера об индексе, что позволит нам вывести все известные теоремы об индексе в одну строчку.

Вычисляя этот след для произвольного спинорного многообразия

ииспользуя (9.4.19), (9.4.26), находим Индекс (D) JM А (М) =

где размерность пространства-времени кратна четырем. В четырех измерениях имеем

с полем ЯнгаМиллса индекс становится интегралом от произведения

Заметим, что эта формула определена для четных размерностей, не обязательно кратных четырем. Для D = 2 имеем

Начнем с частицы спина 1/2, взаимодействующей с гравитоном:

Нас интересует низший порядок взаимодействия поля репера (тетрады) со спинором:

Особенно нас интересует однопетлевая диаграмма с фермионами спина 1/2 во внутренних линиях, взаимодействующими с внешними гравитационными линиями. Первый член дает стандартную трехчастичную вершинную функцию с фейнмановской вершиной, состоящей из одного импульса и комбинации тензоров поляризации. Второй член, однако, является четырехточечным фейнмановским графом, так называемой «чайкой».

На первый взгляд кажется безнадежным вычислять однопетлевую фермионную диаграмму с произвольным числом гравитонных линий, но существуют обходные пути сведения вычислений к достаточно простой задаче. В частности, используя соображения симметрии, находим, что

эту задачу можно свести к задаче рассеяния заряженной скалярной частицы, взаимодействующей с постоянным электромагнитным полем.

К счастью, задача описания заряженных скаляров в КЭД хорошо изучена и ее решение известно. Таким образом, ключом к решению проблемы является сведение сложной задачи к одной из уже известных.

Этот обходной маневр обобщается также для двух других случаев. Нас также интересует рассеяние внутренних полей спина 3/2 и антисимметричных тензорных полей на внешних гравитонах. С о о б р а ж е н и я симметрии снова позволяют свести проблему к более простой. Циркулирующая во внутренних линиях частица спина 3/2 может быть с в е д е н а

Используя правила Фейнмана, нетрудно построить многоугольный [). Известно, что амплитуда рассеяния частиц спина 1/2 может быть

и где тензор поляризации /-го внешнего гравитона может быть задан

Заметим, что в этом уравнении можно по-разному выбирать поляризацию нго внешнего гравитона как произведения двух векторов поляризации частиц спина 1. Это решающее обстоятельство позволяет переписать исходную амплитуду рассеяния частиц спина 2 через амплитуду рассеяния частиц спина 1.

Теперь Z сведена к амплитуде рассеяния распространяющейся заряженной скалярной частицы (заряда 1/4), взаимодействующей с постоянным электромагнитным полем, которая была вычислена Швингером [13] десять лет назад. Представим электромагнитное поле в виде

Выше в (9.3.5) мы использовали функциональный формализм для того, чтобы показать, что аномальный член связан с логарифмом от Детерминанта пропагатора. Мы показали, что

^^РЖдения в конце этой главы.) Антисимметрический тензор Максвел28*

436 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

ла нельзя диагонализовать, но всегда можно привести к следующему виду:

Как и ожидалось, это выражение в точности совпадает с выражением для индекса оператора Дирака или интегралом от А.

Затем мы должны вычислить аномалию для внутренней петли фермионов спина 3/2, взаимодействующих с произвольным числом внешних гравитонов. И опять используются соображения симметрии для сведения задачи к более простой. Действие для частицы спина 3/2, взаимодействующей с гравитацией, имеет вид

Заметим, что спинор ц/^ имеет как векторный индекс р, так и спинорный индекс, который мы опускаем. Как и выше, выпишем члены взаимодействия только низкой степени по полям hap и v|

И снова общий вид однопетлевой амплитуды можно записать в форме

где Z представляет амплитуду рассеяния внутреннего заряженного векторного мезона, взаимодействующего с постоянным электрическим полем. Выпишем эффективную теорию заряженных векторных мезонов, воспроизводящую Z до одной петли:

Последний аномальный член, который мы хотим вычислить, про- исходит из вклада антисимметричного тензорного поля. Следует быть

осторожным при вычислении аномалии для тензорной частицы, поскольку для этой частицы не определено ковариантное действие. Итак,

то возникнут затруднения. Можно показать, что в силу тождеств Бьянки условия авто дуальности эквивалентны уравнениям движения. Другими словами, обычным уравнениям движения, следующим из стандартного действия

удовлетворяют не только автодуальные, но и антиавтодуальные поля. В этом и заключается проблема. Можно доказать, что такого ковариайтного действия, для которого распространяющимися будут только Ютодуальные поля, не существует [14].

Однако для вычисления амплитуды рассеяния можно действовать входным путем. Хотя для тензорной частицы и не существует ^вариантного действия, правила Фейнмана для нее могут быть 3апИсаны ковариантно. Трюк заключается в использовании спинорного

имитирующего антисимметричное тензорное поле. Тензор энергии-импульса для этого поля имеет вид

р Частью, все фейнмановские правила для антисимметричного тензора Известны, даже если действия для него не существует. Запишем теперь °т антисимметричный тензор в терминах полей. Положим по ^Делению

Использование этого вложения выгодно тем, что с фермионными полями работать намного легче, чем с антисимметричными тензорами Двухточечная функция имеет вид

Окончательное выражение для вклада антисимметричного тензорного

поля в аномалию имеет вид

Конечно, мы также должны вычислить вклад в аномалию внешних калибровочных полей. Это вычисление полностью идентично тому» которое мы уже провели, только теперь мы должны брать п калибро- вочных частиц, соответствующих п генераторам калибровочной сим-

метрии.

Соберем (9.6.18), (9.6.24) и (9.6.35) вместе, включая вклад от смеш^ ных аномалий из калибровочного сектора. Запишем для Уд0 rt0 полный вклад в аномалию в терминах /D + 2, что является, как показа» в (9.4.7), подходящей формой для записи аномалии, поскольку М °Ж т показать, что в таком виде аномальный член явно удовлетвор

условию согласованности Весса-Зумино. Имеем

+ F i W ( т ' " г ) ' ] + 5 Й Т г Т г ^ + I S i ( Т г # ) ' •

(9.6.36)

где R- тензор кривизны, F-тензор Янга-Миллса. Это и есть наш

окончательный результат. На первый взгляд, только ряд чудесных совпадений может обратить в нуль это ужасное выражение. Однако в данном случае это как раз и происходит. Необходимо, в частности,

показать, что модель струны согласуется со следующими условиями:

(I)п = 496, что обращает в нуль половину слагаемых в выражении для аномалии;

(И)остающиеся ненулевые члены могут быть переписаны в факторизованном виде; и

(III)можно сократить факторизованные члены с другими, возникающими из эффективного действия AS точечной частицы.

Замечательно, что все эти три условия могут быть наложены одновременно.

Во-первых, условию (I) легко удовлетворить, положив п = 496. Тогда большое число членов в (9.6.36) обращается в нуль. (В следующей главе мы предъявим SO (16) х 80(16)-модель, в которой можно устранить эти члены выбора другого представления для киральных полей.)

Во-вторых, хотя условию (II) удовлетворить намного труднее, но Можно показать, что остающиеся в (9.6.36) члены факторизуются в

произведение двух членов, если Тг F6 может быть переписан в терминах ТгF2 Тг F4 и (Тг F2 )3 , т.е.

Если это странное уравнение выполняется, то мы имеем следующее бдение: