Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

500 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

При действии группы SU(4) эти два четырехкомпонентных объекта преобразуются как спиноры противоположной киральности. Можно считать, что спинор 8 имеет положительную киральность. Это устраняет половину компонент, так что 8 преобразуется по фундаментальному представлению 4 группы SU(4).

Изучаемый спинор, однако, не является произвольным, а удовлетво-

т. е. спинор остается неизменным при переносе по замкнутому пути. Вопрос теперь заключается в следующем: каждая подгруппа группы

О (6) оставляет инвариантным пространство 4 представления группы SU(4)? Ответ хорошо известен, он взят непосредственно из теории хиггсовского нарушения симметрии. При этом мы также хотим получить ответ на вопрос: какова максимальная группа, оставляющая постоянный спинор или вектор неизменными?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что при помощи преобразований группы SU(4) всегда можно привести спинор 8 к виду

(11.1.21)

0

\е<

До сих пор мы фактически ничего не сделали. Мы просто взяли произвольный спинор и привели его к указанному виду при помощи вращений из группы SU(4). Но теперь очевидно, что максимальной группой U, оставляющей такой спинор неизменным, является подгруппа комплексных 3 х 3-матриц в SU (4), образующих группу SU (3). Заметим, что при этом матрица U выбирается в блочно-диагональном виде:

Теперь уравнение 8 = Uz удовлетворяется тривиально. Важно отметить,

что наш результат имеет весьма общий характер. Специальный вид ДЛ* 8 мы выбрали только для того, чтобы наглядно продемонстрировать этот общий результат, не зависящий от вида 8.

В заключение отметим, что существование ковариантно постоянного спинора редуцирует группу голономии от О (6) к SU (3). Таким образом» К6 в качестве группы голономии имеет группу SU(3).

Логическая цепочка, по которой мы следовали, может быть записа следующим образом:

Это важный, но довольно бесполезный результат. Очень мало известно о многообразиях с голономией SU(3). На самом деле в явном виде ничего не известно. Поэтому эта важная информация не может быть использована для вывода феноменологических следствий. Однако надежда на это все же остается, поскольку мы пока еще не исчерпали всю информацию, которая может быть извлечена из наших предположений.

Мы далеко не исчерпали все те возможности, которые существуют при наличии в теории ковариантно постоянного спинора. Всегда можно, например, построить из спинорного поля объект, преобразующийся при преобразовании координат пространства как тензор:

Если на многообразии можно задать тензор J, отображающий любое касательное пространство в себя и удовлетворяющий уравнению J2 = = — 1, то говорят, что многообразие является почти комплексным. (В

двух измерениях это утверждение тривиально и говорит просто о существовании числа /, такого, что i2 = — 1.) Если спинор s ковариантно постоянен, то тензор J становится очень интересным объектом. Напри-

мер, дифференцируя, мы получаем

Это означает, что метрика, кроме того, что она риччи-плоская, является также кэлеровой. (Эти термины будут определены ниже.) Наконец,

можно определить один-форму

•^Де Tqmp- символы Кристоффеля. Находим, что эта форма удовлетворяет

В итоге, восстанавливая логику наших предположений, имеем

Суперсимметрия N = 1 -> D,e = 0 -> К является риччи-плоской,

кэлеровой, с нулевым первым

Большое преимущество этого нового результата заключается в том, что Известно много риччи-плоских кэлеровых многообразий с нулевым ПеРвым классом Черна. Использование кэлеровых многообразий этого более предпочтительно, нежели малоизученных многообразий с

^Уппой голономии SU(3).

При этом остается нерешенным вопрос о связи между этими двумя типами многообразий. К счастью, Калаби сформулировал (а Яу позже доказал) утверждение [4-6]:

Теорема (Калаби-Яу). Кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна всегда допускает кэлерову метрику с группой голономии SU(3).

Таким образом, используя теорему Калаби-Яу, можно получить (по крайней мере в принципе) тысячи шестимерных многообразий, пригодных для феноменологических целей.

Для того чтобы явно построить такие многообразия Калаби-Яу, важно сначала дать обзор некоторых элементарных фактов из алгебраической геометрии и теории когомологий. Сделаем сейчас отступление и обсудим некоторые простые свойства кэлеровых и риччи-плоских метрик на языке когомологий. Мы увидим, что многие результаты теории когомологий могут быть прямо введены в феноменологию теории суперструн.

§ 11.2. ОБЗОР ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ ДЕ РАМА

Как изложено в приложении, теория дифференциальных форм начинается с нильпотентного оператора:

Аналогично она называется точной, если существует (N — 1)-форма а,

такая, что

Заметим, что множество точных форм является подмножеством множества замкнутых форм:

В трехмерном случае эти утверждения можно объединить в хорошо известное утверждение о том, что градиент скалярного поля всегда

имеет нулевой ротор:

Фактически теория форм позволяет просто переформулировать многй6 теоремы обычного тензорного исчисления в трех измерениях. ^ В теории Максвелла мы говорим, что два тензорных поля Ац й JJ

описывают одну и ту же физику, если они отличаются на поЛЯУ

Это, конечно, составляет сущность калибровочной теории. Используя угот математический язык, будем говорить, что две формы со и со' принадлежат одному классу эквивалентности, если они отличаются на замкнутую форму:

со — со' = da со ~ со'.

В теории Максвелла мы хотим построить множество всех неэквивалентных полей. В теории форм мы делаем это, определяя PF(M) как

множество всех замкнутых /?-форм по модулю точных форм, т.е.

Это определяет р-ю группу когомологий де Рама многообразия М.

Заметим, что группа когомологий подсчитывает, как много независимых замкнутых /7-форм может быть определено на данном многообразии. Когомологии, таким образом, зависят от локальной структуры

многообразия. Однако, как предполагает само название, существует дуальность между когомологиями и гомологиями, отражающими глобальные свойства многообразия:

Когомологии локальные свойства многообразия; Гомологии глобальные свойства многообразия.

Чтобы сделать связь между гомологиями и когомологиями более точной, давайте определим, как установить эту дуальность. Начнем с записи интеграла по области С, определенной на многообразии М, где Сможет быть линией, поверхностью, объемом и т.д.:

R

с

Интеграл можно понимать как отображение, сопоставляющее /?-форме to и поверхности С вещественное число. Таким образом, можно рассматривать операцию интегрирования как «скалярное произведение» формы и поверхности:

Теперь запишем известную теорему Стокса, обобщенную на iV-мер- ®ое пространство и сформулированную на языке форм:

гДе С является N-мерным многообразием и дС определяется как «грани-

504 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

ца» многообразия С. Перепишем теорему Стокса в терминах скалярного произведения:

Тем самым мы установили, что дуальным к когомологическому оператору d является граничный оператор д:

Вследствие этой дуальности можно предположить, что граничный оператор д также определяет группу, дуальную к группе когомологий,

которую назовем группой гомологий.

Чтобы быть точными, поясним, что понимается под граничным оператором д и поверхностью С, в терминах симплексов. Определим

1-симплекс как линейный отрезок, соединяющий точки рх и р2. 1-симп- лекс имеет определенную ориентацию или, иначе, направление:

Определим треугольник как 2-симплекс, задаваемый тремя точками или вершинами:

Отметим, что 2-симплекс сохраняет знак при циклической перестановке трех точек, но меняет его при антициклической перестановке. Очевидно, что, вводя ЛГ-симплекс, можно обобщить это понятие:

(Заметим, что векторы, образующиеся после взятия разности двух точек Pi, должны быть линейно независимыми, в противном случае симплекс редуцируется к меньшей размерности.)

Теперь определим граничный оператор, отображающий т-симплексы в (т — 1)-симплексы. Например,

где [/?] обозначает точку. Таким образом, мы определяем «границу» линейного отрезка как две его концевые точки. Действуя на треугольник, граничный оператор создает линейные отрезки:

Действуя на 2-симплекс (треугольник), граничный оператор п р о с т о переводит его в три ребра, образуемых отрезками или 1 - с и м п л е к с а м и .

Нетрудно убедиться, что граничный оператор является н и л ь п о т е н т - ным. Например, для простого случая треугольников имеем

Таким образом, получаем важный результат, заключающийся в том, что граничный оператор нильпотентен:

д2 = 0.

Это может быть обобщено на случай симплексов произвольной размерности. Определим действие граничного оператора на N-симплекс:

где мы опускаем точки, обозначенные буквами со шляпками. Таким образом, граничный оператор отображает N-симплексы в (N — ^-сим-

плексы. Нетрудно показать, что

для общего случая.

По аналогии с теорией когомологий, определим множество циклов

Возьмем, например, бублик, или двумерный тор. Существуют различные типы циклов, которые можно нарисовать на этой поверхности. Например, в гл. 5 мы видели, что на поверхности бублика есть два типа циклов, которые нельзя стянуть в точку непрерывным преобразованием. Однако на этой поверхности существует также цикл, являющийся просто замкнутой линией, который может быть непрерывно стянут в точку. Нам нужен метод, позволяющий исключать циклы второго типа.

Определим множество границ В как набор симплексов, которые

могут быть записаны в виде границы некоторого симплекса С на единицу большей размерности:

Заметим, что множество границ является подмножеством во множестве Циклов:

Говорим, что два симплекса находятся в одном и том же классе эквивалентности, если они отличаются только на границу. Мы хотим ввести множество неэквивалентных симплексов; этого можно достичь, определяя р-ю группу гомологий:

V- циклы

Я,(Л#) = — • (11.2.23) /^-границы

Все это позволяет нам исключить лишние циклы на торе, стягиваемые в точку, удерживая только два независимых цикла, окружающих тор. Таким образом, концепция гомологий является естественной.

§ 11.3. к о г о м о л о г и и и г о м о л о г и и

Какова связь между группами гомологий и когомологий для компактного многообразия? Можно показать, что из-за дуальности этих групп их размерности совпадают. Определим числа Бетти как размер-

ности групп Н:

Пусть ср- набор циклов, определенных на компактном многообразии

М. Пусть coq- набор определенных на М замкнутых форм. Теперь введем матрицу Qpq:

Матрица Q называется матрицей периодов (см. (5.6.31) и (5.11.8)), и при

достаточно общих предположениях можно показать, что эта матрица обратима. Поэтому она является (N х ЛГ)-матрицей с ненулевым детерминантом. Но если матрица периодов является квадратной матрицей, действующей в пространстве N измерений, то размерность пространства замкнутых форм со^ равна размерности пространства циклов ср, что доказывает совпадение чисел Бетти для групп гомологий и когомологий. Это очень важный результат, потому что он означает, что можно использовать либо локальные (когомологии), либо глобальные (гомологии) свойства заданного многообразия для подсчета его чисел Бетти.

Важно также понимать, что числа Бетти являются топологическими числами, зависящими только от топологии многообразия. Таким образом, любая линейная комбинация чисел Бетти также является топологическим числом. В частности, наиболее важным среди них является эйлерова характеристика:

i — О

Для того чтобы понять свойства чисел Бетти, введем несколько операторов, в том числе лапласиан. Введем оператор Ходжа *, преоб- разующий /7-формы в (N — /?)-формы:

• (rfx'i Л dx*2 Л ... Л dxip) =

где Sijki... является полностью антисимметричным тензором в про" странстве N измерений. Заметим, что

Следовательно, (11.3.14) редуцируется к

со = da + у.

Таким образом, в каждом классе когомологий содержится единственный гармонический представитель.

Тот факт, что в каждом классе эквивалентности точных форм содержится один гармонический представитель, позволяет по-другому определить числа Бетти. Мы можем также сказать, что числа Бетти подсчитывают, сколько независимых гармонических форм существует на данном многообразии. Получаем следующее эквивалентное описание чисел Бетти:

Тем самым мы можем использовать любой из этих эквивалентных формализмов для вычисления чисел Бетти.

Последняя формулировка чисел Бетти (через независимые гармонические формы) дает нам еще одно определение. Множество гармонических форм можно рассматривать как ядро лаплассиана (т. е. те формы, которые этот оператор отображает в нуль). Итак, числа Бетти можно определить так:

Как мы увидим, полезно изучить свойства некоторых из этих чисел Бетти. Во-первых, всегда можно определить скалярное произведение для iV-мерного многообразия:

Поэтому эти два пространства содержат одинаковое число независимых

Изоморфизм пространств FF и Нр называется дуальностью Пуанкаре. Обычно мы будем брать b0 = 1, тогда и Ъп = 1.

Другой способ доказательства дуальности Пуанкаре связан с тем обстоятельством, что если выбрана гармоническая форма, то и дуальная форма также является гармонической:

Поскольку число независимых гармонических форм равно числу Бетти, а оператор Ходжа * переводит /7-формы в (N — /?)-формы, то мы снова

получаем дуальность Пуанкаре.

Наконец, если мы имеем произведение многообразий, тогда эйлерова характеристика произведения многообразий равна произведению эйле-

так называемую форму Кюннета для произведения многообразий. Возьмем теперь несколько простейших поверхностей и вычислим их

числа Бетти.

(1) Двумерный тор

Двумерный тор может быть разбит на циклы при помощи двух разрезов. Число независимых 1-циклов, которые можно натянуть на тор, равно двум. Итак, Ьх = 2. Далее, согласно дуальности Пуанкаре, имеем

(2) Риманова поверхность

Как было показано в гл. 5, существует 2д разрезов, которыми можно

Разделить риманову поверхность рода д на независимые циклы. Каждой ДЫрке или ручке соответствуют два таких цикла. Следовательно, bt = 55 2д. Имеем

U 0 = b, = 1,