Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Спектр суперструны в конусной калибровке особенно привлекателен тем, ч т 0 на массовой поверхности теория суперсимметрична, а это означает, что все частицы сразу оказываются упорядочены таким образом, что спиральные состояния бозонов соответствуют числу фермионов. Масса каждой частицы определяется гамильтонианом:

Для струны типа I основное состояние теории состоит из безмассовой векторной частицы и ее спинорного партнера. Пусть | i) представляет восемь физических поперечных поляризаций безмассового векторного поля. Тогда спинорный партнер этого поля | а ) может быть представлен в виде

здесь Л-вейлевский оператор проектирования. (Будем использовать следующее обозначение: уЦгЦ2' Ци равно произведению Г-матриц, про-

суммированному по всем перестановкам индексов. Нормировка такова, что у12 = у1 у2.)

Если бы мы квантовали десятимерную супермаксвелловскую теорию в калибровке светового конуса, то суперсимметричной паре (А^ \j/a)

Таким образом, конусная теория воспроизводит супермаксвелловскую теорию на самом нижнем уровне.

На следующем уровне у нас будет 128 бозонных и 128 фермионных стояний:

Формулировка в калибровке светового конуса и элементы S-матрицы д^чнслимы в явном виде. Однако S-матрица, строго говоря, видимо, не доводится из ковариантного действия [33].

Наконец, если мы ограничимся симметризованными состояниями дории типа I, мы получим супергравитацию с N = 1, D = 10. ПодытоggM предельные формы этих теорий при нулевом наклоне реждевской

траектории:

При переходе к более высоким уровням становится все труднее продолжать этот анализ спектра для демонстрации суперсимметрии. Мы можем доказать, однако, что весь спектр, при сколь угодно высоких порядках, суперсимметричен, просто показав, что существуют генераторы суперсимметрии с коммутационными соотношениями, коммутирующие с гамильтонианом. Мы покажем это, в явном виде вычислив генераторы суперсимметрии во всех порядках.

В калибровке светового конуса два суперсимметричных преобразования (3.7.6)/и (3.7.3) становятся весьма простыми:

Г bSa = (2p+)1/2T}\

18Г = 0,

(См.

представление Г-матриц в приложении. Существует 8 представлений группы SO(8). Первое из них-векторное представление 8У, которое мы обозначим индексом /. Два других представления являются спинорными. Мы будем использовать для одного из них индекс а, а для второго — индекс а. Таким образом, индексы Г-матрицы преобразуются ка* Можно найти явный вид двух генераторов суперсимметрии,

вычисление антикоммутационных соотношений между этими 'ввераторами несложно:

и наоборот. Это наложит на нашу теорию огромное число Граничений, которые приведут к однозначному определению самой теории.

Цы требуем, чтобы в результате преобразования суперсимметрии, 0ОроЖДенного генераторами Q, вертексы VF и VB переходили друг вдруга, т.е.

суперсимметричный партнер, майорана-вейлевский спинор. Заметим, что эти правила осложняет тот факт, что преобразование суперсимметрии с необходимостью порождает вращения в пространстве-времени, так что £ и и должны также соответствующим образом переходить в 5 и и, й при этом преобразовании суперсимметрии.

Естественное допущение-предположить, что эти вертексы можно

для некоторого вектора В и спинора F. Замечательно, что после подробных вычислений в калибровке светового конуса мы сможем удовлетворить всем этим условиям при простых значениях В и F.

Начнем с вычисления полученных в результате вращения значений спиноров и тензоров поляризации. Чтобы найти, как они преобразуются, возьмем нулевые компоненты генераторов суперсимметрии и посмотрим, как эти компоненты преобразуют состояния. На нулевом Уровне находим:

Эти нулевые компоненты преобразуют тензор поляризации в майора- н-вейлевские спиноры. Определим

и 4>ь подставим (3.9.3) в (3.9.4) и найдем преобразованные спиноры Акторы. Теперь несложно показать, что повернутые спиноры и

£(uv «2» w3> "4) = -^("гГ^ИзН^ГциЛ + ^(м1Гцм2)(й4Гцм3).

tfaK отмечалось выше, основная форма (3.9.10) для амплитуд рассеяния LuaccoBbix спинора и вектора одна и та же. Единственное отличие ^никает из-за фактора К.

§ ЗЛО РЕЗЮМЕ

Итак, существуют две эквивалентные версии теории суперструн. Сравнительные преимущества и недостатки действий Невё-Шварца- рамона и Грина-Шварца таковы:

(1)Действие NS- R линейно и легко квантуется как ковариантно, так и в калибровке светового конуса. Деревья и петли для бозонов строятся легко. Оно обладает явной инвариантностью относительно двумерной суперсимметрии. Однако эти важные преимущества необходимо сопоставить с тем фактом, что десятимерная простран-

ственно-временная суперсимметрия по меньшей мере совсем неочевидна. Поскольку оно основано на антикоммутирующих векторных полях возникают трудности со статистикой спинов, для разрешения которых приходится применять проекцию GSO. Кроме того, вертекс для испускания фермиона весьма трудно применять, что делает вычисление многофермионной амплитуды практически неосуществимым.

(2)Действие ГршщШварца обладает явной десятимерной суперсимметрией на всех массовых уровнях. Оно построено на настоящих пространственно-временных спинорах, а не на антикоммутирующих векторных полях. Однако это действие сильно нелинейно, и его ковариантное квантование в настоящее время не представляется возможным. Пока что оно поддается квантованию лишь в калибровке светового конуса. Все амплитуды, включая многофермионные деревья, можно вычислить в этой нековариантной калибровке.

Подытожим теперь некоторые факты о теории NS-R. Полное Действие NS-R дается выражением

2®° Инвариантно относительно преобразований двумерной суперсим- «егрии

" в У - е у " .

а Т а к * е преобразований Вейля, репараметризации и локальных дву-

в виде

(3.10.7)

Однако оказывается, что существуют два способа, или «картины», позволяющие выписать N-точечную амплитуду: они называются формализмами Fj и F2. Правила образования N-точечных функций сле-

дующие:

Преимущества недостатки этих двух формализмов следующие:

(1)В формализме Fx намного легче доказать явную циклическую симметрию. Однако приходится тащить через все вычисления излишний груз вакуумного состояния, которое никак не взаимодействует с другими состояниями теории.

(2)В формализме F2 циклическая симметрия неочевидна, но устранение духов провести несложно. Преимущество картины F2 в том, что мы работаем в фоковском пространстве меньшего объема.

ЛГ-точечная функция представляется в виде

(3.10.10)

ЛУы

Хотя модель NS- R с проекцией GSO имеет то же число фермионных и бозонных состояний, но доказать, что теория действительно обладает пространственно-временной суперсимметрией, чрезвычайно сложно. Поэтому мы покажем такую симметрию, постулировав новое действие ЧИШаШварца, содержащее настоящие пространственно-временные спиноры. Действие Грина-Шварца-это