Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

где/(а)-произвольная функция на интервале [ — я, я]. Заметим, что обе связи объединены теперь в одно уравнение в силу этой отражательной симметрии. С помощью (2.1.21) можно показать, что эти генераторы образуют замкнутую алгебру:

Можно также показать, что эта алгебра удовлетворяет тождествам Якоби

где скобки означают все возможные циклические перестановки. Эта алгебра называется алгеброй Вирасоро [6]; она окажется одним из самых мощных инструментов построения теории струн.

Исключив функциональным интегрированием эти множители Лагранжа, вернемся к предыдущему набору связей. Неудивительно, что это новое действие обладает своей собственной группой репараметризации, причем параметрами служат г| и в:

5АГЦ = 2яа'г/>ц + цХ'^,

(2.1.33)

ЬХ = — s + Х'х] — TfA, + р'е — рг',

5р = — f) + А/в — ^е' + р'г| — г|'р.

Преимущество этой формы действия - то, что она имеет первый порядок и не включает неудобных квадратных корней, содержащихся в исходном выражении для действия. Как и в случае точечных частиц, это указывает на существование еще одной формы действия, выраженной через вспомогательное поле. Чтобы найти эту третью формулировку действия, введем новое независимое поле

представляющее метрику на двумерной поверхности. В отличие от обсуждавшегося выше случая, эта метрика совершенно независима от струнной переменной. Выпишем форму действия, предложенную в рабо-

^ Полякова [7] (д = |det0flb|):

Эта формула является обобщением действия для точечной частицы (1.4.14), имеющего второй порядок. Заметим, что действие Полякова напоминает действие скалярных полей, взаимодействующих с внешним двумерным гравитационным полем. Оно также обладает явной репараметризационной инвариантностью:

Действие также тривиально инвариантно относительно изменения масштаба (преобразования Вейля)

Действие Полякова полностью эквивалентно на классическом уровне приведенному выше действию Намбу-Гото. Как и в формализме Намбу-Гото, мы можем вывести алгебру Вирасоро. Проварьировав по метрическому тензору, получаем тензор энергии-импульса, который можно положить равным нулю:

Моменты тензора энергии-импульса будут соответствовать генераторам Вирасоро. Тем самым мы получаем другой способ вывода генераторов Вирасоро из этого нового, но эквивалентного формализма.

Заметим, что метрическое поле даЬ не является распространяющимся. Метрический тензор не содержит никаких действующих на него производных. Поэтому мы можем устранить это поле с помощью его собственных уравнений движения. Это приводит нас к следующему выводу:

одаъ gcadcXvddXv

Подставляя это значение метрического тензора обратно в действие, мы снова выводим исходное действие Намбу-Гото. Итак, на классическом Уровне эти два действия совпадают.

72 Гл. 2. Струны Намбу - Гото

В итоге, как и для случая точечных частиц, у нас теперь есть три разных способа записи действия; все они на классическом уровне эквивалентны. У каждого из них есть свои достоинства и недостатки при переходе к квантовой системе. Уравнения теории струн, выводимые из них, являются прямыми обобщениями трех лагранжианов для точечных частиц, приведенных в (1.4.16). Как и в рассмотренном выше случае, мы имеем, во-первых, формализм второго порядка, выражаемый через струнную переменную Xц и через метрический тензор даЬ; во-вторых,

Форма 1-го порядка (гамильтонова):

(2.1.41)

Форма 2-го порядка: L=—^-s/ggabdaХ„дьХ^-

4ка'

Нелинейная форма: L= ^—(xlx'Z - (X„Х'»)2)112.

/ тг п ^

На первый взгляд можно предположить, что все три формы действия вполне эквивалентны, так что можно выбрать одну из них и отбросить остальные. В действительности это не так по двум довольно тонким причинам. Приведем их.

(1)Поскольку мы имеем дело с первично квантованной теорией, мы обязаны взять сумму по всем топологиям взаимодействия, заметаемым струной. Для струны Намбу-Гото точная природа этих топологий неясна и должна быть задана вручную. Однако для предложенной Поляковым формы действия, содержащей независимый метрический тензор, можно устранить большую часть этой неопределенности, условившись, что суммирование проводится по всем конформно и модулярно неэквивалентным конфигурациям. (Эти термины будут определены ниже.) Это условие превратится в мощное ограничение, как только мы начнем выводить петли и единственным образом определим функциональную меру. Эта мера и топологии для действия Намбу-Гото, однако, определены некорректно. (Необходимо тем не менее отметить, что это правило интегрирования по неэквивалентным поверхностям не обеспечивает унитарности автоматически. Ее по-прежнему нужно проверять вручную.)

2)Хотя в классическом случае фиксация калибровки с помощью вейлевской инвариантности получается тривиально, здесь возникнут трудности, как только мы перейдем к квантовой механике. При

попытке тщательно провести процедуру квантования сразу возникнет аномалия. Фактически эта конформная аномалия исчезает лишь в 26-мерном случае!

Обсудим теперь квантование действия для струны. Стратегия, которой мы будем следовать при квантовании свободной теории с целью получения физического гильбертова пространства, такова. Сначала мы выделим симметрию действия, затем найдем токи, а затем алгебру, образованную генераторами этой симметрии. (Для струны этой симметрией будет репараметризационная инвариантность, а этой алге- брой-алгебра Вирасоро.) Затем мы должны наложить связи на гильбертово пространство, устраняющие духи и создающие унитарную теорию. Важно иметь в виду эту стратегию, когда мы приступим к квантованию струны:

Действие -> Симметрия -> Ток Алгебра -> Связи Унитарность.

Как и в случае точечных частиц, мы можем начать программу квантования несколькими способами. Есть три формализма для фиксации калибровки этой теории: (1) Гупты-Блейлера (конформная калибровка), (2) калибровка светового конуса и (3) BRST-формализм. Преимущества и недостатки каждого из них следующие:

(1)Формализм Гупты-Блейлера, вероятно, простейший из этих трех. Мы допускаем появление в действии духов, что позволило сохранить явную лоренц-инвариантность. За это пришлось заплатить необходимостью наложить устраняющие духов связи на гильбертово пространство. Операторы проектирования должны быть вставлены во все пропагаторы. Для деревьев это тривиально. Для петель высшего порядка это, однако, становится все труднее.

(2)Преимущество формализма светового конуса состоит в том, что его действие явно свободно от духов, как и гильбертово пространство. Переход к петлям не вызывает осложнений. Однако формализм очень неудобен, и лоренц-инвариантность приходится проверять вручную на каждом шаге процедуры.

(3)Формализм BRST сочетает лучшие черты двух предыдущих. Он является явно ковариантным, как формализм Гупты-Блейлера, и унитарным, как формализм светового конуса, поскольку духи с отрицательной метрикой и духи Фадеева-Попова взаимно уничтожаются.

Теперь обсудим по-отдельности каждую из этих схем квантования.

§ 2.2. КВАНТОВАНИЕ ГУПТЫ-БЛЕЙЛЕРА

Формализм Гупты-Блейлера обеспечит лоренц-инвариантность наложением связей Вирасоро на векторы состояний:

74 Гл. 2. Струны Намбу - Гото

Здесь ф и ц/ представляют состояния теории. Эта связь устранит духовые векторы состояний, что позволит нам сохранить нефизические духи с отрицательной метрикой в действии.

Классический метрический тензор имеет три степени свободы, которые можно устранить калибровочным преобразованием. Две из них связаны с репараметризационной инвариантностью, а одна с вейлевской инвариантностью. Поэтому можно найти калибровку, устраняющую все три:

Назовем эту калибровку конформной. (Как мы уже упоминали, переход к конформной калибровке для квантовой теории и высших петель вызывает трудности.) Действие примет следующий вид:

Это выражение замечательно просто, поскольку действие теперь соответствует невзаимодействующей свободной струне. Это действие дает уравнения движения свободной струны

которые мы должны наложить для интегрирования по частям и устранения поверхностного члена. Решениями уравнений движения служат произвольные функции переменных от + т и от — т:

Конечно, существует бесконечно много возможных представлений континуального интеграла. Однако, как и в случае точечной частицы, мы всегда можем выбрать простейшее из них-в базисе гармонических осцилляторов [8], в котором гамильтониан становится диагональным. В отличие от случая точечной частицы, однако, у нас теперь имеется бесконечное число осцилляторов, по одному набору для каждой нор-

мальнои моды:

(2.2.9)

Каноническим коммутационным соотношениям можно удовлетворить, если положить

Обычно также вводят эквивалентный набор осцилляторов:

Записанный в этом базисе, гамильтониан принимает особенно простую форму (см. 1.3.37)):

H=]do{P^ -L)

Здесь мы сделали бесконечный сдвиг энергии нулевого состояния. На этом этапе масса частицы наименьшего порядка не является корректно определенной из-за этого бесконечного сдвига, но мы ниже покажем, что эта частица наименьшего порядка в действительности является тахионом. Мы покажем, что интерсепт модели равен 1.

Заметим, что все осцилляторные моды совершенно независимы друг от друга. В самом деле, гамильтониан диагонален в фоковском пространстве возбуждений гармонических осцилляторов. Выбор этого конкретного представления функции струны из бесконечного множества возможностей дает огромные преимущества, поскольку разрешенными собственными состояниями такого гамильтониана служат просто произведения фоковских пространств всех возможных гармонических осцилляторов:

Спектр низших возбужденных состояний можно классифицировать следующим образом (см. рис. 2.3):

Как и ожидалось, мы получаем ведущую реджевскую траекторию, которую мы раньше получали из классического рассмотрения, а также бесконечное семейство дочерних траекторий со все более отрицательными интерсептами с осью у. В этой калибровке пропагатор, или функция Грина, принимает простой вид

К (а, Ь) = (Ха\е~ИЬх\Хь>

Рис. 2.3. Реджевские траектории для открытой струны. По оси абсцисс отложены квадраты энергии, по оси ординат-спины. Самая левая частица-это тахион, соответствующий вакууму фоковского пространства. Безмассовая частица со спином 1 - это поле Максвелла или Янга-Миллса, которое соответствует одиночному оператору создания, действующему на вакуум. Существует бесконечно много реджевских траекторий, соответствующих бесконечному числу возбуждений релятивистской струны или бесконечному числу состояний фоковского

пространства.

78

§ 2.2. Квантование Гупты-Блейлера

бесконечное произведение интегралов по каждой точке вдоль струны или по всем фурье-модам струны.

К счастью, это интегрирование можно провести явным образом. Пусть частица движется из т = 0 к т = оо. Так как гамильтониан

диагоналей в пространстве гармонических осцилляторов, интегрирование по т можно выполнить точно. Находим

его обкладками слева и справа служат состояния струны. Однако из-за наличия тождества

можно явным образом устранить континуальные интегралы в каждой

образом устранить все функциональные интегралы по состояниям струны, и у нас останутся лишь гармонические осцилляторы. Важно еще раз подчеркнуть, что гармонические осцилляторы служат лишь одним из способов представления континуального интеграла. Его простота является следствием диагональности гамильтониана в фоковском пространстве состояний гармонических осцилляторов.

Весьма сходным образом замкнутую струну тоже можно описать с помощью гармонических осцилляторов. Для замкнутой струны граничное условие X' = 0 неприменимо, и мы можем воспользоваться для разложения по нормальным модам как синусами, так и косинусами. Поэтому для замкнутой струны мы ожидаем удвоенного числа осцилляторов. Разложение по этим модам имеет вид

Рис. 2.4. Реджевские траектории для замкнутой струны. Фоковское пространство строится из двух коммутирующих наборов гармонических осцилляторов. Безмассовая частица со спином 2 - это гравитон, соответствующий произведению операторов обоих типов, действующих на вакуум.

Снова фоковское пространство состоит из всех элементов, созданных гармоническими осцилляторами, но на этот раз существует дополнительная связь, которой не было для открытой струны:

(Эта связь интерпретируется следующим образом: замкнутая струна не должна зависеть от выбора начала координаты ст. Например, оператор j<fore/CT(Lo ~ Lo) можно интерпретировать двояко. Во-первых, он порождает повороты в пространстве а, так что мы усредняем по поворотам на 2к в этом пространстве. Во-вторых, если вычислить этот интеграл, то получится 5 (L0 — L0), что совпадает со связью (2.2.23) в применении к гильбертову пространству. Мы вернемся ниже к этой связи.)

Заметим, что в спектре замкнутой струны есть безмассовая частица со спином 2. Когда струнную модель вначале интерпретировали как модель адронов, присутствие этой напоминающей гравитон частицы со спином 2 вызвало большое недоумение. Были предприняты попытки связать эту частицу с траекторией Померона, обнаруживаемой Ъ теории S-матрицы. Можно показать, что при обобщении на деревья и петли эта безмассовая частица со спином два обладает калибровочной инвариантностью, эквивалентной гравитону теории Эйнштейна. Отказавшись от предшествующей интерпретации теории струн как модели адронов, мы

находим естественное место для этой гравитоноподобной частицы, отождествив ее с гравитоном как таковым.

В итоге можно сделать вывод, что формализм Гупты-Блейлера в конформной калибровке выглядит простым и изящным в основном потому, что мы позволили духам появиться в теории через действие. Теория сводится к простейшей из всех возможных теорий струн, т.е. к свободной распространяющейся струне.

Цена, которую приходится платить за эту простоту,-наложение ограничений на фоковское пространство. Генераторы Вирасоро можно

т— — ао

ооJ

Поэтому физические состояния теории должны удовлетворять условиям

(2.2.26)

(Lo -l)|cp> = 0.

Алгебра, порождаемая этими операторами, задается соотношениями

где D- размерность пространства-времени. Тот факт, что в этом уравнении присутствует центральный с-числовой член, на первый взгляд звучит необычно, но это можно проверить явным вычислением, взяв вакуумное среднее простого коммутатора:

Этот центральный член возник из-за того, что мы нормально упорядочили генератор L0, чтобы получить конечные матричные элементы. Такое нормальное упорядочение обнаружилось даже для случая точечных частиц в (1.8.7); отличие лишь в том, что сдвиг энергии теперь бесконечен. Цена, которую мы платим за конечность матричных элементов г потеря локальности по о. Нормальное упорядочение уничтожает то положение, которое имело место до него, когда генераторы Lf были локальными функциями переменной а. Процесс квантования с необходимостью разрушает локальность генераторов Вирасоро по переменной а, и отсюда возникает с-числовой центральный член. Итак, схема квантования и схема регуляризации, примененные для извлечения