Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf140 Гл. 3. Суперструны
держит две минусовые компоненты: |
|
|
||||
М - ' = Мо' + К~', |
|
|
|
|
||
• |
со |
D —2 |
|
00 |
|
(3.5.7) |
= |
|
I |
I |
I |
а1тф1-гЬ1-Ы,-Л). |
|
Р т— — ао j — I г = — оо |
|
|
||||
Находим, наконец, что |
|
|
|
|
||
[ М - 1 , M ~ J ] |
= 7-ТТ2 I |
( a U a i - a ^ „ a i ) ( A „ - « ) , |
(3.5.8) |
|||
где |
I/7 ) и — 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( D - 2 \ |
1/ |
|
D — 2\ |
|
|
|
Итак, лоренц-инвариантность достигается лишь при D = 10 и a = 1/2.
Квантование BRST
Квантование BRST начинается с вычисления детерминанта Фад- деева-Попова, связанного с конформной калибровкой. Из-за обширного набора симметрий действия мы можем наложить связи
а |
= и5°а 5 |
cеa |
|
|
(3.5.10) |
Ха = 0.
Как и прежде, мы должны проанализировать связи, проварьировав поля, входящие в (3.4.5) и (3.4.7):
На = Va8 + /раГ|. |
(3.5.П) |
Детерминант Фаддеева-Попова (1.6.10), связанный с калибровочной связью, снова дается формулой
AFP = d e t [ | A a , ] . |
' |
(3.5.12) |
(Поле г| не дает вклада в духовый детерминант Фаддеева-Попова.) Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с антикоммутирующим сектором, есть
det [V a ] = det [ V J det [ V f ] . |
(3.5.13) |
Проанализировать это выражение довольно сложно из-за большого числа степеней свободы, которыми обладает х0 , являющийся одновременно двумерным спинором и двумерным вектором и поэтому имеющий четыре компоненты.
Как и прежде, простейший способ вычислить определитель one-
|
§ 3.5. |
Квантование |
141 |
раТОра~выРазить |
е г о через экспоненту от действия: |
|
|
det[VJ = fZ>pz>ye-ssb, |
|
(3.5.14) |
|
1 |
|
|
|
+ компл.-сопр. |
выраж., |
|
|
Sgh = " I |
|
||
где теперь духовые поля Р и у суть коммутирующие переменные. (Хотя это действие выглядит похожим на найденное ранее для бозонной струны духовое действие (2.4.4), существенно указать, что новые духовые поля Р и у преобразуются конформной группой иначе, чем духи Ъ и с, потому что они были выведены из вариаций спинора %а, а не тензора даЬ. Мы подробнее обсудим это в следующей главе.)
Полное действие, тем самым, является теперь суммой исходного действия и суммы по антикоммутирующим духам Ь, с и коммутирующим духам р, у.
Мы легко можем вычислить тензор энергии-импульса и суперсимметричный ток для суперконформных духов. Взяв их моменты, мы получим алгебру супер-Вирасоро:
|
00 |
|
|
|
|
U h = |
I |
{rn |
+ n):bm-„c„: + |
|
|
т , п = — оо |
|
|
|
|
|
+ |
f |
( j m + n):pm _„Y„:, |
(3 -5 -15 ) |
||
|
т,п — — оо ^ |
/ |
|
|
|
F ? = - 2 |
|
I |
Ь_пут + п + |
£ |
П « - т ) с _ „ р т + п . |
|
т,п — — оо |
|
т,п=-оо |
4 |
|
Аналогично, объединенное действие, включающее вклад духов, по-прежнему инвариантно относительно нильпотентного преобразования. Генератор этого нильпотентного преобразования дается оператором Q, где [14-16]
б- I |
(L-ncn + |
F-пУп) — 2 |
Z |
(т-п):с.тс_пЬт + п: + |
|
я = — QQ |
|
т,п — — оо |
|
||
+ |
£ |
( ^ + w )c_„p_mym + n-h |
X У-тУ-пЬт + п- ас0. |
||
|
оо |
\ |
/ |
|
т,п= — оо |
(3.5.16)
Здесь Lh F-генераторы, зависящие только от осцилляторов а и d. Ьсли положить Q2 = О, мы приходим к равенствам
Я = 1 0 ,
Ч (3.5.17)
\ (NS), О (R).
142 |
Гл. 3. Суперструны |
Условие, выделяющее физические состояния, примет вид |
|
QI физ) = 0. |
(3.5.18) |
Решая это уравнение, получаем обычные условия для физических состояний:
N S : { ( < - . - ; ) ! « » = < > . |
( 3 .5 .,9 ) |
1 < 7 г | ф > = 0; г > 0, |
} |
R : { ( Ь о ) 1 ф ) = 0 , |
( 3 |
Вычислим теперь вклад аномалий от этих осцилляторов. Мы обнаружим, что эти два вклада в сумме дают нулевую аномалию, но лишь в десятимерии. Вклад духов равен
{ n h , F f } = 2 U h + „ - 5 m 2 . |
|
(3.5.21) |
|
Аномальный |
вклад сектора Рамона |
был равен Dm2/2 + 2а. |
Итак, |
получаем |
|
|
|
\D + 2а — 5т2 = 0, |
|
(3.5.22) |
|
что фиксирует значения параметров |
|
|
|
D = 10, |
а = 0. |
|
(3.5.23) |
Аналогично рассмотрим значение аномалии для NS-сектора |
|
||
{G,,Gs} = 2Lr + s + |
l--5r2. |
(3.5.24) |
|
Оно должно компенсировать аномалию, происходящую из бозонного сектора, которая равна D(r2 — 1/4)/2 + 2а. Итак,
\D(г2 - |
1/4) + 2а + J- 5г2 = 0. |
(3.5.25) |
Это выражение обращается в нуль при |
||
D = 10, |
а = 1/2. |
(3.5.26) |
|
§ 3.6. ПРОЕКЦИЯ GSO |
|
Действие (3.4.4) для модели NS-R не было инвариантным отно- |
||
сительно |
десятимерной пространственно-временной с у п е р с и м м е т р и и . |
|
Хотя это |
неочевидно, теория NS-R |
также инвариантна о т н о с и т е л ь н о |
указанной |
группы преобразований, |
если сделать некоторое о б р е з а н и е |
фоковского пространства. Чтобы это увидеть, рассмотрим с н а ч а л а пространство состояний струны.
Общее число бозонных состояний на уровне п равно числу с п о с о б о в
§ 3.6. Проекция GSO |
143 |
-педставления целого числа п в виде суммы целых чисел, т.е. р(п). Сначала продемонстрируем это на примере для уровня 4. Общее число состояний, являющихся собственными функциями гамильтониана, на угом уровне равно пяти:
(a_i)4|0>; (Я-2)2Ю>; |
а - ^ - э Ю ) ; |
(а^)2а.2\ 0>; я_4 |0>. |
(3.6.1) |
Заметим, что это в точности совпадает с числом способов, которыми число 4 можно представить как сумму целых чисел, т.е. р(4). В общем случае каждое состояние на уровне N можно представить как один из способов разбиения на целочисленные слагаемые целого N:
| <р> = ahMi |
• • • а±Лы | 0> , |
(3.6.2) |
где
Д|ф> = ЛПф>,
(3.6.3)
м
N = £ пЬ ,
аR- числовой оператор для этого пространства.
Встатистической механике мы часто вводим статистическую сумму, которая показывает, какое число состояний имеется для заданного энергетического уровня:
Z = п |
(3.6.4)* |
Мы увидим, что статистическая сумма полезна, поскольку позволяет подсчитать число состояний струны:
Z = Tr(xR), |
(3.6.5) |
* = <ГТ. |
(3.6.6) |
Коэффициент при xN в этом разложении в степенной ряд есть не что иное, как число способов разбиения N на целочисленные слагаемые, т. е. P{N). Этот след можно вычислить разными способами. Простейший из них-ввести когерентные состояния:
l=jdXdX*e-l x l 2 \X}(X\. |
(3.6.7) |
Так, след можно представить в виде |
|
Z = \dXdX*e~^\X \xR\X}. |
(3.6.8) |
вычислив этот интеграл, мы найдем |
|
2 = п (1 - X Й ) " 2 6 . |
(3.6.9) |
4 = 1 |
|
Проверки мы м о ж е м разложить эту функцию в степенной ряд (в
144 Гл. 3. Суперструны
одном измерении) и показать, что каждый коэффициент при xN равен p(N), т.е.
00 |
|
Z = X />(')*'• |
(3.6.10) |
Эта функция связана с известной математикам функцией Харди-Ра. мануджана. Действительно, некоторые из волшебных свойств струнной модели происходят из тождеств, справедливых для функции Харди-Ра- мануджана.
Затем нам хотелось бы вычислить состояния секторов NS и R, чтобы проверить, являются ли они суперсимметричными. По крайней мере нам нужно, чтобы число состояний на массовой поверхности было равно в обоих секторах.
Заметим, что фоковское пространство модели NS-R в действительности разделяется на два фоковских пространства меньших размеров; принадлежность состояния к одному из них зависит от того, четно или нечетно число осцилляторов типа Ь, отвечающих этому состоянию. Поскольку 6-осцилляторы антикоммутируют, общее число N внешних линий должно быть четным, поскольку ^-осцилляторы должны стягиваться попарно. Поэтому мы можем определить оператор «G-четности», который просто подсчитывает число ^-осцилляторов в данном состоянии. Он равен — 1 для нечетного числа и +1 для четного:
(3.6.11)
Если взять сектор теории с четной G-четностью, это немедленно устранит тахион, и самым нижним состоянием останется безмассовая векторная частица, у которой есть 10 — 2 = 8 физических состояний.
Сектор Рамона также допускает уменьшение числа состояний. Если потребовать, чтобы самым низкоэнергетическим безмассовым фермионом был майорана-вейлевский, то у него останется только 16 мод. Подсчитать это можно так. Драковский спинор в D-мерном пространстве имеет 2(1/2)D = 32 комплексных компонент. Требование, чтобы он был майорановским (вещественным), уменьшает число компонент вдвое, а требование, чтобы он был вейлевским,-еще вдвое. Вычислим теперь статистическую сумму, подсчитывающую общее число состояний
на каждом уровне. Для NS-сектора получим |
|
|||
|
00 |
dim Vn x" = |
|
|
/ N S = |
£ |
|
||
|
n — 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.6.12) |
где |
00 |
|
00 |
|
|
|
|
||
R = |
£ |
nat an |
+ X rb' К • |
(3.6.13) |
|
|
|
r=l/2 |
|
След мож н о вычислить в явном виде, что дает
|
|
§ 3.6. |
Проекция GSO |
|
|
145 |
|
П |
О - * " Г 8 Г |
П (1 |
+х"~112)*- П |
О -х"-1/2)81 |
|||
л = 1 |
|
L п= 1 |
|
п — 1 |
-J |
||
|
|
|
|
|
|
(3.6.14) |
|
С другой стороны, след для сектора Рамона принимает вид |
|||||||
/к = 8Тг(х*), |
|
|
|
|
|
(3.6.15) |
|
гДв |
|
|
|
|
|
|
|
Д = £ n(ata„ + dtd„). |
|
|
|
|
(3.6.16) |
||
я — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Мы находим |
|
|
|
|
|
|
|
/к = 8 Ц ( 1 - * » Г 8 0 |
+ |
|
|
|
(3-6.17) |
||
На первый взгляд может показаться, что между этими двумя секторами
нет никакой связи. Однако еще в 1829 г. Якоби показал, |
что эти два |
выражения в точности эквивалентны: |
|
/NS = /к • |
(3.6.18) |
Это, конечно,/йе доказывает, что редуцированная модель NS- R суперсимметрична, но является необходимым условием наличия такой симметрии. Эта проекция называется проекцией GSO (по работе Глиози, Шерка и Олива [17]) и играет чрезвычайно важную роль в теории суперструн. (В гл. 5 будет показано, что GSO-проекция эквивалентна модулярной инвариантности однопетлевой амплитуды замкнутой струны.)
Итак, один из серьезных недостатков подхода NS-R состоит в том, что пространственно-временная суперсимметрия совершенно не очевидна. Второй серьезный недостаток этой модели-то, что с вертексной функцией для испускания фермионов весьма трудно работать и она не обладает привлекательным поведением при калибровочных преобразованиях Вирасоро. В результате потребовалось много лет, прежде чем Удалось найти двухфермионные амплитуды рассеяния. В теории NS-R вертексы взаимодействия между бозонами и фермионами суть [18-22]
*W = y i i ( - i |
|
|
|
|
|
(3.6.19) |
где L\~генератор Вирасоро, а |
|
|
|
|
||
* = < 0 | в е х р Г - 1 = |
£ |
( - i r 4 |
m |
7 W v ] |
||
|
L/^/2 m = 0,r=l/2 |
\ г - г / |
|
J |
||
t |
r,s=l/2r + S |
\Г-2/ |
\S~2/ |
) |
||
|
|
|
|
|
|
(3.6.20) |
l0-787
146 |
Гл. 3. Суперструны |
Вертекс (3.6.20) осуществляет переход от бозонного фоковского пр0. странства к фермионному фоковскому пространству, поскольку слева стоит бозонный вакуум, а справа-фермионный. К сожалению, конформный спин этого вертекса равен 3/8, что затрудняет построение амплитуды, обладающей конформной инвариантностью.
Итак, хотя модель NS- R привлекательна, поскольку по существу это свободная теория в конформной калибровке, но трудности с фермион* ным сектором вынуждают нас искать более сложные варианты теории, Ниже мы изучим действие Грина-Шварца, которое эквивалентно GSO-проекции модели NS-R и обладает явной пространственно-вре- менной суперсимметрией.
§ 3.7. СУПЕРСТРУНЫ
Хотя модель NS-R была простой и изящной, она обладает лишь суперсимметрией на двумерной мировой поверхности, но не подлинной десятимерной суперсимметрией. Представим теперь действие ГринаШварца, для которого десятимерная суперсимметрия является явной [23, 24]:
S = |
'ПР + 2 ^ |
1 |
1 " ^ г л е 2 ) " |
|
- 28 а Р б 1 Г^ а 0 1 0 2 Г ц г р 0 2 }, |
|
(3.7.1) |
где |
|
|
|
|
= |
|
(3.7.2) |
В этих выражениях оба поля §Л(А = 1, 2) являются настоящими пространственно-временными фермионными полями (а не пространст- венно-временными векторами, как в модели NS-R). Эти десятимерные спиноры, однако, преобразуются в двух измерениях как скаляры, а не как двухкомпонентные спиноры. Это действие, подобно действию суперсимметричной точечной частицы (3.1.1), инвариантно относительно глобальной суперсимметрии:
50л =
ЬХ» = И А Т » Ъ \ |
(3.7.3) |
Однако в доказательстве нам придется воспользоваться тождеством
ГцМ/[1^2Гих|/з] = 0. |
(3.7.4) |
Ч т о б ы доказать это тождество, нужно применить преобразование Фирца. Оказывается, что (3.7.4) справедливо лишь при следуюШй* условиях:
|
§ 3.7. Суперструны |
147 |
до d = 3 |
и фермионы майорановские, |
|
ф D = 4 |
и фермионы майорановские или вейлевские, |
|
(3)Р = 6и фермионы вейлевские,
(4) D = Ю и фермионы одновременно вейлевские и майорановские.
Стандартное дираковское представление является комплексным; оно существует для любой размерности пространства-времени. Майорановское представление матриц Дирака - то, при котором все они вещественные (или мнимые). Поэтому у них вдвое меньше компонент, чем в дираковском представлении. Это представление существует лишь для размерности D = 2, 3, 4 mod 8. Вейлевское представление матриц Дирака-то, при котором половина компонент устраняется применением вейлевского оператора проектирования:
i(l ± rD+i); |
TD+1 = Г0Г1... TD-i. |
Вейлевское представление возможно лишь при четной размерности пространства-времени. И, наконец, спиноры, являющиеся одновременно майорановскими и вейлевскими, можно определить только в размерности 2 mod 8:
Майорана-вейлевский спинор: D = 2 mod 8.
Выберем для рассмотрения майорана-вейлевские спиноры в десятимерном пространстве.
Для доказательства локальной суперсимметричности действия (3.7.1) в десятимерии сначала построим следующие операторы проектирования, которые проектируют на самодуальные и антисамодуальные части двумерных векторов:
t - \ i d * ± z e * l y f a . |
(3.7.5) |
Этот оператор проектирования имеет следующие свойства:
>Т5 = раб
= 0,
Здесь суперсимметричный параметр дается формулой хАаа, где А = 1 или
апредставляет двумерный векторный индекс, а я-спинорный индекс
вДесятимерии. Обычно он будет опускаться. Заметим, что два последсвойства означают самодуальность или антисамодуальность х при ^ или А = 1 соответственно.
Тогда можно показать, что действие инвариантно относительно
Ю*
148 |
Гл. 3. |
Суперструны |
преобразований |
|
|
69* = 2iT-ne xi t a , |
|
|
5ЛГц |
= /Э"Г5е", |
(3.7.6) |
5 { f e e * ) |
= - IbJgiP^d^ |
+ |
Большое достижение действия Грина-Шварца-то, что оно явным образом содержит десятимерную суперсимметрию. Поскольку основное поле теперь является настоящим антикоммутирующим пространствен- но-временным спинором (а не антикоммутирующим векторным полем, как в теории NS-R), мы можем в явном виде построить оператор Q , обладающий пространственно-временной суперсимметрией.
Большой недостаток этого представления, однако,-то, что наивное ковариантное квантование, как и в случае точечных частиц, неосуществимо. Снова, как и в формуле (3.1.9) для точечных частиц, нам приходится столкнуться с тем фактом, что соотношения квантования нелинейны, поскольку
(3.7.7)
Вследствие этого коммутационные соотношения между полями сильно нелинейны. Что еще хуже, оказывается, что они на самом деле обратно пропорциональны связям, т.е., скорее всего, не существуют [2, 24-32].
В результате мы вынуждены пользоваться квантованием в переменных светового конуса.
§3.8. КВАНТОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ ГРИНА-ШВАРЦА
ВКОНУСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Подсчет числа независимых степеней свободы спиноров важен при фиксации калибровки. В общем случае дираковские спиноры в D-мерном пространстве (D четно) имеют 2(1/2)D комплексных компонент. Поэтому спиноры 01'2 в десятимерном пространстве имеют 32 + 32 комплексных компонент. Однако если потребовать, чтобы они были майорановскими спинорами, у нас останется вдвое меньше: 32 + 32 вещественных компонент. Требуя, чтобы они были вейлевскими спинорами, снова' уменьшаем их число еще вдвое, до 16+16 вещественных компонент. Выбор калибровки светового конуса уменьшит число независимых компонент до 8 + 8 вещественных компонент. Наконец, когда МЫ переходим к массовой поверхности и налагаем на эти спиноры уравнение Дирака, число независимых компонент снова уменьшается вдвое, Д° восьми. Но это в точности совпадает с числом компонент, необходимым для образования супермультиплета с восемью бозонными компонентами струны Х{. Итак, мы располагаем именно тем числом компонент,
§ 3.8. Квантование действия Грина-Шварца |
149 |
которое необходимо для выполнения условия суперсимметрии на массовой поверхности. Если N-число компонент спиноров 01 и 02, то у нас имеются:
Дираковские: N = 32 + 32 комплексных компонент, Майорановские: N = 32 + 32 вещественных компонент, Майорана-вейлевские: N = 16 + 16 вещественных компонент, Конусная калибровка: N = 8 + 8 вещественных компонент, На массовой поверхности: N = 8 вещественных компонент.
Теперь приступим к этой редукции до калибровки светового конуса. Выберем следующие калибровочные связи:
Г+01,2 = О, |
|
Г ± = 2 " 1 / 2 ( Г ° ± Г 9 ) . |
(3.8.1) |
Поскольку для этих Г-матриц справедливы тождества |
|
(Г+)2 = (Г")2 = 0, |
(3.8.2) |
то это означает, что ровно половина исходных 16+16 компонент указанных спиноров устраняется. Окончательное выражение для действия в калибровке светового конуса становится замечательно простым:
S = -^jdadx(daXidaXi - iSpbdbS). |
(3.8.3) |
Здесь сделана подстановка |
|
V / ^ e - s . |
(3.8.4) |
Здесь важно отметить, что все сложные нелинейные члены в (3.7.1), препятствовавшие простому ковариантному квантованию суперструны, теперь исчезли. (Заметим, что, кроме того, произошло удивительное явление. В ковариантном действии Грина-Шварца 01 и 02 в двумерном пространстве были независящими друг от друга скалярами. Теперь,
вкалибровке светового конуса, эти два независимых скаляра слились
водин двумерный спинор.)
Квантование исключительно просто, потому что система свелась к ^стеме свободных частиц (тогда как ковариантная теория включала Взаимодействия). Уравнения движения-это уравнения для свободных струн:
(3, - da)S2° = 0. |
(18-5) |
Коммутационные соотношения суть |
|
isAa(o, т), SBb(а', т)} = кдаЬЬАВЦо - о'). |
(3.8.6) |
Однако, как и прежде, мы м о ж е м наложить разные граничные условия