6.2. Линейная зависимость

Система векторов х₁, …,х_m линейного пространства L называется линейно зависимой, если существуют числа ₁, …, _m, не все равные нулю, такие, что

₁х₁+ ₂х₂+ …+ _mx_m= θ, (6.1)

и линейно независимой в противном случае, т.е. из выполнения равенства (6.1) вытекает, что ₁=…= _m=0.

Теорема 6.2. Система векторов х₁, …, x_mL линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов х₁, …, x_m линейно зависима, т.е. существуют числа ₁, …, _m, не все равные нулю, такие, что ₁х₁+ …+ _mx_m= θ. Пусть, например, _m0. Тогда

х_m=х₁ –…– х_m-1,

но это и означает, что вектор х_m есть линейная комбинация векторов х₁, …, x_m-1.

Достаточность. Пусть система векторов х₁, …, x_m такова, что один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных. Пусть, например, х_m есть линейная комбинация остальных: х_m=₁х₁+ …+ _m-1x_m-1, или

₁х₁+ …+ _m-1x_m-1+(-1)х_m= θ.

Так как _m= –10, то последнее равенство и означает, что система векторов х₁, …, x_m линейно зависима.

6.3. Базис. Координаты. Размерность.

Рассмотрим одно из основных понятий линейной алгебры – понятие базиса линейного пространства.

Упорядоченная система векторов е₁, …, е_n называется базисом линейного пространства L, если выполняются условия:

1. эта система векторов линейно независима,

2. каждый вектор х L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Итак, если система векторов е=е₁, …, е_n базис в L, то каждый вектор хL разлагается в линейную комбинацию базисных векторов, т.е. существуют числа ₁, …, _nR такие, что

x=₁х₁+ ₂х₂+ …+ _nx_n. (6.2)

Числа ₁, ₂, …, _n в разложении (6.2) вектора х по базису е=е₁, …, е_n называется координатами вектора х в базисе е: х=(₁, ₂, …, _n)_e.

Теорема 6.3. Пусть е=е₁, …, е_n- базис линейного пространства L, х,уL и x=₁е₁+…+ _nе_n=(₁,…, _n)_e, у=₁е₁+…+ _nе_n=(₁,…, _n)_e. Тогда справедливы утверждения:

1. координаты вектора определяются единственным образом,

2. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

х+у=(₁+₁) е₁+…+(_n+_n) е_n=(₁+₁,…,_n+_n)_e,

3. при умножении вектора х на число  каждая координата х умножается на число :

x=(₁е₁)+…+(_nе_n)=(₁,…, _n)_e.

Доказательство. 1. Допустим, что это не верно, т.е. существуют два разложения вектора х по базису е:

x=₁е₁+…+ _nе_n и х=₁е₁+…+ _nе_n.

Вычитая эти равенства, на основании аксиом 1, 2 и 8 получим

θ=х - х=₁е₁+…+ _nе_n - ₁е₁-…-_nе_n.=(₁-₁) е₁+…+(_n-_n) е_n.

Так как система векторов е₁, …, е_n линейно независима то ₁-₁=0, …, _n-_n=0, т.е. ₁=₁, …,_n=_n.

Итак, координаты вектора в данном базисе определяются однозначно и, тем самым, полностью характеризуют вектор в этом базисе.

Свойства 2 и 3 представляют собой действия над векторами в координатной форме и вытекают непосредственно из аксиом линейного пространства (предлагается проверить самостоятельно).

Размерность линейного пространства. Линейное пространство L называется n-мерным или пространством размерности n, если в нем существует базис из n векторов.

Покажем, что определение размерности корректно, т.е. что все базисы линейного пространства имеют одно и то же число векторов, равное размерности пространства.

Теорема 6.4. Пусть L – n-мерное линейное пространство. Тогда справедливы утверждения:

1. любые n+1 векторов этого пространства линейно зависимы;

2. любые n линейно независимых векторов из L образуют его базис.

Доказательство: 1) L – n-мерное линейное пространство, т.е. в нем существует базис из n векторов е=е₁, …, е_n. Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует в L линейно независимая система из (n+1)-го вектора х₁, …, x_n+1.

Рассмотрим систему векторов х₁, е₁, …, е_n, которая линейно зависима, т.к. е=е₁, …, е_n – базис пространства, поэтому х₁ есть линейная комбинация векторов е₁, …, е_n:

x=₁е₁+₂е₂+…+ _nе_n, (6.3)

и, так как х₁  θ, один из коэффициентов ₁,…, _n отличен от нуля. Пусть, например, α₁0, тогда

е₁= –х₁ – е₂ –…– е_n. (6.4)

Система векторов х₁, е₂, …, е_n линейно независима. Если бы она была линейно зависима, то вектор х₁ разлагался по векторам е₂, …, е_n, которые линейно независимы. Это противоречит единственности разделения по базису (6.3), где α₁0.

Покажем, что каждый вектор хL является линейный комбинацией векторов х₁, е₂, …, е_n. Действительно, каждый вектор хL является линейной комбинаций векторов базиса е₁, …, е_n:

х=₁е₁+₂е₂+…+ _nе_n.

Заменяя в последнем равенстве вектор е₁ по формуле (6.4) мы получим вектор х как линейную комбинацию векторов х₁, е₂, …, е_n. Итак, векторы х₁, е₂, …, е_n образуют базис в L.

Продолжая эту процедуру, мы векторы е₁, …, е_n исходного базиса заменим последовательно на векторы х₁, …, x_n, получая на каждом шаге базис пространства L. После n шагов мы получим базис, состоящий из векторов х₁, …, x_n. Тогда вектор х_n+1 должен быть линейной комбинацией векторов х₁, …, x_n, что противоречит линейной независимости векторов х₁, …, x_n, x_n+1. Это противоречие доказывает первое утверждение теоремы.

Второе утверждение теоремы сразу вытекает из первого.

Доказательство теоремы закончено.

Базисом системы векторов х₁, …, x_m называется такая ее часть , …,, кm и 1i₁<i₂<…<i_km, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. , …,- линейно независимая система векторов,

2. каждый вектор системы х₁, …, х_m называется линейной комбинацией векторов , …,.

Рангом системы векторов х₁, …, x_m называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы и обозначается r(x₁, …, x_m).

Все базисы данной системы векторов имеют одинаковое число векторов, равное рангу этой системы.

Пример 6.1. Рассмотрим множество геометрических векторов в пространстве, определенных в п. 3.1., с линейными операциями сложения векторов и умножения вектора на число, определенных в пункте 3.2. Как показывают свойства этих операций, множество геометрических векторов в пространстве является векторным пространством над полем R действительных чисел. Обозначим его V₃.

Линейная зависимость двух векторов из V₃ равносильна их коллинеарности. Линейная зависимость трех векторов равносильна их компланарности.

Базис пространства V₃ образуют любые три ненулевых некомпланарных вектора. Поэтому это пространство трехмерно.