14.8. Монотонные последовательности.

Последовательность {x_n} называется

возрастающей, если x₁ < x₂ < x₃ < . . . < x_n < x_n+1 < . . . ;

неубывающей, если x₁ x₂ x₃ . . . x_n x_n+1 . . .;

убывающей, если x₁ > x₂ > x₃ > . . . > x_n > x_n+1 > . . . ;

неубывающей, если x₁ x₂ x₃ . . . x_n x_n+1 . . . .

Все такие последовательности называется монотонными, а возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Докажем теорему Вейерштрасса, основную теорему о монотонных последовательностях.

Теорема 14.10. 1) Всякая монотонно возрастающая (неубывающая) и ограниченная сверху последовательность имеет предел.

2) Всякая монотонно убывающая (невозрастающая) и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть последовательность {x_n} не убывает, x_nx_n+1 n N, и ограничена сверху. Всякое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю границу (верхнюю грань) a = sup{x_n: n N} и x_n a n N.

К

Рис. 14.6

акое бы положительное число  мы не взяли, число a -  не является верхней границей последовательности {x_n}, т.е. существует номер n₀ такой, что a - < (см. рис. 14.6). Тогда, учитывая, что последовательность {x_n} неубывающая, для всех n>n₀ имеем a - < < x_n a <a+  .

Итак,  >0 n₀ n>n₀ a -  < x_n < a+ , т.е. <  , а это означает, что число a является пределом последовательности {x_n}.

Теорема доказана.

Пример 14.11. Показать, что = 0.

Решение. Покажем сначала, что последовательность с общим членом x_n = убывает и ограничена снизу.

Действительно, x_n+1=, тогда <1 , т. к. <1 , отсюда получаем 0< x_n+1 < x_n . Последнее неравенство и означает, что последовательность с общим членом x_n = монотонно убывает и ограничена снизу и по теореме 14.10 имеет предел. Пусть ; ясно, что .

Покажем, что a=0. Предварительно покажем, что >2, т. е. < 1/2. Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Итак, или 0 < x_n+1 < x_n .

Перейдем к пределу в последнем неравенстве: или . Но это возможно только при a = 0 . Неравенство доказано.

Аналогично доказываются следующие важные пределы:

, где q > 1,

, где q > 1 , k  N.

Пример 14.12. Покажем, что последовательность с общим членом сходится и .

Решение. Ясно, что >1. Покажем, что последовательность _n = -1 , _n>0 , является б.м. Это и будет означать, что число 1 является пределом рассматриваемой последовательности. Действительно,

_n , _n , n = (1+ _n)ⁿ = ,

отсюда или . Окончательно получаем 0 < _n < . Так как последовательность _n = – б. м., то, согласно следствию из теоремы о трех последовательностях, _n тоже б. м. последовательность. Это показывает, что .

Аналогично: =1, а > 0.

В заключении этого пункта приведем важную для дальнейшего так называемую лемму о вложенных отрезках.

Мы говорим, что задана последовательность {I_n} вложенных друг в друга отрезков I_n = [a_n,b_n] , a_n < b_n , I_n+1  I_n , если a_n a_n+1 < b_n+1 a_n (см. рис. 14.7).

Теорема 14.11. (Лемма о вложенных отрезках).

Пусть последовательность {I_n} вложенных отрезков такова, что . Тогда существует единственная точка сR, принадлежащая всем отрезкам: c[a_n,b_n]  nN.

Доказательство. Пусть  = {a_n: nN} – множество всех левых концов отрезков последовательности {I_n}, а  = {b_n: nN}– множество всех правых концов. Из определения последовательности вложенных отрезков вытекает, что a_n < b_m  n, m N и по аксиоме непрерывности множества действительных чисел существует точка c: a_n c b_m  n, m N, в частности, a_n c b_п  n N, т.е. точка c принадлежит всем отрезкам I_n. Покажем, что эта точка – единственная их общая точка. Так как a_n < b_m  n, m N, то

a_n < b₁. Это означает, что последовательность {a_n} левых концов отрезков монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит имеет предел , ясно, что a_n с₁.

Последовательность {b_n} правых концов всех отрезков монотонно убывает и ограничена снизу и имеет предел , . Так как a_n < b_п , то и [c₁ , c₂]  [a_n , b_n]  n N. Тогда . Так как последовательность _п = b_n – a_n – б. м. (см. условие теоремы), то c₂ – c₁ = 0 и с₁ = с₂ = с.

Теорема доказана.