- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
15.4. Основные элементарные функции.
Основными элементарными функциями называются следующие функции:
-
Степенная функция: у=хα где αR;
-
Показательная функция: у=ах, a>0 и а ≠1;
-
Логарифмическая функция: y=logax, а>0 и а ≠1;
-
Тригонометрические функции: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;
-
Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x;
Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций и действительных чисел при помощи конечного числа арифметических действий и образования сложной функции.
15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
15.5.1. Постоянная функция. Функция у=f(x)=c, принимающая для всех значений аргумента х одно и тоже постоянное значение с, называется постоянной функцией, а ее графиком служит прямая называется постоянной функцией, а ее графиком служит прямая у = с, параллельная оси Ох (см. рис. 15.13).
15.5.2. Линейная функция и прямая пропорциональная зависимость.
Прямой пропорциональной зависимостью называется функция, задаваемая формулой у=кх, где к≠0. графиком этой зависимости служит прямая линия, проходящая через начало координат (см. рис. 15.14). Величина у пропорциональна величине х, т.е. если у1 = кх1, а у2 = кх2, то
,
а построенный коэффициент к называется коэффициентом пропорциональности. Если у = кх, то х=у, т.е. х пропорционально у, но с обратным коэффициентом пропорциональности.
Л инейной функцией называется функция у= кх+b, где k,b– постоянные, хR. Как мы знаем из аналитической геометрии, графиком ее служит прямая линия, к– угловой коэффициент этой прямой, b– отрезок, отсекаемый на оси Оу. При к>0 линейная функция возрастает, а при k<0 – убывает (см. рис. 15.15):
Прежде чем сформулировать одно важное свойство линейной функции, напомним понятия приращения аргумента и соответствующего ему приращения функции. Пусть задана функция y=f(x), х(a, b). Выберем и зафиксируем некоторое значение аргумента х0(a, b), а y0 = f (x0)– соответствующее значение функции. Выберем другое значение аргумента х, а y=f (x) – соответствующее значение функции (см. рис. 15.16). Число
х=х-х0
называется приращение аргумента, а число
у=f (x)-f (x0)=f (x0+х)-f (x0)
называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента х. Обращаем внимание на тот факт, что приращение функции зависит от приращения аргумента (и точки х0, в которой это приращение вычисляется).
Теперь сформулируем то важное свойство линейной зависимости, о котором шла речь выше.
Приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента и не зависит от начального значения аргумента.
Действительно, если х=х-х0, х=х0+х, то
у=f (x)-f (x0)=f (x0+х)-f (x0)=k (x0+х)+b - (kx0+b)= k x0+к х+b - kx0- b = k х,
т.е.
у = к х,
что и требовалось доказать.
1 5.5.3. Квадратичная функция. Квадратичной функцией называется функция вида y = ax2+bx+c, где a, b, c– постоянные и а≠0. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке М0. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. На рис. 15.17. приведен график параболы у=х2. На промежутке (-, 0] эта функция убывает, а на промежутке [0, +)– возрастает. Не являясь взаимно однозначной, функция у=х2 не имеет обратной. Однако, если рассмотрим функцию у=х2 на промежутке [0, +), то она взаимно однозначна и имеет обратную: у=, х[0, +).
Г рафик обратной функции у= симметричен графику функции у=х2 относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.18).
Тем самым, выделена однозначная ветвь функции.
Д
у
15.5.4. Обратная пропорциональная зависимость. Обратной пропорциональной зависимостью называется функциональная зависимость, выражаемая формулой у=, где к ≠0.
Если у1= и у2=, то , т.е. величина у обратно пропорциональна величине х, а число к называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком этой функции служит гипербола. На рис. 15.19. изображен график функции у=. Оси координат Ох и Оу являются асимптотами гиперболы. Свойства асимптот гиперболы рассмотрены в пункте 9.3.
15.5.5. Показательная и логарифмическая функции.
Функция, заданная формулой у=ах, где а>0, a ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.
Основные свойства показательной функции:
-
Область определения – множество R действительных чисел, множество значений – множество всех положительных чисел (0, +).
-
П ри а>1 функция возрастает на всей числовой оси, при 0<a<1 функция убывает (см. рис. 15.20 а, б). График показательной функции проходят через точку (0;1) при всех а.
-
О
Рис. 15.20.
сь Ох с уравнением у=0 является асимптотой графика показательной функции. -
Для любых чисел х, уR справедливы равенства
а ха у=а х+у, = а х-у, (а х)у=а ху, а0=1, а хb x=(аb)х, =, a -1==.
Функция, заданная формулой y=loga x, a>0, a≠1, называется логарифмической функцией с основанием а.
Напомним, что логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е.
loga b=c: a c= b или =b.
Последняя формула называется основным логарифмическим тождеством. Из определения ясно, что определены логарифмы только положительных чисел b>0.
Основные свойства логарифмической функции:
-
Область определения – множество всех положительных чисел (0, +); множество значений – множество всех действительных чисел.
-
Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при а>1 и убывает при 0<a<1 (см. рис. 15.21. а, б)
-
Ось Оу с уравнением х=0 является асимптотой графика показательной функции.
-
При любом а>0, а≠1, и любых х>0 и y>0 выполняются равенства:
loga 1=0, loga а=1, loga хn=n loga х, loga (ху)= loga х+loga у,
loga =loga х - loga у, loga b= (переход к другому основанию), loga b=.
Из определения логарифмической функции вытекает, что
=х, х>0; =х, хR,
и что функция у=ах и у=loga х являются взаимно обратными, а их графики симметричны относительно биссектрисы у=х первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.22 а, б, соответствующие случаям а=2 и а=)