13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.

Множество ХR называется индуктивным, если из условия xX вытекает, что x+1X.

Пересечение любого числа индуктивных множеств является индуктивным множеством.

Множеством натуральных чисел NR называется наименьшее индуктивное множество, содержащее число 1:

1, 1+1, (1+1)+1, …,

или, в более привычных обозначениях: 1, 2, 3, … .

Метод математической индукции. Если некоторое высказывание, зависящее от номера nN, справедливо для n=1, и из справедливости этого высказывания для некоторого номера n вытекает его справедливость для номера n+1, то это высказывание справедливо для всех натуральных чисел nN.

Это непосредственно вытекает из определения множества натуральных чисел как наименьшего индуктивного множества, содержащего число 1.

Пример 13.2. Доказать методом математической индукции

1²+2²+…+n²== (13.1)

Доказательство. При n=1 эта формула верна:

1²==1.

Пусть эта формула верна для номера nN. Покажем, что тогда она верна для номера n+1. Действительно

1²+2²+…+n²+(n+1)²=+(n+1)²=[n(2n+1)+6(n+1)]= =[2n²+n+6n+6]=[2n²+7n+6]=.

Это же число получится, если в правую часть формулы (13.1) вместо n подставить n+1. Итак, формула (13.1) доказана.

Пример 13.3. Бином Ньютона. (a+b) ⁿ.

Выведем формулу бинома Ньютона. Введем некоторые обозначения:

n! = n•(n-1)•…•2•1 –"эн- факториал" – произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Ясно, что 1!=1, 2!=2, 3!= 6, 4!= 24, 5!=120, (n+1)!=(n+1)•n!.

Положим 0!=1.

Число = – "це из n по k" – называется биномиальным коэффициентом. Отметим два свойства биномиальных коэффициентов:

=, +=.

Методом математической индукции, учитывая вышеприведенные формулы, можно доказать формулу бинома Ньютона

. (13.2)

14. Предел последовательности.

Понятие предела (предельного перехода) играет важную роль в математике и ее приложениях, в частности, в экономике (предельные величины). На теории пределов базируется весь математический анализ, в частности, такие его разделы, как непрерывность функции, дифференциальное и интегральное исчисление, числовые и функциональные ряды. . .

14.1. Понятие числовой последовательности.

Если каждому натуральному числу nN поставить в соответствие действительное число , то говорим, что задана последовательность действительных чисел

, (14.1)

другими словами, последовательность – это функция , определенная на множестве натуральных чисел N со значениями во множестве действительных чисел R; .

Последовательность (14.1) будем обозначать одним из символов: , или , .

Числа называются членами последовательности, – общий или n-тый член последовательности.

Формула , выражающая общий член последовательности через его номер n, называется формулой общего члена последовательности.

Замечания. 1) Последовательность как функцию натурального аргумента можно представить следующим образом:

,

или как вектор с бесконечным числом координат.

2) Не путать последовательность (как функцию) с множеством тех значений, которые эта последовательность принимает.

Пример 14.1. 1) Рассмотрим последовательность , где – формула общего члена последовательности

-1, 1, -1, . . . , (-1)ⁿ ,

Множество значений этой последовательности состоит из двух чисел .

2) , :

3)

4) Постоянная последовательность , С, С, . . . С, . . .

5) Последовательность десятичных приближений числа :

n раз

0,3; 0,33, 0333, . . . , 0,33 . . . 3 ;. . . .