8. Прямая и плоскость в пространстве.

8.1. Уравнения плоскости в пространстве.

8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.

Рассмотрим в координатном пространстве Oxyz плоскость α.

Любой вектор, ортогональный данной плоскости, называется ее вектором нормали или нормальным вектором.

Составим уравнение плоскости α, проходящей через точку ортогонально вектору (см. рис.8.1). Вектор есть вектор нормали плоскости α, поэтому он ортогонален любому вектору, лежащему в этой плоскости.

Рассмотрим произвольную точку плоскости α. Тогда векторы и ортогональны и их скалярное произведение равно нулю: . Учитывая, что , перепишем последнее равенство в координатной форме

(8.1)

Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный вектор нормали .

8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Составим уравнение плоскости α, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой.

Рассмотрим произвольную точку М(х, у, z) плоскости α. Тогда три вектора , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны (см. рис. 8.2). Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: .

Заметив, что ={х-х₁; у-у₁; z-z₁},

={х₂ -х₁; у₂ -у₁; z₂ -z₁}, {х₃ -х₁; у₃ -у₁; z₃ -z₁}, перепишем последнее равенство в координатной форме, получим уравнение плоскости, проходящей чрез три заданные точки:

(8.2)

Пусть плоскость α отсекает на координатных осях Ох, Оу, Oz отрезки a, b, и с соответственно. Тогда плоскость α проходит через три точки М₁(а;0;0), М₂(0;b;0) М₃(0;0;с). Подставив координаты этих точек в уравнение (8.2), получим уравнение плоскости в отрезках на осях

. (8.3)

8.1.3. Общее уравнение плоскости.

Общее уравнение первой степени переменных х, у и z в координатном пространстве

Ах+By+Cz+D=0

(8.4)

Коэффициенты А, В, С в уравнении (8.4) есть координаты вектора нормали данной плоскости:

1. D=0, плоскость проходит через начало координат О(0; 0; 0), ее уравнение имеет вид Ах+By+Cz=0.

2. А=0, плоскость параллельна оси Ох, ее уравнение имеет вид By+Cz+D=0.

Это следует из того, что вектор нормали ={0 ;В; С} ортогонален оси Ох (см. рис 8.3.а).

3. С=D=0, плоскость проходит через ось Ох (см. рис. 47б), ее уравнение имеет вид Ах+Ву=0.

4. А=В=0, плоскость параллельна координатной плоскости Оху, а ее уравнение имеет вид Cz+D=0, или z=z₀ (см. рис. 8.3в).

5. Уравнение z=0, у=0, х=0 являются уравнениями координатных плоскостей Оху, Oxz, и Oyz соответственно (см. рис. 8.3г).

8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.

Составим уравнение плоскости α, проходящей на расстоянии р от начала координат ортогонально единичному вектору ⁰, идущему от начала координат О к плоскости α (см. рис. 8.4). Координатами вектора ⁰сужат его направляющие косинусы, поэтому ⁰={Cos α, Cos β, Cos γ}.

Е

x

сли точка М(х; y; z) лежит в плоскости α, то проекция вектора =={х; y; z} на орт ⁰

равна р: = р, что можно переписать в виде р.

Записав это уравнение в координатной форме, получим нормальное уравнение плоскости

p =0. (8.5)

Чтобы получить нормальное уравнение плоскости, нужно общее уравнение плоскости (8.4) умножить на нормирующий множитель , где знак выбирается противоположным знаку D в общем уравнении плоскости Ах+Ву+Сz+D=0.