- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
18.5. Таблица производных
-
(с)=0, где с – постоянное число;
-
(хα)=α хα-1, αR, в частности, х =1, , ;
-
(ах)=ахln a, (ex)=ex;
-
(logax)=, (ln x)=;
-
(sin x)=cos x;
-
(cos x)=-sin x;
-
(tg x)= = tg2x+1;
-
(ctg x) = -
-
(arcsin x) = ;
-
(arccos x) = -;
-
(arctg x) = ;
-
(arcctg x) = -.
Заметим, что в нашем распоряжении есть полный арсенал средств (таблица производных основных элементарных функций, правила вычисления производных, производная сложной функции) для вычисления производных от элементарных функций.
18.6. Логарифмическая производная
В ычислим производную функции y = ln|x|, x ≠ 0, (см. рис. 18.2).
При x>0 y=ln x и (ln x)=,
При x<0 y=ln (-x) и (ln(-x))== поэтому
(ln|x|)=. (18.13)
Пусть функция y=f(x) дифференцируема и отлична от нуля. Вычислим производную функции ln|x| = ln|f(x)|.
По правилу дифференцирования сложной функции, учитывая формулу (18.13), получим
(ln|x|)= или (ln|у|)=. (18.14)
Это и есть логарифмическая производная функции f(x), т.е. производная от логарифма модуля функции.
В качестве примера найдем с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции
y=u(x)v(x),
где u = u(x)>0 и v = v(x) некоторые дифференцируемые функции. Так как ln y=v(x)ln u(x), то по формуле (18.14)
=[v(x) ln u(x)]= v(x) ln u(x)+v(x),
отсюда окончательно получаем
y = u(x)v(x)[v(x) ln u(x) + v(x)],
или в краткой записи
y = uv ln u • v+ v uv-1 u .
производная производная
показательной степенной
функции функции
Пример 18.11. y=xα, αR. Найдем у, для чего найдем логарифмическую производную функции у=хα:
ln y=α ln х, (ln y)==, у=хα=α хα-1.
Итак:
(хα)= α хα-1.
Пример18.12. Найдем у, если у=.
Решение. Вновь воспользуемся логарифмической производной:
ln|y| = ln=5 ln |x2-1| + ln|x+3|-3ln |x-2|,
= 5•,
окончательно получим
у = .
18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
П усть функция y=f(x) определена и непрерывна в интервале (a,b). Пусть х0(a,b), тогда точка М0(х0,у0), где y0=f(x0) лежит на графике функции (см. рис. 18.3).
Пусть М(х,у), где y=f(x), другая точка графика функции и х = х0+х. Проведем через М0 и М прямую и назовем ее секущей. Обозначим через угол между секущей М0М и осью Ох. Заметим еще, что расстояние между точками М0 и М стремится к нулю, когда точка М стремится вдоль кривой вдоль кривой к точке М0, т.е. |М0М|=→0 при х→0, ведь у→0 при х→0 в силу непрерывности функции y = f(x).
Касательной M0N к графику функции y=f(x) в точке М0 называется предельное положение
секущей М0М, когда точка М неограниченно приближается вдоль графика функции к точке М0, т.е. при х→0.
Пусть 0 – угол между касательной М0N и осью Ох. Тогда из рисунка 18.3. ясно, что = (х)→ 0 при х→0, т.е. tg =tg (x)=tg 0.
Но
tg =,
поэтому
tg ==f(x0) = tg 0.
Таким образом, производная функции y=f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М0(х0,f(x0)).
Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) с угловым коэффициентом к имеет вид у - у0 = к(х-х0), поэтому уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0(х0,f(x0)) имеет вид
Error: Reference source not found (18.15)
где к=f(x0).
П рямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции y=f(x) (см. рис. 18.4) и имеет уравнение
y-f(x0)=
Если f(x0)=0, т.е. касательная горизонтальна и имеет уравнение у = у0, то нормаль вертикальна и имеет уравнение х = х0.
П усть даны две кривые y=f1(x) и y=f2(x), пересекающиеся в точке М0(х0,у0), причем обе функции имеют производные в точке х0. Углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения М0 (рис. 18.5.). Этот угол можно найти из формулы
tg =,
где к1=f1(x0), к2=f2(x0).