18.4. Производная сложной и обратной функции.

18.4.1. Производная сложной функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а функция z=g(y)дифференцируема в точке y₀=f(x₀). Тогда сложная функция z=F(x)=g[f(x)] дифференцируема в точке х₀ и справедлива формула (правило дифференцирования сложной функции)

F(x₀)=g(y₀)•f(x₀)=g [f(x₀)]•f(x₀).

Действительно, функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому

у=f(x₀)•х+α(х)•х, (18.9)

где α(х) – б.м. при х→0, а в силу непрерывности функции y = f(x) в точке х₀ имеем у→0, т.е. у – б. м. при х→0.

Далее, функция z = g(y) дифференцируема в точке y₀=f(x₀) поэтому

z = F = g(y₀)y+β(y)•х, (18.10)

где β(y) – б. м. при у→0. Учитывая, что приращение у зависит от х, то функция β(y) зависит от х как сложная функция β(у) – б. м. при х→0.

Подставим представление (18.9) в формулу (18.10), получим

z=[g(y₀)•f(x₀)]x+[g(y₀)α(х)+f(x₀)β(y)+α(х)β(y)]•x,

где функция (х)=g(y₀)α(х)+f(x₀)β(y)+α(х)β(y) есть б. м. функция при х→0 как сумма трех б. м. функций. Поэтому последнее равенство примет вид

z = F=[ g(y₀)•f(x₀)]x+(x)•x,

но это и означает, что сложная функция F(x) = g[f(x)] дифференцируема в точке х₀ и F(x₀)=g(y₀)•f(x₀).

Сформулируем правило нахождения производной сложной функции z = g[f(x)], где z = g(y) и y=f(x) (в этом случае переменную у называют промежуточной переменной). Производная сложной функции g[f(x)] равна производной g(y₀) функции g(y) по промежуточной переменной у, умноженной на производную промежуточной переменной y=f(x) по независимому аргументу х:

Error: Reference source not found (18.11)

Кратко это можно выразить так:

Производная сложной функции равна произведению производных от функций, ее составляющих.

Пример 18.8. Найдем производную сложной функции у=, где y=ln u, u=tg v, v=. Тогда y(x)=y(u)•u(v)•v(x)=

В дальнейшем при дифференцировании сложной функции не будем явно выписывать промежуточные переменные.

(cos x)=-sin x

ример 18.9. Error: Reference source not found

Действительно, y = cosx = sin, поэтому

у = cos•=cos •(-1) = -sin x.

18.4.2. Производная обратной функции.

Пусть функция y=f(x) монотонна (возрастает или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в точке х₀ производную f(x₀)≠0. Тогда обратная функция x=(y) имеет в точке y₀=f(x₀) производную

 (у₀)=.

Действительно y = f(x)-f(x₀) = у-у₀ и х = х-х₀= (у)-(у₀) = , т.е. у с одной стороны – приращение функции y=f(x), а с другой – приращение аргумента обратной функции x=(y). Аналогично х вытекает как приращение аргумента х и как приращение обратной функции. В силу непрерывности обеих функций имеем y→0 х→0, а в силу монотонности у≠0x≠0. Учитывая все это, получим