14.9. Число e.

В этом пункте введем число e , играющее важную роль в математике и ее приложениях.

Рассмотрим последовательность {x_n} c общим членом x_n =. Покажем, что эта последовательность ограничена и монотонно возрастает, следовательно, имеет предел.

Действительно,

x_n => 2,

т.е. последовательность {x_n} ограничена снизу: 2 x_n  n N. Далее

и х_п =

= 1+1+2 = 3.

Итак, рассматриваемая последовательность ограничена: 2< х_п < 3,  n N.

Покажем, что эта последовательность монотонно возрастает. Действительно,

,

1-.

Сравнивая соответствующие слагаемые следующих формул:

x_n =

x_n+1 = ,

мы видим, что х_п < х_п+1 , т.е. последовательность возрастает и ограничена сверху. По теореме 14.10 эта последовательность имеет предел, называемый числом e:

, (14.3)

где 2 < e < 3. Без доказательства приведем формулу

или , позволяющую вычислить число e с любой степенью точности. При n = 6 e2,718.

Замечание. При доказательстве ограниченности последовательности x_n = мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если x₁, х₂, . . . , х_п, . . . – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: x_n+1 = x_nq , где , то

.

Как известно, , поэтому .

15. Функции

15.1. Понятия функции.

Понятие функции, без преувеличения, является одним из основных понятий математики. Функция является главным объектом изучения в математическом анализе.

Пусть множество ХR. Если каждому числу х Х по определенному правилу f поставлено в соответствие единственное число уR, то говорим, что на множестве Х определена функция f: XR, записываемая в виде

y=f(x).

зависимая переменная независимая переменная

(функция) (аргумент)

Множество Х=Х_f=D(y) называется областью определения функции f, множество Y=Y_f=E(y)={yR : xX_f y=f(x)} – множеством значений функции.

Заметим, что если в качестве D(y) взять множество N натуральных чисел, то получим функцию x_n=f(n) натурального аргумента n, т.е. последовательность.

Способы заданий функций. Чтобы задать функцию, как следует из определения, необходимо указать область ее определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находится соответствующее ему значение функции. Важнейшими способами задания функций в математике и ее приложениях являются задания таблицей, формулой и графиком.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Табличный способ задания функции наиболее распространен в естествознании и технике, в частности, в статистике, при применении методов теории вероятностей и математической статистики.

Преимущество табличного задания функции: для каждого значения аргумента, содержащегося в таблице, можно сразу найти соответствующее значение функции.

Недостатки табличного значения функции: невозможно, как правило, полностью задать функцию, другой недостаток – отсутствие наглядности (по таблице трудно выяснить характер поведения функции при изменении аргумента).

Микрокалькулятор, позволяющий вычислять значения функций, дает пример табличного задания функций.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

При аналитическом задании функции под областью ее определения, если область определения не указана, понимают множество тех значений аргумента х, для которых формула, определяющая функцию, имеет смысл.

Например, область определения функции у= является отрезок [-1;1].

Преимущества аналитического задания функции: компактность задания, возможность вычислить значение функции для любого допустимого значения аргумента и, самое главное, возможность применить к исследованию функции методов математического анализа.

Недостатки (недостаточная наглядность, громоздкость производимых вычислений) этого способа меркнут перед его достоинствами. Это основной способ задания функции.

Графический способ: задается график функции y=f(x).

Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек (х, у) плоскости Оху, абсциссы которых являются значениями аргумента х, а ординаты– соответствующими значениями функции y=f(x).

Обозначим график функции y=f(x) через Г_f. Тогда

Г_f ={(x, y) xD(y) y=f(x)}={(x, f(x)): xD(y)}.

Например, графиком функции у= является верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат (см. рис. 15.1)

Основным достоинством графического способа задания функции является наглядность, недостатком– неточность.

График функции y=f(x) есть не что иное, как кривая, имеющая в координатной плоскости Оху уравнение y=f(x) (см. пункт 7.1).