19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 17.8.). Эти значения функция может принимать либо во внутренних точках отрезка , т.е. в интервале , либо на границе отрезка, т.е. при или (см. рис. 19.8.).

Постановка задачи. Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема в интервале , за исключением, быть может, конечного числа точек.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Схема решения задачи:

1. Найти критические точки функции в интервале ;

2. вычислить значения функции в найденных критических точках;

3. Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках и ;

4. среди всех вычислительных значений функции выбросить наибольшее и наименьшее.

Р ис. 19.8.

19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.

Пусть функция дифференцируема в интервале , т.е. график функции имеет касательную в каждой своей точке.

Функция называется выпуклой в интервале , если ее график расположен под любой ее касательной в этом интервале (см. рис. 19.9.).

Функция называется вогнутой в интервале , если ее график расположен над любой ее касательной в этом интервале (см. рис. 19.9.).

Р ис. 19.9. Рис. 19.10.

Интервалы выпуклости вогнутости графика функции находим с помощью второй производной функции.

Теорема 19.5. Пусть функция имеет в интервале вторую производную Тогда

1. если в интервале , то функция вогнута в этом интервале;

2. если в интервале , то функция выгнута в этом интервале.

Геометрически теорема ясна (см. рис. 19.11). Если , то функция возрастает в интервале , т.е. возрастает угол наклона касательных к графику, что и означает вогнутость функции в этом интервале.

Аналогично рассматривая случай в (см. рис. 19.9).

Особый интерес представляют точки, в которых меняется характер выпуклости функции.

Т

Рис. 19.11.

очкой перегиба графика дифференцируемой функции называется точка, разделяющая интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции.

В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной, проведенной в точке перегиба на другую (см. рис. 19.12 и 19.13).

Р ис. 19.12. Рис. 19.13.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема 19.6. (необходимое условие точки перегиба).

Пусть - точка перегиба графика дифференцируемой функции . Если в точке существует вторая производная функции, то обязательно .

Вывод: Возможные точки перегиба графика дифференцируемой функции следует искать среди ее критических точек высокого рода, т.е. среди точек, в которых вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 19.7. (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и имеет в точке первую производную . Если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба (см. рис. 19.14).

Р ис. 19.14.

И

зобразим это в виде схемы:

П

ример 19.1. Исследуем поведение функции и в окрестности точки и постоим их графики в окрестности этой точки.

у=х2 1) у = х3 у= 3х2, у(0) = 0, у: у= 6х, у(0) = 0, у: Итак: х0 = 0 – точка перегиба, у = 0 – уравнение касательной в точке перегиба

2) у = tg x y = = tg2 x +1, y(0) = 1, y: y = 2 tg x , у(0) = 0 Итак: х0 = 0 – точка перегиба, у = х – уравнение касательной в точке перегиба

Этот пример показывает значение касательной в точке перегиба. При исследовании их поведения в точке х = 0 бросается в глаза внешнее сходство свойств этих функций в окрестности нуля. И только касательная, проведенная в точке перегиба, показывает все различие в поведении этих функций в окрестности нуля.