10.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу размера m×n.

А=.

Выберем в ней к строк и к столбцов, к≤min{m,n}. Определитель, образованный элементами матрицы А, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором к-го порядка матрицы А. обозначаем: М, где i₁, …,i_k- номера выбранных строк, а j₁, …,j_k- номера выбранных столбцов. В матрице А выделен пунктиром минор к- го порядка

М=.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок миноров, отличных от нуля.

Обозначение: rang A=r(A)=r.

Базисным минором матрицы А называется отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Базисный минор определяется не единственным образом.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании ранг матрицы не меняется.

2. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбов.

3. Нулевая строка (нулевой столбец) не влияет на ранг матрицы, при вычислении ранга матрицы ее (его) можно вычеркнуть.

Свойство 1 вытекает из того, что при транспонировании определители не меняются. Свойство 3 следует из того, что определитель, содержащий нулевую строку (столбец) равен нулю. Свойство 2 вытекает из соответствующих свойств определителей: при элементарных преобразованиях строк и столбцов определители, не равные нулю, а равные нулю- преобразуются в равные нулю.

Методы вычисления ранга матрицы.

1. Метод окаймляющих миноров.

Если найден минор к-го порядка М≠0, то проверяем только те миноры (к+1)-го порядка, которые содержат (окаймляют) найденный минор. Если все они равны нулю, r(A)=k. Если же найдется отличный от нуля минор (к+1)-го порядка, процедуру повторяют.

2. Метод элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований строк и столбцов приводим матрицу к эквивалентному виду:

~ ,

где (пунктиром выделен отличный от нуля минор M), поэтому r(A)= r.

Пример 10.4. Найти ранг матрицы: а)методом окаймляющих миноров, б)методом элементарных преобразований, если дана матрица

.

Решение. а)Так как М=20, то ранг матрицы не меньше единицы. Рассмотрим те миноры второго порядка, которые содержат минор М. В частности, и ранг матрицы не меньше двух.

Проверим те миноры третьего порядка, которые содержат . Их два: М и М (всего миноров третьего порядка – четыре).

,

.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, а так как найден минор второго порядка , отличный от нуля, то r(A)=2.

Найденный минор – базисный; базисным также является минор .

В заключение приведем теорему, играющую важную роль в исследовании систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема 10.1. (О базисном миноре).

Ранг матрицы равен рангу системы ее вектор- строк (вектор- столбцов). Система строк (столбов) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе вех строк (столбцов) матрицы.

Замечания. 1. Матрица А порядка n невырождена тогда и только тогда, когда r(A)= n.

2. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат

векторов этой системы.

11. Система линейных алгебраических уравнений.