18.8. Односторонние и бесконечные производные.
При определении производной функции y=f(x) в точке х0 мы считаем, что функция определена в двусторонней окрестности точки х0 (см. рис. 18.6), а производная есть конечный предел отношения
=
(18.16)
при условии, что x→x0 (т.е. при х→0). Заметим, что аргумент х стремится к точке х0 произвольным образом.
Может случиться, что функция не дифференцируема в точке х0, т.е. не существует предел отношения (18.16), но могут существовать односторонние пределы этого отношения при х→х0-0 (т.е. при х→ -0) или при х→х0+0 (т.е. при х→ +0). Это может случиться, в частности, если функция определена в односторонней окрестности точки х0 (только слева или только справа от точки х0, см. рис. 18.6).
Л
евой
производной функции
y=f(x)
в точке
х0
называется
число
(x0)=
=
,
(18.17)
если этот предел существует и конечен.
Правой производной функции y=f(x) в точке х0 называется число
(x0)=
=
, (18.18)
если этот предел существует и конечен.
Аналогично, тому, как это было сделано в пункте 18.7., можно определить односторонние касательные, для которых производные будут угловыми коэффициентами.
Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производную, то она имеет в этой точке правую и левую производные, которые равны между собой.
Пример 18.13. Найти односторонние производные функции у=|sin x| в точке х0= 0.
Р
ешение.
Пусть х
,
тогда
|sin
x|=
Заметим что х = х-х0 = х.
Тогда
при х
имеем
у=|sin
x|-|sin
0|=sin
x
и
(0)=
=
=1.
При
х
имеем у=|sin
x|-|sin
0| = -sin
x
и
(0)=
=
=
-1.
В точке х0 = 0 существуют односторонние касательные: левая у = -х и правая у = х (см. рис. 18.7)
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0
Говорим,
что функция y
= f(x)
имеет в точке х0
бесконечную
положительную производную
(пишем: f(x0)
= +),
если
=+
,
и
бесконечную
отрицательную производную
(f(x0)
= -),
если
= -.
Тогда в точке х0 существует вертикальная касательная с уравнением х = х0(см. рис. 18.8).
А
налогично
определяются односторонние бесконечные
производные (см. рис. 18.9)
П
ример
18.14. Рассмотрим функцию у=
в точке х0
=0
(см. рис. 18.10). Тогда
у=у(0,х)=
и
.
Тогда функция y=f(x) имеет в точке х0=0 положительную бесконечную производную
f(0)
=
=
=
+,
а х0 = 0 – уравнение вертикальной асимптоты.
Пример
18.15. Пусть у=
и х0
= 0. Тогда
у=у(0,х)=
и
=
.
Тогда существуют односторонние бесконечные производные в точке х0=0. Действительно
(0)=
=
=
-
(0)=
=
=
+
а прямая х=0 – вертикальная односторонняя касательная (см. рис. 18.11).
18.9 Дифференциал.
Пусть функция у = f (x) дифференцируема в точке х0 , т. е. ее приращение у можно представить в виде
у
= f
(x0)
x
+
(x), (18.19)
где слагаемое f (x0) x – главная, линейная относительно x часть приращения функции, называемая дифференциалом функции у = f (x) в точке х0 и обозначаемая символом dy или df (x0), таким образом
dy
= f
(x0)
x
(18.20)
Приращение независимой переменной х назовем ее дифференциалом: dх = x = х - х0. Тогда формула (18.20) примет вид
dy
= f
(x0)
dx
(18.21)
Для запоминания: dy =у dх , т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.
Из
формулы (18. 21) вытекает, что f
(x0)
=
,
т. е. производная функции в точке х0
есть отношение дифференциала функции
dy
к дифференциалу dx
независимой переменной.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал dy = f (x0) dx функции у = f (x) в точке х0 есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке х0 (см. рис. 18.12).
Действительно, обозначим через укас ординату касательной к графику функции у = f (x) в
точке х0 :
укас - f (x0) = f (x0) (х – х0),
и
ли
укас = f (x0) x ,
т. е.
укас = f (x0) dx = dy.
Приближенное вычисление с помощью дифференциала.
Перепишем
формулу (18.19) в виде у
= dy+
(x).
Пренебрегая б. м.
(x)
более высокого порядка, чем x
0
(слагаемое f
(x0)x
при f
(x0)
0 является б. м. одного порядка с б. м. x
0),
получим: у
dy,
т. е. приращение функции приближенно
равно дифференциалу функции в этой
точке. Тогда f
(x)
- f
(x0)
f
(x0)x
или
f
(x)
f
(x0)
+ f
(x0)x
(18.22)
Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Пусть у = f (x), где х – независимая переменная, тогда ее дифференциал в точке х имеет вид
dy = у (x) dх (18.23)
Пусть
теперь у
= f
(x),
где х =
(t),
т. е. х
не является независимой переменной, а
сама есть функция переменной t
. Тогда найдем
дифференциал сложной функции y
= F(t)
= f
[
(t)]:
dy
= F
(t)
dt
, где F
(t)
= f
[
(t)]
(t),
окончательно
dy
= dF
= f
[
(t)]
(t)
dt.
А так как (t) dt = dх, (t) = х, то последнее равенство имеет вид dy = у (x) dх = f (x) dx (см. формулу (18.23)).
Вывод (инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала): вид дифференциала функции у = f (x) не зависит от того, является ли аргумент х независимой переменной или является функцией, т. е. зависимой переменной.
Это свойство дифференциала играет важную роль при вычислении неопределенных интегралов.