19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.

При полном исследовании функции и построения ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность (является ли график функции симметричным относительно оси Оу, или начала координат, или общего вида).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрывы функции, асимптоты.

5. Найти интервалы монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба и графика функции.

7. Построение графика функции.

Заметим, что исследовании функции проводится одновременно с построением графика.

Пример 19.4. Провести полное исследование и построить график функции

.

Решение. Исследование и построение проведем по намеченной выше схеме, нанося каждый шаг исследования на график.

1. D(y) = (-; -2) (-2;2) (2;+), т. к. рациональная функция определена всюду, кроме нулей знаменателя х = 2.

2. Четность-нечетность. Т. к.

, то функция у = f(x) нечетная и ее график симметричен относительно начала координат О(0,0).

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства:

с Оу: у(0) = 0; сОх: у =0 при х = 0.

Итак, график функции пересекает оси координат только в точке О(0,0).

И

у:

нтервалы знакопостоянства функции:

Наносим полученные факты на график (см. рис. 19.18), где отмечена точка графика О(0,0), а штриховка указывает, выше или ниже оси Ох лежат точки графика на данном участке.

4. Непрерывность, точки разрыва, асимптоты.

Функция у = f(x), являясь рациональной дробью, непрерывна (и дифференцируема) всюду, где определенна как элементарная. Точки х = 2 являются точками разрыва функции. Определим их характер. В силу нечетности функции, достаточно рассмотреть одну из этих точек, например х₀ = 2. Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

f(2-0) = , f(2+0) = ,

т.е. х₀ = 2 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 2 является вертикальной асимптотой. В силу симметричности, х = -2 тоже точка разрыва второго рода, а прямая х = -2 является вертикальной асимптотой. Наносим эти факты на график.

Найдем наклонную асимптоту У = kx + b графика функции у = f(x) при х  , т. е. исследуем поведение функции на бесконечности. Так как существуют пределы

,

= 0,

то прямая У = является наклонной асимптотой, причем левой и правой.

5. Монотонность, экстремумы.

Найдем интервалы убывания и возрастания, точки максимума и минимума, исследовав первую производную функции:

у =

=

Найдем точки возможного экстремума функции из условия у = 0, т. е. х = 2 – стационарные точки. Тогда

y:

х₁= -2 – точка максимума и у_max= f(-2) = -,

х₂= 2 – точка минимума и у_min= f(2) = .

Интервалы возрастания: (-;-2)(2;+),

интервалы убывания: (-2; -2)(-2;2) (2;2).

Наносим точки экстремума на график.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Тогда у=0 при х=0 и

у:

Точка х₀ = 0 – точка перегиба, у(0)=0, у(0)=0, т.е. у = 0 – уравнение касательной в точке перегиба. Хотя в точках 2 вторая производная меняет знак, они не являются точками перегиба, т.к. в этих точках функция не определена. Учитывая пункты 5 и 6, заканчиваем построение графика функции.