12. Элементы матричного анализа.

12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n:

А=. (12.1)

Число λ называется собственным числом матрицы А, если найдется ненулевой n- мерный вектор Rⁿ, ≠, такой, что

А=λ

(12.2)

Вектор называется собственным вектором, отвечающим собственному числу λ.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов

Перепишем равенство (12.2) в виде

(А- λЕ) =, (12.3)

где Е=_n- единичная матрица порядка n. Равенство (12.3) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида

(12.4)

Матрица этой системы получается из матрицы А вычитанием числа λ по главной диагонали:

А-λЕ= (12.5)

Число λ будет собственным числом матрицы А тогда и только тогда, когда система (12.3) или (12.4) имеет нетривиальное (ненулевое) решение. А это возможно тогда и только тогда, когда матрица А-λЕ (см. (12.5)) однородной системы (12.3) (или (12.4)) вырождена, т.е. определитель этой системы равен нулю: det(A-λE) = 0.

Поэтому собственные числа матрицы А- это корни характеристического уравнения

det (A-λE)=0,

(12.6)

или в координатной форме

(12.7)

Если λ - собственное число матрицы А, то для нахождения соответствующих собственных векторов нужно подставить λ в систему (12.4) и найти ненулевые решения этой однородной системы, расширенная матрица которой имеет вид

= 0. (12.8)

12.2. Квадратичные формы в Rn.

Квадратная матрица А порядкаn называется симметричной, если А^/=А, т.е. а_ij=a_ji (это означает симметрию относительно главной диагонали):

А=

Квадратичной формой в Rⁿ называется функция вида R

Q()=Q(х₁, …, х_n) = ^/А, (12.9)

где Rⁿ, а матрица А называется матрицей квадратичной формы. Запишем определение (12.9) в координатной форме. Так как

=, ^/=(х₁ х₂ … х_n), то

Q()=(х₁ х₂ … х_n) =+ (12.10)

Пример 12.1. Рассмотрим квадратичную форму в R²(n=2), А=, =,

^/=(х₁ х₂).

Тогда Q()=Q(х₁, х₂)= (х₁ х₂) =(х₁ х₂) =

=а₁₁х+а₁₂х₁х₂+ а₁₂х₁х₂+ а₂₂х= а₁₁х+2а₁₂х₁х₂ + а₂₂х.

Окончательно:

Q()=Q(х₁, х₂)= а₁₁х+2а₁₂х₁х₂ + а₂₂х. (12.11)

Пример12.2. n=3. Тогда

А=, =R³, ^/=(х₁ х₂ х₃) и Q()=Q(х₁, х₂, х₃)=

=(х₁ х₂ х₃) =а₁₁х+ а₂₂х+ а₃₃х+2а₁₂х₁х₂+2а₁₃х₁х₃+2а₂₃х₂х₃ (12.12)

Квадратичная форма Q() называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора Rⁿ, ≠, выполняется условие: Q()>0, и отрицательно определяемой, если Q()<0.

Теорема 12.1. (Критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы).

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы положительны.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы отрицательны.

Рассмотрим матрицу А квадратичной формы Q()=^/А:

А=

Выделены миноры

∆₁₌а_11, ∆₂=, …, ∆_r, …, ∆_n=∆= (12.13)

называются главными минорами матрицы А. Тогда справедлива

Теорема12.2. (Критерий Сильвестра)

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны: ∆_i>0, i=1, …, n.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют знак, начиная со знака минус: ∆₁<0,∆₂>0,∆₃<0, …