- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
Пятый
замечательный предел:
Четвертый замечательный предел
16. 4. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции.
Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой, коротко б.м.) в точке (при ), если или
( - б.м. при ) .
Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой, коротко б.б.) в точке (при ), если , т.е. для любой последовательности значений аргумента , , соответствующая последовательность значений функций - б.б.:
( - б.б. при ) (, - б.б.).
Определив б.б. функцию, мы фактически дали определение бесконечного предела в точки . Аналогично определяются бесконечные пределы определенного знака: и .
На “языке ” определение б.б. функции, т.е. бесконечного предела в точке , выглядит так: ( -б.б. при )
.
Так, в примере 16.7. мы показали, что многочлен степени является б.б. при .
Роль б.м. функций в теории пределов раскрывает следующая теорема.
Теорема 16.4. Функция в точке предел, равный А, тогда и только, когда ее можно представить в виде , где - б.м. при . Иными словами:
- б.м. при ).
Доказательство. (Необходимость). Пусть , положим и покажем, что - б.м. при . Действительно, для любой последовательности значений аргумента , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А: . Тогда последовательность имеет предел при , равный нулю: . Но “на языке последовательностей” это означает, что , т.е. - б.м. при .
(Достаточность). Пусть , где - б.м. при . Так как - б.м. при , то , т.е. , т.е. . На “языке ” это и означает, что
Основные свойства б.М. Функций.
-
Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, т.е. если , - б.м. функции при , то - б.м. функция при .
Следствие: Сумма конечного числа б.м. функций есть б.м. функция.
Это непосредственно вытекает из определения 1 предела функции и соответствующего свойства б.м. последовательностей (см. пункт 14.5, свойство 1).
-
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая, т.е. если функция ограничена в окрестности точки , а - б.м. при , то - б.м. функция при .
Это вытекает из определения 1 предела функции и свойств б.м. последовательностей (см. пункт 14.5, свойство 2).
Следствия: а) Произведение б.м. функции на число есть б.м. функция;
б) Произведение б.м. функции есть б.м. функция;
в) Связь б.м. б.б. функций: обратная к б.м. функции есть б.б. функция и наоборот, т.е. если - б.м. функция при и , то функция - б.б. функция при . Обратно, если б.б. функция при , то - б.м. функция при .
Вытекает из определения 1 предела функции и аналогичного свойства предела последовательности.
Пример 16.10. Вычислить (см. пример 16.8).
Функция f (x) = x2 + 4x – 5 имеет предел в точке х0 = -1: , а функция g (х) = х2 –1 есть б. м. при х -1, тогда обратная к ней функция – б. б. при х -1, следовательно
.
16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
Пусть (х) , (х) – б. м. при , т.е. и .
-
Если , то (х) и (х) называются б. м. одного порядка.
-
Е сли = 1, то (х) и (х) называются эквивалентными бесконечно малыми. Записываем это так: (х) (х) .
-
Если =0, то (х) называется б.м. более высокого порядка, чем б.м. (х) (еще говорят, что (х) имеет более высокий порядок малости, чем (х), при хх0) записываем это так: (х)= ( (х)). Символ читается "0 малое".
4. Если =А (0; ), то (х) называется бесконечно малой порядка n относительно (х).
А налогичные определения имеют место и для б.б. функций. В частности, если А(х) и В(х) – б.б. при хх0, т.е. и , то они называются эквивалентными б.б. при хх0, если 1. Пишем А(х) В(х)
Т ак если Рп (х) = а0хп + а1хп-1 + . . . + ап-1х + ап – многочлен степени п, то
Р п (х) = а0хп ( 1+ + . . . + ) а0хп.
В ажнейшие эквивалентности, используемые при вычислении пределов:
1. sin x x, 3. ex – 1 x;
2 . ln (1 + x) x, 4. (1 +x) - 1 x, >0.
Это запись первого, третьего, четвертого и пятого замечательного предела на языке эквивалентных б. м.
Рассмотрим применение эквивалентных б. м. и б. б. к вычислению пределов.
Теорема 16.5. Пусть 1(х), 2(х), 1(х), 2(х) – б. м. функции при и 1(х) 2(х), 1(х) 2(х). Тогда справедливо равенство (16.3)
Д оказательство. 1(х) 2(х) =1, 1(х) 2(х) =1.
Тогда .
Д
=1 =1
Это означает, что при вычислении пределов частного и произведения функций одну б. м. (б. б.) можно заменить на другую б. м. (б. б.), эквивалентную первой.
Пример 16.11.
П ояснение. Так как ex-1 x , то x2.
Д алее: (1+ х) -1 х -1 ,
sin x x sin2x x2 -1 .
Затем применили теорему 16.5.