18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 18.3 (Теорема Ферма). Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке x₀ существует производная, то она равна нулю, т. е. f (x₀) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности функция y = f(x) в точке x₀ принимает наибольшее значение, т. е. f(x)  f(x₀) для любого x  (х₀ - , х₀ -) (см. рис. 18.17). Ясно, что

у = f (x) – f (x₀)  0 для любого x  (х₀ - , х₀ -).

Если x > x₀ , т. е. x = x- x₀ >0, то и, следовательно, . f (x₀) = =  0.

Если x < 0 , т. е. x < 0, то и, следовательно,

f (x₀) = =  0.

Но это возможно только тогда, когда f (x₀) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда в точке x₀ функция y = f(x) имеет наименьшее значение (у  0). Доказательство теоремы Ферма закончено.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке x₀ дифференцируемая функцияy = f (x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, то в точке (x₀ , f (x₀)) касательная к графику функции y = f (x) параллельна оси Ох, т. е. горизонтальна (см. рис. 18.17).

Теорема 18.4 (Теорема Ролля). Пусть функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a , b];

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); 3) f(а) = f(b), т. е. на концах отрезка принимает равные значения. Тогда существует хотя бы одна такая точка с  (a , b), что . f (с) = 0.

Доказательство. Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее М и наименьшее т значения, т. е. существуют точки x₁ , x₂  [a , b] такие, что f(x₁) = т и f(x₂) = М и выполняются неравенства

т  f(x₀)  М x  [a , b].

Возможны два случая: 1) т = М ; 2) т < М . 1) В этом случае f(x) = т = М = const. Поэтому . f (x) = 0 в каждой точке интервала (a, b). В качестве точки с можно взять любую точку интервала (a, b). 2) В этом случае (т < М), учитывая, что f(а) = f(b), либо x₁  (a , b) , либо x₂  (a , b), т. е. одно из значений т или М принимается внутри интервала (a , b). Таким образом, существует точка с  (a , b), в которой функция y = f (x) принимает наибольшее или наименьшее значение, и по теореме Ферма f (с) = 0.

Доказательство закончено.

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная параллельна оси Ох (см. рис. 18.18).

И з теоремы Ролля вытекает еще один важный вывод.

Напомним, что нулем функции y = f (x) называется точка с такая, что f (с) = 0. Пусть функция y = f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, тогда между двумя нулями функции y = f (x) всегда лежит хотя бы один нуль ее производной: f  (с) = 0, с  (x₁ , x₂) (см. рис. 18.19).

Теорема 18.5 (Теорема Лагранжа о конечном приращении). Пусть функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a , b]; 2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); Тогда существует хотя бы одна такая точка с  (a , b), что

или f (b) – f (а) = f (с) (b - a) (18.33)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - (x), которая непрерывна на отрезке [a , b] и дифференцируема в интервале (a , b) при любом выборе числа , причем F (x) = f (x) - . Выберем  так, чтобы F(а) = F(b), т. е. чтобы f (а) - a = f (b) - b. Отсюда получим . Тогда для функции F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. Поэтому существует хотя бы одна точка с  (a , b) такая, что F (с) = 0, т. е. f  (с) - = 0 и f  (с) = . Окончательно получаем

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть А(а, f (а)), В(b, f (b)) – концы графика функции y = f(x), АВ – хорда, соединяющая точки А и В (см. рис 18.20). Отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, т. е. тангенс угла наклона хорды к оси Ох, а производная f (с) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке

М(с, f (с)).

Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале (a , b) существует точка с, в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.

Следствие 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b] и в интервале (a , b) имеет производную, равную нулю, f (с) = 0 x  (a , b), то функция постоянна на отрезке [a , b]: f(x) = с = const.

Доказательство. Выберем произвольно точки x1, x2  [a , b], x1 < x2. Тогда на отрезке [x1, x2]  [a , b] функция y = f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка с  (x1, x2) такая, что f (x2) – f (x1) = f (с) (x2 - x1). По условию, f (х) = 0 на (а,b), в частности f (с) = 0. Поэтому f (x2) – f (x1) = 0 и f (x2) = f (x1) для любых x1, x2  [a , b]. Это и означает, что функция y = f(x) постоянна на отрезке [a , b].

Следствие 2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a , b] и дифференцируемы в интервале (a , b). Если они имеют равные производные f (x) = g (x) для всех х  (a , b), то эти функции отличаются лишь на константу:

f(x) = g(x) + С, (18.34)

где С – константа.

Доказательство. Функция F(x) = f(x) - g(x) удовлетворяет условиям следствия 1 и F (x) = = f (x) - g (x) = 0 х  (a , b). Поэтому F(x) = С = const, т. е. f(с) - g(с) = С.

Замечание. Рассмотрим приращение у = f(x) - f(x0) функции f(x) в точке x0. По теореме Лагранжа существует такая точка с, лежащая между точками x0 и x, что f(x) - f(x0) = f (с) (x- x0) или у = f (с) х. В таком виде теорему Лагранжа называют теоремой о среднем или формулой конечных приращений.

Теорема 18.6. (Теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a , b]; 2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); 3) g (x)  0 в каждой точке интервала (a , b). Тогда существует точка с  (a , b) такая, что

(18.35)

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы Лагранжа: вводим вспомогательную функцию F(x) = f(x) -  g(x), где  выбрано из условия F(а) = F(b), формула (18.35) вытекает теперь из теоремы Ролля (предлагаем читателю восстановить детали доказательства самостоятельно).