16.2. Основные теоремы о пределах функций.
Определение
предела функции “на языке последовательностей”
(по Гейне) и “на языке
”
(по Коши) позволяют без особого труда
перенести на функции основные теоремы
о пределах последовательностей.
Формулировки и доказательства теоремы
для случаев
и
аналогичны.
Теорема
16.1.
Пусть функция
имеет предел в точке
,
т.е.
.
Тогда:
-
этот предел единственный (единственность предела);
-
функция
ограничена в некоторой окрестности
точки
(ограниченность
функции, имеющей предел).
Д
оказательство.
1) Доказательство проведем методом от
противного “на языке
”.
Допустим, что
и
и
.
Выберем положительное число
.
Тогда
(см. рис. 16.2), т.е.
- окрестности точек А
и В
не пересекаются.
Так
как
,
то для выбранного
,
т.е.
,
(16.1)
т.е.
,
то для того же
,
т.е.
(16.2)
Пусть
,
тогда для каждого
такого что
,
выполняются одновременно оба неравенства
(16.1) (16.2):
,
что невозможно. Полученное противоречие
показывает, что
,
и предел единственен.
-
Если
,
то
,
т.е
.
Но это означает, что функция
ограничена в
- окрестности точки
.
Доказательство теоремы 16.1 закончено.
Перейдем к рассмотрению арифметических свойств пределов функций.
Теорема
16.2:
Пусть
и
.
Тогда справедливы утверждения:
-
;
(постоянный множитель можно выносить за знак предела).
-
, -
, -
если
,
то
.
Следствие.
Если
,
то
.
Доказательство
теоремы. Все
утверждения теоремы 16.2 вытекают из
соответствующих свойств пределов
последовательностей, если воспользоваться
определением предела функции “на языке
последовательностей”. Докажем третье
утверждение. Так как
и
,
то по определению 1 предела функции
,
,
и
.
Поэтому
,
но это и означает, что
.
Доказательство теоремы закончено.
Теорема
16.3. Пусть
функции
,
и
определены в некоторой окрестности
точки
,
за исключением, быть может, самой точки
и в каждой точке
из этой окрестности
.
Если функции
и
имеют в точке
предел, равный А,
т.е.
,
то
функция
так же имеет предел в точке
:
.
Доказательство:
Рассмотрим любую последовательность
,
,
значений аргумента функций
и
,
сходящихся к
:
.
Соответствующие последовательности
и
значений функций имеют предел, равный
А:
,
при
.
По условию теоремы
,
,
поэтому,
на основании теоремы о трех
последовательностях (см. предельный
переход в неравенствах), последовательность
сходится и имеет своим пределом число
А:
при
.
Итак,
,
,
.
Это и означает по определению 1 предела
функции, что
.
Теорема доказана.
Рассмотрим некоторые важные примеры:
Пример
16.5. Если
,
то
.
Действительно, если
- произвольная б.б. последовательность,
при
,
то обратная к ней последовательность
- б.м., т.е.
при
,
а это и означает, что
при
.
Ясно, что справедливо и обратное утверждение.
Пример
16.6. Пусть
,
- степенная функция. Тогда в каждой точке
функция
имеет предел, равный значению функции
в этой точке:
.
Это вытекает из следствия теоремы 16.2 и
примера 16.2:
Пример
16.7. Если
- многочлен степени
,
тогда на основании теоремы 16.2 и предыдущего
примера имеем:
.
Если
же
,
то
,
т.е.
.
Понятие неопределенности.
При
вычислении пределов функций часто
приходится пользоваться теоремой 16.2.,
так, при вычислении предела частного
двух функций
могут возникать ситуации, когда применение
теоремы 16.2 невозможно. Одна из таких
ситуаций возникает, когда
,
другая ситуация возникает тогда, когда
.
Тогда мы говорим, что имеется
неопределенность вида
или
.
Вычислить предел в этом случае означает
раскрыть эту неопределенность. При
вычислении предела
,
может случиться, что
,
а
,
тогда возникает неопределенность вида
.
При вычислении предела
может случиться, что
,
т.е. бесконечные пределы одного знака.
Тогда возникает неопределенность вида
.
Позже
мы рассмотрим вычисление пределов
.
При их вычислении возникают неопределенность
вида
или
.
Пример
16.8. Вычислить
предел
.
При
различных значениях
:
1)
,
2)
,
3)
.
-
.
Поясним приведенное решение.
Функция
представляет собой частное двух
многочленов, а, как показывает пример
16.7, предел многочлена в данной точке
равен значению многочлена в этой точке,
т.е.
и
.
Пределы числителя и знаменателя
существуют (и конечны) и предел знаменателя
отличен от нуля. Далее мы применим
теорему 16.2.
-
.
Поясним вычисление этого
предела. Так как
,
то мы имеем неопределенность вида
.
Ясно, что эту неопределенность вносит
множитель
,
который имеет пределом число 0 при
.
Так как
- корень числителя и знаменателя, то,
разложив числитель и знаменатель на
множители, мы выделили множитель
и, сократив на него, раскрыли
неопределенность.
-
.
Пояснение.
Так как
(см. пример 16.7), то
мы имеем неопределенность
.
Разделив числитель и знаменатель дроби
на
,
мы раскрыли неопределенность. Далее
применила теорему 16.2 и тот факт, что
(см. пример 16.5).
П
ример
16.9:
.
Заметим
сначала, что для
выполняется неравенство:
.
Это можно усмотреть из рисунка 16.3, т.к.
,
,
а отрезок
меньше дуги
.
Тогда на основании теоремы 16.3
.
Если
,
то
и
.
Применяя опять теорему 16.3., получаем
.
16.3. Замечательные пределы.
16.3.1. Первый замечательный предел:
(16.2)
З
аметим
сначала, что
.
Это вытекает из неравенства
и теоремы 16.3. Заметим, что
,
,
а площадь
меньше площади сектора
,
а та, в свою очередь, меньше площади
,
поэтому
,
т.е.
при
(см. рис. 16.4). Разделив это неравенство
на
,
получим
,
Окончательно
получаем:
.
В силу четности этого неравенства оно
справедливо и при
.
По теореме 16.3 мы получим,
при
.
16.3.2. Второй замечательный предел.
или
Заметим,
что в обоих случаях мы имеем дело с
неопределенностью
.
Этот замечательный предел является
следствием определения числа
:
.
Подробное доказательство опускаем.
16.3.3. Другие замечательные пределы.
Третий
замечательный предел:
